Fonction de Fabius

En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe $C^{\infty }$ qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1996). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de

Représentation graphique de la fonction de Fabius sur l'intervalle [0,1] .

Extension de la fonction aux nombres réels positifs.

${\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}$

par Børge Jessen et Aurel Winner (1935).

La fonction Fabius est définie sur l'intervalle $[0,1]$ et est donnée par la fonction de répartition de

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},$

où les ξ_n sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'intervalle unité.

Description

Cette fonction satisfait la condition initiale $f(0)=0$, la condition de symétrie $f(1-x)=1-f(x)$ pour $0\leq x\leq 1,$ et l' équation différentielle fonctionnelle $f'(x)=2f(2x)$ pour $0\leq x\leq 1/2.$ Il s'ensuit que $f$ est monotone croissante pour $0\leq x\leq 1,$ avec $f(1/2)=1/2$ et $f(1)=1.$ Il existe une extension unique de f aux nombres réels qui satisfait la même équation différentielle pour tout x . Cette extension peut être définie par f (x) = 0 pour x ≤ 0, f (x + 1) = 1 − f (x) pour 0 ≤ x ≤ 1, et f (x + 2^r) = −f (x) pour 0 ≤ x ≤ 2^r avec r un entier positif. La séquence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou négative suit le même schéma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.

Valeurs

La fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possède des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.

Notes et références

• (en) Juan Arias de Reyna, « Arithmetic of the Fabius function », 2017.
• (en) Juan Arias de Reyna, « An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties », 2017. (an English translation of the author's paper published in Spanish in 1982)
• (en) Alkauskas, Giedrius, Dirichlet series associated with Thue-Morse sequence, 2001 (lire en ligne).
• (ru) Rvachev, V. L. et Rvachev, V. A., Non-classical methods of the approximation theory in boundary value problems, Kiev, Naukova Dumka, 1979.