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Effet Djanibekov

modifications d'axes de rotation d'un solide en impesanteur mu à la fois par rotation et par translation.
Vladimir Djanibekov (à gauche) et Oleg Grigorievitch Makarov (à droite) sur un timbre soviétique de 1978.

L'effet Djanibekov (en russe эффект джанибекова), également connu sous les noms d'expérience de l'écrou de Djanibekov (en russe гайка Джанибекова) ou théorème de la raquette de tennis (en anglais tennis racket theorem), décrit l'instabilité d'un solide en rotation en impesanteur.

Il est nommé d'après le cosmonaute soviétique Vladimir Djanibekov qui en a fait une démonstration filmée en apesanteur. Il s'agit d'un cas classique mais paradoxal de mouvement à la Poinsot.

Sommaire

HistoriqueModifier

Durant l'été 1985, lors de la mission Saliout 7 EO-4-1b, Djanibekov prête attention aux mouvements particuliers d'un écrou papillon libéré en impesanteur dans le vaisseau spatial[1],[2],[3]. En observant la translation à travers la station de l'écrou rapidement dévissé d'une tige filetée, il remarque que les axes de rotation de cet écrou se modifient[3],[4],[5].

DescriptionModifier

Effet Djanibekov sous microgravité, NASA

L'effet se produit pour tout corps rigide en impesanteur — ou chute libre — qui présente trois axes principaux d'inerties différentes (pas « deux plans de symétrie de l'objet ») ( ) et qui est mis en rotation autour de l'axe d'inertie intermédiaire ( ). Alors qu'une rotation autour des deux autres axes stabilise le corps — absorbe les variations — une rotation autour de l'axe intermédiaire n'est pas stable — amplifie les variations.

Dans le référentiel galiléen de la station Saliout, les mouvements de l'écrou observé respectent les principes newtoniens des lois du mouvement avec moment angulaire, moment d'inertie et théorème du couple gyroscopique[6]. Cependant, l'effet apparent est paradoxal : la loi de conservation du moment angulaire devrait rendre invariant l'axe de rotation de l'écrou, or celui-ci pivote de 180° à intervalles réguliers[7].

ExempleModifier

Une raquette de tennis qu'on lance en l'air en la tenant par le manche avec le filet horizontal initialement, aura tendance à tourner « autour de l'axe du manche » durant son vol pour retomber dans la main en présentant l'autre côté du filet. D'où le nom de « théorème de la raquette de tennis » donné à cet effet.

En réalité, durant ce vol, la raquette tourne sur ses trois axes durant cet effet.

Explication mécaniqueModifier

On se place dans le référentiel barycentrique du corps (corps en chute libre).

Soit un corps rigide possédant trois inerties différents que l'on classe tel que  . On note   la vitesse de rotation du corps autour de l'axe i.

Le théorème du moment cinétique nous donne :  

Ce qui nous donne en chute libre ( ), projeté sur les axes :

 

Premier cas : rotation stableModifier

On impose en conditions initiales, une rotation  . Pour déterminer la nature de la stabilité on impose de petites rotations   et  . D'après (1),   est donc petit. On suppose alors que   est constant.

En dérivant l'équation (2) on trouve :  

En substituant   avec l'équation (3) on trouve :

 

Étant donné que   , on peut dire que :

 

On effectue le même raisonnement à partir de l'équation 3 pour trouver :

 

L'accélération angulaire est alors opposé au mouvement suivant ces deux axes : l'objet est stable dans sa rotation.

Deuxième cas : rotation instable (l'effet Djanibekov)Modifier

Si maintenant on impose en conditions initiales une rotation  . Avec le même raisonnement, on trouve :

 

Les « 180 degrés »Modifier

Un mouvement perturbateur autour de l'axe 1 est alors amplifié : la rotation est instable. Une petite perturbation va alors obliger l'axe de rotation de l'objet à se retourner.

L'amplification de la perturbation va se poursuivre jusqu'à 90°. À ce moment, la rotation autour de l'axe intermédiaire est nulle : on se retrouve dans une position où la rotation est stable. L'inertie fait que le corps continue encore sur 90°. L'objet a alors effectué un « demi-tour » de 180°. Et on se retrouve dans la situation initiale. L'objet refait alors un « 180° ».

Notes et référencesModifier

  1. (en) Description de la mission Saliout 7 EO-4-1b dans l' Encyclopedia Astronautica, consultée le 19 mars 2012.
  2. (en) Fiche biographique du cosmonaute soviétique Vladimir Djanibekov dans l' Encyclopedia Astronautica, consultée le 19 mars 2012.
  3. a et b (ru) [vidéo] [https://www.youtube.com/watch?v=dL6Pt1O_gSE джанибеков ] sur YouTube. Entretien télévisé lors duquel le cosmonaute Vladimir Djanibekov explique au journaliste les circonstances et les implications de son expérience spatiale.
  4. (en) Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone et Richard H. Cushman, « The twisting tennis racket », Journal of Dynamics and Differential Equations, vol. 3, no 1,‎ , p. 67-85 (ISSN 1040-7294, DOI 10.1007/BF01049489, lire en ligne)
  5. François Graner, Petits problèmes de physique : mathématiques spéciales MP, PC, PSI et premier cycle universitaire, Springer, , 122 p. (ISBN 9783540640264, OCLC 39140684, lire en ligne), p. 15
  6. (ru) [vidéo] [https://www.youtube.com/watch?v=VHNvzXy-Iqs Эффект Джанибекова ] sur YouTube. Modélisation de l'effet Djanibekov avec le logiciel Mathcad 14.
  7. (ru) [vidéo] Эффект Джанибекова sur YouTube, vidéo au sujet de l'effet Djanibekov réalisée dans la Station spatiale internationale.

Voir aussiModifier