Soient
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
deux fonctions définies sur une partie
I
{\displaystyle I}
de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
à valeurs dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
ou
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, et soit
a
{\displaystyle a}
un point adhérent à
I
{\displaystyle I}
(
a
{\displaystyle a}
peut être un réel,
+
∞
{\displaystyle +\infty }
ou
−
∞
{\displaystyle -\infty }
).
On dit que
f
{\displaystyle f}
est négligeable devant
g
{\displaystyle g}
, ou que
g
{\displaystyle g}
est prépondérante devant
f
{\displaystyle f}
au voisinage de
a
{\displaystyle a}
si il existe une fonction
ε
{\displaystyle \varepsilon }
et un voisinage
V
{\displaystyle V}
de
a
{\displaystyle a}
tels que :
ε
→
a
0
{\displaystyle \varepsilon \ {\underset {a}{\rightarrow }}\ 0}
, et
f
=
ε
g
{\displaystyle f=\varepsilon g\ }
sur
V
∩
I
{\displaystyle V\cap I}
Ce qui est équivalent à :
si
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
:
∀
ε
>
0
∃
η
>
0
∀
x
∈
]
a
−
η
,
a
+
η
[
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
si
a
=
+
∞
{\displaystyle a=+\infty }
:
∀
ε
>
0
∃
A
∈
R
∀
x
∈
[
A
,
+
∞
[
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
si
a
=
−
∞
{\displaystyle a=-\infty }
:
∀
ε
>
0
∃
A
∈
R
∀
x
∈
]
−
∞
,
A
]
∩
I
|
f
(
x
)
|
≤
ε
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}
Une autre caractérisation plus commode dans le cas où
g
{\displaystyle g}
ne s'annule pas au voisinage de
a
{\displaystyle a}
est :
f
{\displaystyle f}
est négligeable devant
g
{\displaystyle g}
au voisinage de
a
{\displaystyle a}
si :
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=0}
On écrit alors
f
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
, qui se lit «
f
{\displaystyle f}
est un petit
o
{\displaystyle o}
de
g
{\displaystyle g}
au voisinage de
a
{\displaystyle a}
». C'est une des notations de Landau .
Dans le cas où
g
{\displaystyle g}
ne s'annule pas au voisinage de
a
{\displaystyle a}
mais s’annule en
a
{\displaystyle a}
, f est négligeable devant g au voisinage de
a
{\displaystyle a}
si :
lim
x
→
a
x
≠
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\underset {x\neq a}{x\to a}}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}=0}
et si
f
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=0}
Si
f
1
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
et
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
alors
f
1
+
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
.
Si
f
1
=
a
o
(
g
1
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})}
et
f
2
=
a
O
(
g
2
)
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})}
alors
f
1
f
2
=
a
o
(
g
1
g
2
)
{\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})}
,
en particulier, si
f
1
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
et
f
2
{\displaystyle f_{2}}
est bornée au voisinage de a , alors
f
1
f
2
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
.
Si
f
=
a
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}
et
g
=
a
O
(
h
)
{\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)}
, ou si
f
=
a
O
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}
et
g
=
a
o
(
h
)
{\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}
, alors
f
=
a
o
(
h
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}
en particulier,
=
a
o
{\displaystyle \,{\underset {a}{=}}\,o}
est transitive .
f
∼
a
g
⇔
f
−
g
=
a
o
(
g
)
⇔
f
=
a
g
+
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)}
.
Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
modifier
Une échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
est[ 1] une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a ), non équivalentes à 0 en a , telle que :
∀
(
f
,
g
)
∈
E
a
2
f
≠
g
⇒
(
f
=
a
o
(
g
)
ou
g
=
a
o
(
f
)
)
{\displaystyle \forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)}
.
Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a ), ne s'annulant pas sur
V
∖
{
a
}
{\displaystyle V\setminus \{a\}}
, et
E
a
{\displaystyle E_{a}}
une échelle de comparaison en a .
On dit que f admet la fonction
g
∈
E
a
{\displaystyle g\in E_{a}}
comme partie principale par rapport à l'échelle
E
a
{\displaystyle E_{a}}
s'il existe un réel A non nul tel que
f
∼
a
A
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag}
(ou
f
=
a
A
g
+
o
(
g
)
{\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)}
)[ 2] .
Unicité en cas d'existence
Soient
f
1
{\displaystyle f_{1}}
et
f
2
{\displaystyle f_{2}}
admettant respectivement
g
1
{\displaystyle g_{1}}
et
g
2
{\displaystyle g_{2}}
comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
.
La partie principale de
f
1
f
2
{\displaystyle f_{1}f_{2}}
par rapport à l'échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
est la même que celle de
g
1
g
2
{\displaystyle g_{1}g_{2}}
.
Si
g
1
=
a
o
(
g
2
)
{\displaystyle g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})}
alors
g
2
{\displaystyle g_{2}}
est la partie principale de
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
par rapport à l'échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
.
Si
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
et
A
1
+
A
2
≠
0
{\displaystyle A_{1}+A_{2}\neq 0}
alors
(
A
1
+
A
2
)
g
1
{\displaystyle (A_{1}+A_{2})g_{1}}
est la partie principale de
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
par rapport à l'échelle de comparaison
E
a
{\displaystyle E_{a}}
.
↑ Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques , Techniques de l'ingénieur, 2004 (lire en ligne ) , p. 4 .
↑ Randé 2004 , p. 5.