Fonction de Hilbert-Samuel

En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre Samuel), d'un module de type fini non nul $M$ sur un anneau local noethérien commutatif $A$ et un idéal primordial $I$ de $A$ est la fonction $\chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ définie pour tous $n\in \mathbb {N}$ par :

$\chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)$

où $\ell$ désigne la longueur sur $A$. Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé $\operatorname {gr} _{I}(M)$ par l'identité :

$\chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).$

Pour $n$ assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à $\dim(\operatorname {gr} _{I}(M))$, souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de Hilbert).

Exemples

Pour l'anneau de séries formelles de puissances à deux variables $k[[x,y]]$ pris comme un module sur lui-même et l'idéal $I$ générés par les monômes $x^{2}$ et $y^{3}$, on a :

$\chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ et en général }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ pour }}n\geq 0.$

Limite de degré

Contrairement à la fonction de Hilbert, la fonction de Hilbert – Samuel n'est pas additive sur une séquence exacte. Cependant, il près de l'être en conséquence du lemme d'Artin – Rees. On note $P_{I,M}$ le polynôme de Hilbert-Samuel, qui coïncide avec la fonction de Hilbert-Samuel pour les grands entiers.

Théorème — Soit $(R,m)$ un anneau local noethérien et I un m-idéal primordial. Si :
$0\to M'\to M\to M''\to 0$
est une séquence exacte de R-modules de type finie, et si $M/IM$ est de longueur fini, alors on a :
$P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F$
où F est un polynôme de dégré strictement inférieur à celui de $P_{I,M'}$ et ayant le même coefficient dominant. En particulier, si $M'\simeq M$, alors le degré de $P_{I,M''}$ est strictement inférieur à celui de $P_{I,M}=P_{I,M'}$.

Preuve : En tensoriant la séquence exacte donnée avec $R/I^{n}$ et en calculant le noyau, nous obtenons la séquence exacte :

$0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0,$

ce qui nous donne :

$\chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')$.

Le troisième terme à droite peut être estimé par Artin-Rees. En effet, d'après le lemme, pour un grand n et un certain k,

$I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.$

Ainsi,

$\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)$.

Cela donne la limite de degré souhaitée.

Multiplicité

Si $A$ est un anneau local de dimension de Krull $d$, et $I$ un idéal $m$-primordiale, le coefficient dominant de son polynôme de Hilbert est de la forme ${\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}$ pour un entier $e$. Cet entier $e$ est par définition la multiplicité de l'idéal $I$. Quand $I=m$ est l'idéal maximal de $A$, on dit aussi $e$ est la multiplicité de l'anneau local $A$.

La multiplicité d'un point $x$ d'un schéma $X$ est définie comme étant la multiplicité de l'anneau local correspondant ${\mathcal {O}}_{X,x}$.

Voir aussi

• j-multiplicité