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En mécanique du solide, on appelle mouvement à la Poinsot, le mouvement d'un solide autour de son centre de gravité G, le moment des forces extérieures par rapport à G étant nul. Il existe 3 cas :

  • le solide a ses inerties de rotation égales : A = B = C = J. Alors le mouvement se réduit à une simple rotation uniforme d'axe le moment cinétique Lo (constant), à la vitesse angulaire Lo/J, donc d'énergie cinétique constante Lo²/2J.
  • le solide est à symétrie de révolution : A= B et C est différent. On parle de mouvement d'Euler-Poinsot de la toupie. Le mouvement de la Terre en est un exemple.
  • le solide est quelconque : A>B>C . Le mouvement est périodique, intégrable grâce aux fonctions elliptiques de Jacobi (voir pendule simple) : c'est le mouvement à la Poinsot.

Sommaire

Mouvement d'Euler de la toupie[1]Modifier

Soit un solide de révolution S, d'axes principaux I, J, K, d'inertie à la rotation (A, A, C).Ici, on prend C<A.

Soit Gz la direction du moment cinétique constant Lo.

Soit GP =  (t).

Soient Q la projection de P sur Gz, et R la projection de P sur GZ (d'axe K).

Théorème d'Euler :

  • la figure GQ, GP, GR tourne en bloc autour de Gz sans se déformer .
  • l'angle de nutation (Gz, GZ)=   reste constant. Il y a donc seulement précession.
  • Le mouvement de (S) est donc simplement le mouvement de rotation sans glissement du cône de révolution d'axe GZ, de génératrice GP, sur le cône de révolution d'axe Gz (Lo), de génératrice GP (faire la figure , svp demande de figure (figure 46 du Landau) :
  • l'herpolhodie (lieu de P dans le référentiel barycentrique) est donc le cercle de centre Q de rayon QP ; et la polhodie (lieu de P dans le référentiel propre du solide (S)) est le cercle de centre R de rayon RP.
  • L'angle de précession varie linéairement :   .
  • L'angle de rotation propre varie linéairement :  

Démonstration du théorème d'EulerModifier

  • lemme 1 : le vecteur rotation instantanée   appartient au plan Gz, GZ : en effet la matrice est de révolution (A=B).
  • lemme 2 : l'angle de nutation est constant car  

en effet   par le lemme 1.

Il n'y a donc pas de nutation.

  • lemme 3 :  ... via le lemme 2.
  • lemme 4 : 2Ec = cste = GP.Lo donc GQ est constant.
  • lemme 5 : décomposer le vecteur GP (et non pas projeter) sur Gz et GZ : on trouve alors aisément précession et rotation propre.

Exemple de la TerreModifier

Dans le cas de la Terre, bien dessiner la figure car cette fois, C > A : GP est extérieur à l'angle (GR, GQ);

D'autre part, la Terre est essentiellement un géoïde de forme ellipsoïdale aplatie, avec A/(C-A) = 305. S'il s'agissait d'un ellipsoïde homogène, on aurait A/(C-A)= (a²+c²)/(a²-c²)=~297 ; mais la Terre est plus dense au centre. Le mouvement de précession est de période 305 jours sidéraux ; le mouvement de rotation propre est d'un jour sidéral, soit 86 164,1 s. Au pôle Nord, la polhodie est un cercle d'environ 10 m : le vecteur rotation et le moment cinétique sont presque alignés. Ce mouvement est actuellement suivi par l'IERS.

Note : cette description, dite d'Euler, ne correspond pas à la réalité expérimentale observée par l'IERS :

  • Surtout la Terre n'est pas un solide, mais c'est un solide élastique dont la rigidité est voisine de celle de l'acier. Chandler reprit la théorie d'Euler en tenant compte de ce fait, et trouva que le mouvement de précession d'Euler devait être changé en un mouvement de précession de 432 jours.
  • Par ailleurs, la Terre se comporte comme un matériau doué d'élasticité et de viscosité ; le rebond glaciaire relève le bouclier canadien, entraînant une dérive de la polhodie.
  • De plus, le mouvement des océans (courants et marées) et le mouvement de l'atmosphère perturbe la polhodie (voir rotation de la Terre).
  • Il existe des tremblements de Terre (voir effet Sumatra), des mouvements de convection profonde correspondant à la tectonique des plaques, un noyau dont une partie est liquide et agité de mouvements de convection importants (voir géomagnétisme terrestre) ; à moment cinétique quasi constant, cela correspond à une rotation légèrement irrégulière, parfaitement perceptible compte tenu de la précision actuelle (10-10).
  1. Rappelons par ailleurs la description d'Hipparque : comme le moment cinétique Lo de la Terre n'est pas constant à cause de l'action de la Lune (et du Soleil) sur le bourrelet équatorial, il subit donc par effet gyroscopique une précession, dite précession des équinoxes, déjà décrite par Hipparque (200 av. J.-C.).

