En mathématiques, un espace de Lorentz, noté est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés ).

Comme les espaces , un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme . La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes . La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.

Définition

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Par une quasi-norme

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L'espace de Lorentz sur un espace mesurable   est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes   sur   tel que la quasinorme suivante soit finie

 

  et   . Ainsi, lorsque  

 

et quand   ,

 

Il est également classique de fixer   .

Par le réarrangement décroissant

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La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction  . En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes   définie sur un espace mesurable,  , son réarrangement décroissant,   est défini par

 

  est la fonction de distribution de  , donnée par

 ,
Les deux fonctions   et   sont équimesurables, c'est-à-dire que 

  est la mesure de Lebesgue sur  . Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec  , est défini par  

Compte tenu de ces définitions, pour   et  , les quasinormes de Lorentz sont données par

 

Structure

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Espace de Banach

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Quasi-norme de Lorentz

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Norme de Lorentz

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Espace d'interpolation

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Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace   au sens où, pour tout  ,  . De plus, l'espace   coïncide avec l'espace   faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour   et   . Lorsque  ,   est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de  . En effet, si l'on définit les fonctions   et  

 

dont la quasi-norme   vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme   vaut 4.

L'espace   est inclus dans   dès que   . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre   et   .

Espace dual

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Si   est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors

  1.   pour  , ou   ;
  2.   pour  , ou   ;
  3.   pour  .

  et   sont les exposants conjugués de   et  . On a par exemple   pour  ,   pour  , et   .

Propriétés

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Inégalité de Hölder

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  ,  ,  , et   .

Inégalité de Hardy-Littlewood

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Caractérisation dyadique

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Les éléments suivants sont équivalents pour   .

  1.   .
  2.    a un support disjoint avec la mesure  ,   presque partout dans le support de  , et   .
  3.   presque partout où   et   .

Articles connexes

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Références

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Remarques

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