Coloration de régions

technique de représentation graphique des fonctions mathématiques complexes

La coloration de régions[1] est une technique de représentation des fonctions complexes. Le terme vient de l'anglais "domain coloring", inventé par Frank Farris aux alentours de 1998[2],[3]. La couleur avait déjà été utilisée plus tôt pour visualiser les fonctions complexes, en général en associant l'argument à la couleur[4]. La technique consistant à utiliser une variation continue de couleur pour associer les points de l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivée ou au plan image a été utilisée en 1999 par George Abdo et Paul Godfrey[5]. Les grilles colorées ont été utilisées dans les graphiques par Doug Arnold en 1997[6].

Coloration de régions de la fonction . La couleur (teinte) représente l'argument de la fonction. Les lignes noires et blanches (saturation, valeur) représentent les valeurs de la fonction à module constant.

MotivationsModifier

Une fonction réelle   (par exemple  ) peut être représentée graphiquement à l'aide de deux coordonnées cartésiennes dans un plan.

Le graphe d'une fonction complexe   d'une variable complexe requiert deux dimensions complexes. Le plan complexe étant lui-même à deux dimensions, le graphe d'une fonction complexe est un objet à quatre dimensions réelles. Cette particularité rend la visualisation de fonctions complexes dans un espace tridimensionnel difficile. L'illustration d'une fonction holomorphe peut se faire grâce à une surface de Riemann.

Représentation visuelle du plan complexeModifier

Étant donné un nombre complexe  , la phase (connue aussi comme l'argument)   peut être représentée par la teinte.

 
Coloration de la phase des affixes. Le rouge correspond à 0, le jaune à pi/3, le vert à 2pi/3, le cyan à pi, le bleu à 4pi/3 et le magenta à 5pi/3.

La disposition des teintes est arbitraire[7] mais suit souvent l'ordre du cercle chromatique. La phase est parfois représentée par un dégradé plutôt que par la teinte.

Le module   est représenté par l'intensité ou des variations d'intensité.

 
Le module des affixes est représenté ici par une variation de l'intensité. L'augmentation du module va dans le sens de l'éclaircissement. Chaque transition clair/foncé correspond à un doublement du module.
 
Des lignes blanches sont ajoutées à la version précédente pour représenter les lignes de phase constante, espacées de pi/6.

Il est possible d'ajouter aussi l'illustration des parties réelles et imaginaires des affixes du plan complexe à l'aide d'une grille.

 
Illustration des phase, module, parties réelle et imaginaire des affixes.

ExemplesModifier

L'image suivante illustre la fonction sinus   entre   et   sur l'axe réel et de   à   sur l'axe imaginaire.

 

L'image suivante illustre la fonction  , en mettant en évidence les trois zéros (dont l'un est double) et les deux pôles.

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. Georg Glaeser et Konrad Polthier (trad. de l'allemand par Janie Molard), Surprenantes images des mathématiques, Paris, Belin, coll. « Pour la science », , 344 p. (ISBN 978-2-7011-5695-8), p. 290
  2. (en) Frank A. Farris, « Visualizing complex-valued functions in the plane », sur maa.org, (consulté le 15 août 2015)
  3. (en) Hans Lundmark, « Visualizing complex analytic functions using domain coloring », (Représentation de fonctions analytiques complexes en utilisant la coloration de régions) Lundmark se réfère à Farris pour l'invention du terme "domain coloring", (consulté le 15 août 2015)
  4. (en) David A. Rabenhorst, « A Color Gallery of Complex Functions », Pixel: the magazine of scientific visualization, Pixel Communications, nos 1-4,‎ , p. 42 et suivantes.
  5. (en) George Abdo et Paul Godfrey, « Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring », (consulté le 15 août 2015)
  6. (en) Douglas N. Arnold, « Graphics for complex analysis », sur www.ima.umn.edu, (consulté le 15 août 2015)
  7. Autre exemple de représentation de la phase par quatre couleurs (bleu, magenta, rouge et noir) : (en) François Labelle, « A Gallery of Complex Functions », sur wismuth.com, (consulté le 5 juin 2017)

Liens externesModifier