La formule des compléments désigne une propriété de la fonction gamma :
Pour tout nombre complexe z partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1 ,
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
.
{\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}.}
Cette propriété a été découverte par Leonhard Euler .
On considère la fonction bêta
B
(
p
,
q
)
=
∫
0
1
t
p
−
1
(
1
−
t
)
q
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=\int _{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,\mathrm {d} t.}
En posant z u =t 1-t
B
(
z
,
1
−
z
)
=
∫
0
1
t
z
−
1
(
1
−
t
)
−
z
d
t
=
∫
0
+
∞
u
z
−
1
1
+
u
d
u
=
∫
0
+
∞
f
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{-z}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }f(u)\,\mathrm {d} u.}
On calcule cette intégrale par le théorème des résidus . Pour cela, on définit le chemin suivant pour 0<ε<1<R :
C ε le demi-cercle de rayon ε sur le demi-plan Re(w )<0 les deux segments
S
ε
,
R
±
=
{
±
i
ε
,
±
i
ε
+
R
2
−
ε
2
}
{\displaystyle S_{\varepsilon ,R}^{\pm }=\{\pm \mathrm {i} \varepsilon ,\pm \mathrm {i} \varepsilon +{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}\}}
l'arc de cercle
Γ
ε
,
R
=
{
R
e
i
θ
,
θ
∈
[
arctan
ε
R
2
−
ε
2
,
2
π
−
arctan
ε
R
2
−
ε
2
]
}
{\displaystyle \Gamma _{\varepsilon ,R}=\left\lbrace R\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta },\theta \in \left[\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}},2\pi -\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}}\right]\right\rbrace }
En choisissant ε et R w =-1
∫
C
ε
f
(
w
)
d
w
+
∫
S
ε
,
R
+
f
(
w
)
d
w
+
∫
Γ
ε
,
R
f
(
w
)
d
w
+
∫
S
ε
,
R
−
f
(
w
)
d
w
=
2
i
π
R
e
s
(
−
1
,
f
)
.
{\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{+}}f(w)dw+\int _{\Gamma _{\varepsilon ,R}}f(w)dw+\int _{S_{\varepsilon ,R}^{-}}f(w)dw=2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f).}
En faisant tendre ε vers 0 et R lemme de Jordan , que les intégrales sur C ε et Γε,R tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes , il vient :
∀
t
>
0
,
(
t
+
i
ε
)
1
−
z
⟶
ε
→
0
t
1
−
z
,
(
t
−
i
ε
)
1
−
z
⟶
ε
→
0
t
1
−
z
e
−
2
i
π
z
.
{\displaystyle \forall t>0,\quad (t+\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\ ,\ (t-\mathrm {i} \varepsilon )^{1-z}{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}t^{1-z}\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}.}
Ainsi, après simplifications, on a :
2
i
π
R
e
s
(
−
1
,
f
)
=
(
1
−
e
2
i
π
z
)
∫
0
+
∞
u
z
−
1
1
+
u
d
u
.
{\displaystyle 2\mathrm {i} \pi \mathrm {Res} (-1,f)=(1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z})\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u.}
De plus :
R
e
s
(
−
1
,
f
)
=
lim
w
→
−
1
1
w
1
−
z
=
−
e
i
π
z
.
{\displaystyle \mathrm {Res} (-1,f)=\lim _{w\to -1}{\frac {1}{w^{1-z}}}=-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi z}.}
Donc, en simplifiant
B
(
z
,
1
−
z
)
=
∫
0
+
∞
u
z
−
1
1
+
u
d
u
=
π
sin
(
π
z
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u^{z-1}}{1+u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}.}
Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.
![{\displaystyle \Gamma _{\varepsilon ,R}=\left\lbrace R\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta },\theta \in \left[\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}},2\pi -\arctan {\frac {\varepsilon }{\sqrt {R^{2}-\varepsilon ^{2}}}}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c407dd4b5da00f8deaa124c2e7ffc0e7154bc7a8)
