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Ensemble flou

ensemble caractérisé par une fonction d'appartenance

La théorie des sous-ensembles flous[1] est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh[2] en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue.

PrésentationModifier

Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.

Les sous-ensembles flous sont utilisés soit pour modéliser l'incertitude et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un système expert.

DéfinitionModifier

 
Ensemble flou. Le niveau de gris indique le degré d'appartenance.

Une partie   d'un ensemble   est usuellement associée à sa fonction caractéristique. Celle-ci s'applique sur les éléments x de  . Elle prend la valeur 0 si x n'appartient pas à   et 1 si x appartient à  .

On souhaite définir une partie   floue de   en attribuant aux éléments x de   un degré d'appartenance, d'autant plus élevé qu'on souhaite exprimer avec certitude le fait que x est élément de  . Cette valeur vaudra 0 si on souhaite exprimer que x de façon certaine n'est pas élément de  , elle vaudra 1 si on souhaite exprimer que x appartient à   de façon certaine, et elle prendra une valeur comprise entre 0 et 1 suivant qu'on estime plus ou moins certain l'appartenance de x à  . On est donc amené à définir une partie floue de la façon suivante :

Une partie floue (ou sous-ensemble flou) d'un ensemble   est une application de   dans [0,1].

Plus généralement, si   est un treillis complet, distributif et complémenté, on définit une partie L-floue comme étant une application de   dans  . Si  , on retrouve la définition précédente de partie floue, et si  , on retrouve la notion usuelle de partie de E.

PropriétésModifier

  • Une partie floue   de   est caractérisée par une application de   dans  . Cette application, appelée fonction d'appartenance et notée   représente le degré de validité de la proposition «   appartient à   » pour chacun des éléments   de  . Si  , l'objet   appartient totalement à  , et si  , il ne lui appartient pas du tout. Pour un élément   donné, la valeur de la fonction d'appartenance   est appelée degré d'appartenance de l'élément   au sous-ensemble  .
  • L'ensemble   est donné par la fonction d'appartenance identiquement égale à 1. L'ensemble vide est donné par la fonction d'appartenance identiquement nulle.
  • Le noyau d'une partie floue   est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à   c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à   vaut 1.
     
  • Le support d'une partie floue   est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à   c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à   est différent de 0.
     
  • La hauteur d'un sous-ensemble flou   de   est définie par
     .
  • Une partie floue   de   peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une α-coupe d'une partie floue   est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α.
     
  • Un ensemble fini possède un nombre fini de sous-ensembles L-flous si et seulement si le treillis L est fini[3]. Si L = [0,1], un ensemble fini possède une infinité de sous-ensembles flous.

OpérationsModifier

En observant comment les opérations usuelles se comportent vis-à-vis des fonctions caractéristiques de parties, on étend ces opérations aux fonctions d'appartenance des parties floues.

RéunionModifier

Soient   une famille de parties floues d'un ensemble   indexées selon un ensemble  , données par leur fonction d'appartenance  . On définit la réunion   de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :

 , ce qui sera noté  

IntersectionModifier

De même, on définit l'intersection de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :

 , ce qui sera noté  

Réunion et intersection restent distributives l'une par rapport à l'autre.

ComplémentaireModifier

Le complémentaire d'une partie floue donnée par sa fonction d'appartenance   est la partie floue dont la fonction d'appartenance est  .

Le complémentaire d'une intersection reste égal à la réunion des complémentaires, et le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires. Le complémentaire du complémentaire redonne la partie initiale.

Cependant, la réunion d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas toujours l'ensemble  , et l'intersection d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas l'ensemble vide.

En effet, considérons, par exemple, la partie floue   de   donnée par la fonction d'appartenance:  

Cette partie floue est égale à son complémentaire car sa fonction d'appartenance vérifie  .

On déduit alors de   que  

Image réciproqueModifier

Soient   et   deux ensembles et   une application de   dans  . Considérons une partie floue de   donnée par sa fonction d'appartenance  . On appelle image réciproque de cette partie floue par   la partie floue de   donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée   :

 

Image directeModifier

Soient   et   deux ensembles et   une application de   dans  . Considérons une partie floue de   donnée par sa fonction d'appartenance  . On appelle image directe de cette partie floue par   la partie floue de   donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée   :

 

Topologie floueModifier

Dès 1968, Chang[4] a appliqué la théorie des ensembles flous à la topologie, donnant naissance à la topologie floue.

