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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Ordre total.

En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.

DéfinitionModifier

Soit   un ensemble muni d'une relation d'ordre  . Rappelons que toute relation d'ordre   vérifie les propriétés suivantes :

  • (réflexivité)   ;
  • (transitivité)   ;
  • (antisymétrie)  .

  est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de   sont comparables pour   :

  •  .

ExemplesModifier

  1. L'ensemble   des parties de   est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant,   n'est pas totalement ordonné :   et   ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
  2. L'ensemble   des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle   est totalement ordonné.