Fonction diviseur

En mathématiques, la fonction "somme des puissances des diviseurs", parfois abrégée en fonction diviseur[réf. souhaitée] , notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque :

PropriétésModifier

  • La fonction   est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux,  . En effet,   est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance  -ième et la fonction constante 1.
  • Si p est un nombre premier alors σa(pk) est une somme partielle de série géométrique :
     
    (La condition pa = 1 équivaut à a ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si a est nul et pour au plus un sinon.) En particulier,   n'est pas complètement multiplicative.
  • L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σa(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
     
  • La seconde des deux mêmes propriétés permet de calculer σa(pk) par les polynômes de Tchebychev : soient Uk le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré k, et Xk sa renormalisation, définie par Xk(T) = Uk(T/2). Alors[1] :
     
  • Par multiplicativité, on déduit du point précédent[1] :
     
    (où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius :
     .
  • La série de Dirichlet associée à   s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann :
     
    et l'on a la relation :
     

Cas où a est un entier naturelModifier

Fonction nombre de diviseursModifier

La fonction[2]   (« nombre de diviseurs »), également notée[3] d, est aussi appelée fonction tau[4],[5] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

 

La suite   est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.

Fonction somme des diviseursModifier

La fonction sigma   est parfois notée σ. On a

 

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors

  où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est   L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

La suite   est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.

Autres valeurs de aModifier

La suite   est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.

La suite   est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.

Notes et référencesModifier

  1. a et b Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
  2. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  3. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, [détail de l’édition].
  4. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
  5. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 3,‎ , p. 63-68 (lire en ligne)

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Divisor Function », sur MathWorld