Ensemble totalement ordonné
En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.
Définition
modifierSoit un ensemble muni d'une relation d'ordre . Rappelons que toute relation d'ordre vérifie les propriétés suivantes :
- (réflexivité) ;
- (transitivité) ;
- (antisymétrie) .
est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de sont comparables pour :
- .
Exemples
modifier- L'ensemble des parties de est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, n'est pas totalement ordonné : et ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
- L'ensemble des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle est totalement ordonné.