L'espace de Lorentz sur un espace mesurable
(
X
,
μ
)
{\displaystyle (X,\mu )}
est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes
f
{\displaystyle f}
sur
X
{\displaystyle X}
tel que la quasinorme suivante soit finie
‖
f
‖
L
p
,
q
(
X
,
μ
)
=
p
1
q
‖
t
μ
{
|
f
|
≥
t
}
1
p
‖
L
q
(
R
+
,
d
t
t
)
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}
où
0
<
p
<
∞
{\displaystyle 0<p<\infty }
et
0
<
q
≤
∞
{\displaystyle 0<q\leq \infty }
. Ainsi, lorsque
q
<
∞
{\displaystyle q<\infty }
‖
f
‖
L
p
,
q
(
X
,
μ
)
=
p
1
q
(
∫
0
∞
t
q
μ
{
x
:
|
f
(
x
)
|
≥
t
}
q
p
d
t
t
)
1
q
=
(
∫
0
∞
(
τ
μ
{
x
:
|
f
(
x
)
|
p
≥
τ
}
)
q
p
d
τ
τ
)
1
q
.
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}
et quand
q
=
∞
{\displaystyle q=\infty }
,
‖
f
‖
L
p
,
∞
(
X
,
μ
)
p
=
sup
t
>
0
(
t
p
μ
{
x
:
|
f
(
x
)
|
>
t
}
)
.
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}
Il est également classique de fixer
L
∞
,
∞
(
X
,
μ
)
=
L
∞
(
X
,
μ
)
{\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}
.
Par le réarrangement décroissant
modifier
La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction
f
{\displaystyle f}
. En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes
f
{\displaystyle f}
définie sur un espace mesurable,
(
X
,
μ
)
{\displaystyle (X,\mu )}
, son réarrangement décroissant,
f
∗
:
[
0
,
∞
[
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty [\to [0,\infty ]}
est défini par
f
∗
(
t
)
=
inf
{
α
≥
0
:
μ
f
(
α
)
≤
t
}
{\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \geq 0:\mu _{f}(\alpha )\leq t\}}
où
d
f
{\displaystyle d_{f}}
est la fonction de distribution de
f
{\displaystyle f}
, donnée par
μ
f
(
α
)
=
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
>
α
}
)
{\displaystyle \mu _{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})}
,
Les deux fonctions
|
f
|
{\displaystyle |f|}
et
f
∗
{\displaystyle f^{\ast }}
sont équimesurables , c'est-à-dire que
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
>
α
}
)
=
λ
(
{
t
>
0
:
f
∗
(
t
)
>
α
}
)
,
α
>
0
,
{\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}
où
λ
{\displaystyle \lambda }
est la mesure de Lebesgue sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec
f
{\displaystyle f}
, est défini par
R
∋
t
↦
1
2
f
∗
(
|
t
|
)
.
{\displaystyle \mathbb {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}
Compte tenu de ces définitions, pour
0
<
p
<
∞
{\displaystyle 0<p<\infty }
et
0
<
q
≤
∞
{\displaystyle 0<q\leq \infty }
, les quasinormes de Lorentz sont données par
‖
f
‖
L
p
,
q
=
{
(
∫
0
∞
(
t
1
p
f
∗
(
t
)
)
q
d
t
t
)
1
q
q
∈
(
0
,
∞
)
,
sup
t
>
0
t
1
p
f
∗
(
t
)
q
=
∞
.
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}
Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace
L
p
{\displaystyle L^{p}}
au sens où, pour tout
p
{\displaystyle p}
,
L
p
,
p
=
L
p
{\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}
. De plus, l'espace
L
p
,
∞
{\displaystyle L^{p,\infty }}
coïncide avec l'espace
L
p
{\displaystyle L^{p}}
faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
et
1
≤
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq q\leq \infty }
. Lorsque
p
=
1
{\displaystyle p=1}
,
L
1
,
1
=
L
1
{\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}
est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de
L
1
,
∞
{\displaystyle L^{1,\infty }}
. En effet, si l'on définit les fonctions
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
1
x
χ
(
0
,
1
)
(
x
)
et
g
(
x
)
=
1
1
−
x
χ
(
0
,
1
)
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{et}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}
dont la quasi-norme
L
1
,
∞
{\displaystyle L^{1,\infty }}
vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme
f
+
g
{\displaystyle f+g}
vaut 4.
L'espace
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
est inclus dans
L
p
,
r
{\displaystyle L^{p,r}}
dès que
q
<
r
{\displaystyle q<r}
. Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre
L
1
{\displaystyle L^{1}}
et
L
∞
{\displaystyle L^{\infty }}
.
Si
(
X
,
μ
)
{\displaystyle (X,\mu )}
est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors
(
L
p
,
q
)
∗
=
{
0
}
{\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}
pour
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
, ou
1
=
p
<
q
<
∞
{\displaystyle 1=p<q<\infty }
;
(
L
p
,
q
)
∗
=
L
p
′
,
q
′
{\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}
pour
1
<
p
<
∞
,
0
<
q
≤
∞
{\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }
, ou
0
<
q
≤
p
=
1
{\displaystyle 0<q\leq p=1}
;
(
L
p
,
∞
)
∗
≠
{
0
}
{\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}
pour
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
.
où
p
′
{\displaystyle p'}
et
q
′
{\displaystyle q'}
sont les exposants conjugués de
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
. On a par exemple
p
′
=
p
/
(
p
−
1
)
{\displaystyle p'=p/(p-1)}
pour
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
,
p
′
=
∞
{\displaystyle p'=\infty }
pour
0
<
p
≤
1
{\displaystyle 0<p\leq 1}
, et
∞
′
=
1
{\displaystyle \infty '=1}
.
‖
f
g
‖
L
p
,
q
≤
A
p
1
,
p
2
,
q
1
,
q
2
‖
f
‖
L
p
1
,
q
1
‖
g
‖
L
p
2
,
q
2
{\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}
où
0
<
p
,
p
1
,
p
2
<
∞
{\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }
,
0
<
q
,
q
1
,
q
2
≤
∞
{\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }
,
1
/
p
=
1
/
p
1
+
1
/
p
2
{\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}
, et
1
/
q
=
1
/
q
1
+
1
/
q
2
{\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}
.
Les éléments suivants sont équivalents pour
0
<
p
≤
∞
,
1
≤
q
≤
∞
{\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }
.
‖
f
‖
L
p
,
q
≤
A
p
,
q
C
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}
.
f
=
∑
n
∈
Z
f
n
{\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}
où
f
n
{\displaystyle f_{n}}
a un support disjoint avec la mesure
≤
2
n
{\displaystyle \leq 2^{n}}
,
0
≤
H
n
+
1
≤
|
f
n
|
≤
H
n
{\displaystyle 0\leq H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}
presque partout dans le support de
f
n
{\displaystyle f_{n}}
, et
‖
H
n
2
n
/
p
‖
ℓ
q
(
Z
)
≤
A
p
,
q
C
{\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}
.
|
f
|
≤
∑
n
∈
Z
H
n
χ
E
n
{\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}
presque partout où
μ
(
E
n
)
≤
A
p
,
q
′
2
n
{\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}
et
‖
H
n
2
n
/
p
‖
ℓ
q
(
Z
)
≤
A
p
,
q
C
{\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}
.