Mouvement à la Poinsot[2]Modifier

Ce cas bien plus compliqué , dit de la toupie asymétrique (càd un vulgaire caillou quelconque, A>B>C) est ,comme chacun le sait en lançant un caillou, difficile à décrire : le caillou « poinsote » ; il y a à la fois du tangage, du roulis et du lacet (RPY pour Roll, Pitch, Yaw en anglais), pour utiliser les termes de l'avionique.

Poinsot a décrit le mouvement géométriquement comme suit :

Soit l'ellipsoïde E1 d'équation AX² + BY² + CZ² = 1 et soit l'ellipsoïde E2 d'équation A²X² + B²Y² +C²Z² = Lo²/2Ec. Le vecteur OP est à l'intersection de ces deux ellipsoïdes : la polhodie est donc la courbe du 4e ordre tracée sur E1 et E2.

On convient de prendre A > B > C : éliminer la variable Y et constater que la projection de la polhodie est A(A-B)X² + C(C-B)Z² = constante - C : ce sont donc des arcs d'hyperboles ayant les mêmes asymptotes, avec 2 cas de dégénérescence : l'un est trivial : les axes GZ et GX recoupent l'ellipsoïde en deux ellipses; l'autre est aussi l'intersection de 2 ellipses.

On voit donc que les polhodies sont des courbes fermées appartenant à 4 quadrants distincts et symétriques : on peut, grosso modo, dire qu'il y a deux types de mouvement : un mouvement autour de l'axe GZ (celui de la longueur de la boîte d'allumettes), et un mouvement autour de la perpendiculaire à la face de la boîte d'allumettes (qui est le plus « stable », ce que chacun sait, quand on a fait beaucoup ricochets sur l'eau avec des pierres), et il n'y a aucun espoir de lancer la boîte selon l'axe perpendiculaire aux « grattoirs » : c'est bien une position du mouvement stationnaire, mais elle est instable (effet tennis racket ou Effet Djanibekov)!

Les herpolhodies sont évidemment plus compliquées, puisque le plan tangent en P au premier ellipsoïde (E1) coupe la podaire de G en Q ; et GQ est un vecteur fixe du référentiel barycentrique, car GQ a pour direction Lo et pour valeur 2Lo²/Ec : l' « œuf » (E1) roule donc autour du point G en restant en contact avec le plan perpendiculaire en Q à GQ au Point qui décrit sans glisser l'herpolhodie (On peut démontrer par ailleurs qu'elle est sans point d'inflexion).

On peut évidemment écrire les équations d'Euler du mouvement :

 (et 2 autres par permutation)

Soit pqr dt = ds une nouvelle échelle de temps ; alors on obtient :

  et idem pour q(t) et r(t).

Il en résulte donc que dt = K .ds / sqrt[(s-s1)(s-s2(s-s3)]: s(t) est une « simple » intégrale elliptique.

De manière plus immédiate, on peut dire que le système des 3 équations d'Euler avec les 3 conditions initiales [p(0), q(0), r(0)] définit 3 fonctions p(t), q(t) et r(t) qui sont directement liées aux fonctions de Jacobi : sn(t), cn(t) et dn(t).

Remarque : le mouvement, ayant lieu à énergie constante, se perpétue indéfiniment : ce qu'a précisé Poinsot est qu'il est périodique dans le solide (S) : les polhodies sont fermées, de période finie (sauf dégénérescence exceptionnelle du temps infini en direction de l'axe Gy).

Comme il y a toujours une petite perte d'énergie, il convient d'examiner la stabilité des 3 points fixes que sont les trois axes. Finalement, l'axe le plus stable est l'axe Ox (celui, banal, du « ricochet »).

Remarque : il est intéressant d'examiner le cas dit « gyroscopique », où p >> q et p >> r : alors la figure GPS est très étroite, et les fonctions de Jacobi s'approximent très bien par des fonctions sinusoïdales.

Notes et référencesModifier

  1. Landau, mécanique,§33, page 164
  2. Landau, mécanique, § 36 et 37. et particulièrement la figure 51

Voir aussiModifier

  • Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris, Bachelier, 1851, 170 p.

Articles connexesModifier

Liens externesModifier