Foncteur de translation

En théorie des représentations, un foncteur de translation (parfois appelé foncteur de Zuckerman) est un foncteur qui transforme les représentations d'une algèbre de Lie en des représentations ayant un caractère central éventuellement différent. Les foncteurs de translation ont été introduits indépendamment par (Zuckerman 1977) et (Jantzen 1979). En gros, le foncteur est défini en prenant le produit tensoriel avec une représentation fixe de dimension finie, puis en prenant le sous-espace correspondant à un caractère central particulier.

Définition

Par l'isomorphisme de Harish-Chandra, les caractères du centre Z de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie réductive complexe peuvent être identifiés avec les points de (L⊗C)/W, où L est le réseau des poids et W est le groupe de Weyl. Si λ est un point de (L⊗C)/W, on notera χ_λ pour le caractère correspondant de Z.

On dit qu'une représentation de l'algèbre de Lie admet un caractère central χ_λ si tout vecteur v est un vecteur propre généralisé du centre Z de valeur propre χ_λ ; autrement dit, pour z ∈ Z et v ∈ V, il existe n entier tel que (z – χ_λ(z))ⁿ(v)=0.

Étant donné deux poids λ et μ, le foncteur de translation $\psi _{\lambda }^{\mu }$ envoie les représentations V admettant pour caractère central χ_λ sur des représentations admettant le caractère central χ_μ. Il est construit en deux étapes :

• on prend d'abord le produit tensoriel de V avec une représentation irréductible de dimension finie admettant un poids extrémal λ – μ (s'il en existe une) ;
• on prend ensuite l'espace propre généralisé de ce produit tensoriel pour la valeur propre χ_μ.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Translation functor » (voir la liste des auteurs).

• (de) Jens Carsten Jantzen, Moduln mit einem höchsten Gewicht, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 750), 1979 (ISBN 978-3-540-09558-3, DOI 10.1007/BFb0069521, MR 552943)
• Anthony W. Knapp et David A. Vogan, Cohomological induction and unitary representations, vol. 45, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series », 1995 (ISBN 978-0-691-03756-1, DOI 10.1515/9781400883936, MR 1330919)
• Gregg Zuckerman, « Tensor products of finite and infinite dimensional representations of semisimple Lie groups », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 106, n^o 2,‎ 1977, p. 295-308 (DOI 10.2307/1971097, JSTOR 1971097, MR 0457636)