DéfinitionModifier

Soit   un ensemble. Une topologie floue est donnée par une collection   de fonctions d'appartenance vérifiant les propriétés suivantes :

(i) les fonctions 0 et 1 appartiennent à la collection  
(ii) La borne inférieure d'un nombre fini d'éléments de   est élément de  
(iii) La borne supérieure d'un nombre quelconque d'éléments de   est élément de  .

Les éléments de   sont les ouverts flous. Leurs complémentaires sont les fermés flous. La propriété (i) exprime que l'ensemble   et l'ensemble vide sont des ouverts flous, la propriété (ii) qu'une intersection finie d'ouverts flous est un ouvert flou et la propriété (iii) qu'une réunion quelconque d'ouverts flous est un ouvert flou.

Par exemple, étant donné un espace   muni d'une topologie   au sens usuel, on peut lui associer une topologie floue naturelle   en prenant pour   la collection des fonctions semi-continues inférieurement à valeurs dans [0,1]. La topologie floue ainsi définie est dite engendrée par la topologie initiale   de  . Réciproquement, si   est une topologie floue définie sur  , on peut lui associer une topologie   au sens usuel, à savoir la topologie la moins fine rendant toutes les fonctions de   semi-continues inférieurement.

Notions topologiquesModifier

On peut alors introduire des notions plus complexes de topologie floue.

ContinuitéModifier

Ainsi une fonction est continue floue si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert flou de l'ensemble d'arrivée est un ouvert flou de l'ensemble de départ. Les fonctions constantes sont continues floues si et seulement si la topologie floue de l'espace de départ contient tous les ouverts flous définis par des fonctions d'appartenance constantes.

CompacitéModifier

Par analogie à la notion topologique usuelle, un espace topologique flou est compact si, de tout recouvrement par des ouverts flous, on peut extraire un recouvrement fini. Si l'image d'un compact par une application continue floue est compacte, en revanche, le théorème de Tychonoff n'admet qu'une version limitée : seul le produit fini de compacts en topologie floue est compact[5],[6]. Plus généralement, soit   un treillis complet, distributif et complémenté d'élément maximum 1, soit   un nombre cardinal et soit   une famille de compacts en topologie L-floue, où   est de cardinal  . Alors le produit des   est compact pour la topologie produit L-floue si et seulement si 1 vérifie la propriété suivante : pour toute famille   d'éléments de   strictement inférieurs à 1,   est strictement inférieur à 1 (théorème de Tychonoff pour la topologie L-floue). Dans le cas où  , donnant la topologie usuelle, cette propriété est vérifiée pour tout cardinal   et un produit quelconque de compacts est compact. Mais si  , donnant la topologie floue, la propriété n'est vérifiée que pour les cardinaux finis.

Lowen[7] a proposé une autre définition des compacts en topologie floue. En effet, si la topologie floue comprend toutes les fonctions d'appartenance constantes, il n'existe pas de compact au sens précédent : les fonctions   sont telles que   donc ces fonctions définissent un recouvrement de l'espace mais il n'en existe pas de sous-recouvrement fini. Un espace   est compact pour la topologie floue au sens de Lowen si, pour toute fonction d'appartenance constante  , tout   et toute famille d'ouverts flous   telle que  , il existe une sous-famille finie   telle que  . Avec cette définition, un espace muni d'une topologie   usuelle est compact si et seulement s'il est compact muni de la topologie floue   engendrée par  , et un produit quelconque d'espaces compacts est compact (théorème de Tychonoff pour la topologie floue au sens de Lowen).

Enfin, on montre que le théorème de Tychonoff pour la topologie L-floue et le théorème de Tychonoff pour la topologie floue au sens de Lowen sont, comme le théorème de Tychonoff usuel, équivalents à l'axiome du choix.

Notes et référencesModifier

  1. En anglais : « Fuzzy sets ». Fuzzy sets est également le titre d'un roman de Claude Ollier.
  2. L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control 8 (1965) 338-353
  3. A. Kaufmann Introduction à la théorie des sous-ensembles flous à l'usage des ingénieurs, Vol. 1 Éléments théoriques de base, Masson, Paris 1977, (ISBN 2 225 45804 9) p.31
  4. C. L. Chang, Fuzzy topological spaces, J. Math. Anal. Appl. 24 (1968) 182-190
  5. J. A. Goguen, The fuzzy Tychonoff theorem, J. Math. Anal. Appl. 43 (1973) 734-742
  6. Stephan C. Carlson, The quest for a fuzzy Tychonoff theorem, Amer. Math. Monthly 115 (2008) 871-887
  7. R Lowen, Fuzzy topological spaces and fuzzy compactness, J. Math. Anal. Appl. 56 (1976) 621-633

Voir aussiModifier