Négligeabilité

comparaison de fonctions sur un voisinage, la fonction négligeable étant insignifiante devant l'autre
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En analyse mathématique, la prépondérance ou négligeabilité relie deux fonctions à valeurs dans ou , formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec et , quand , devient arbitrairement petit devant . On dit alors que est négligeable devant ou que est prépondérante devant au voisinage de l'infini, ce que l'on note

Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.

DéfinitionModifier

Soient   et   deux fonctions définies sur une partie   de   à valeurs dans   ou  , et soit   un point adhérent à   (  peut être un réel,   ou  ).

On dit que   est négligeable devant  , ou que   est prépondérante devant   au voisinage de   si il existe une fonction   et un voisinage   de   tels que :

 , et   sur  

Ce qui est équivalent à  :

  • si   :  
  • si   :  
  • si   :  

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où   ne s'annule pas au voisinage de  , sauf peut-être en   est :

  est négligeable devant   au voisinage de   si :

 

On écrit alors  , qui se lit «   est un petit   de   au voisinage de   ». C'est une des notations de Landau.

PropriétésModifier

  • Si   et   alors  .
  • Si   et   alors  ,
    en particulier, si   et   est bornée au voisinage de a, alors  .
  • Si   et  , ou si   et  , alors  
    en particulier,   est transitive.
  •  .

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelleModifier

Échelle de comparaisonModifier

Une échelle de comparaison   est[1] une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :

 .

DéfinitionModifier

Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur  , et   une échelle de comparaison en a.

On dit que f admet la fonction   comme partie principale par rapport à l'échelle   s'il existe un réel A non nul tel que   (ou  )[2].

PropriétésModifier

  • Unicité en cas d'existence
  • Soient   et   admettant respectivement   et   comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison  .
  1. La partie principale de   par rapport à l'échelle de comparaison   est la même que celle de  .
  2. Si   alors   est la partie principale de   par rapport à l'échelle de comparaison  .
  3. Si   et   alors   est la partie principale de   par rapport à l'échelle de comparaison  .

Comparaison pour les suitesModifier

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur  , auquel   est adhérent.

Par conséquent, une suite   de nombres réels est négligeable devant une suite réelle   si et seulement si :

il existe une suite   de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang,  

ou encore :

 ,

ce qui, lorsque   ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

 .

On note :  .

RéférencesModifier

  1. Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques, Techniques de l'ingénieur, (lire en ligne), p. 4.
  2. Randé 2004, p. 5.

Voir aussiModifier

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