Discussion:Théorème fondamental de la géométrie projective

Bonjour,

dans la démonstration de l'existence :

   On considère 2 transfo projectives unidimensionnelles:
   Tz qui transforme A, B, C en a, b, c.
   Tw qui transforme a, b, c en A3, B3, C3.

Il faudrait démontrer l'existence de ces deux transfo... les décrire, par exemple...

--— Alcandre (») 12 juin 2007 à 22:38 (CEST)

Je ne comprens pas non plus la démonstration d'existence. Il me semble bien qu'il faut l'axiome de Desargues qui ne fait pas partie des axiomes énoncés ... Par ailleurs le vocabulaire, division rectiligne, transformation projective unidimensionnelle (pourquoi ?),... a besoin d'être expliqué. Enfin ça ne parle que de géométrie plane : le titre n'est pas approprié. Proz 31 août 2007 à 11:24 (CEST)

début de réponses

Donner une démonstration plus complète de l'existence ou de l'unicité? Je sais que c'est surprenant mais les démonstrations en géométrie plane projective sont le plus souvent aussi simples, leur brièveté surprend souvent, il suffit souvent de faire le dessin pour voir que c'est bon, il n'y a que des alignements et des intersections.

Démontrer l'existence de Tz et Tw? Non, il suffit de traiter le cas général où 4 couples sont faits de points distincts, à savoir B3,B; C3,C; A3,A et C3,A. Ceci permet de disposer de tous les points d'inersection nécessaires (Z;W;b). Les cas secondaires où certains points du triplet de départ sont confondus avec ecrtains points du triplet d'arrivée sont faciles à traiter, les exposer ici alourdirait inutilement le texte. Autre objection plus fondamentale: il faudrait peut-être dire que ce plan projectif,qui peut être fini, est suffisamment fourni pour posséder au moins 6 droites et au moins 9 points, sinon on se retrouverait dans un cas dégénéré tel que le plan projectif de Fano et il faudrait faire une petite démo auxiliaire pour chaque cas de dégénérescence. D'un strict point de vue de létude des systèmes axiomatiques, ce serait nécessaire. Mais en fait j'utilise, comme le font les géomètres affines et les géomètres métriques, un petit axiome invisible et inavouable des géométries selon lequel nous travaillons dans un plan qui comporte suffisamment de points et de droites pour ne pas nous poser de problèmes.

Pour les autres remarques, voir l'article complété.

En revanche je ne suis pas au courant du bandeau d'évaluation de l'avancement et de l'importance. Qui doit faire quoi? .Michelbailly 13 septembre 2007 à 22:45 (CEST)

bandeau d'évaluation : a priori il vaut mieux que ce soit d'autres personnes que le ou les principaux rédacteurs de l'article (mais je ne m'en occupe pas).

Maintenant qu'il y a les définitions je comprends mieux, en particulier que la preuve d'existence est effectivement très simple.

"transformation projective" est-il bien le terme usuel ? Dans le livre de Artin, "algèbre géométrique", traduction, assez anciennne, 1967, c'est projectivité.

L'"axiome invisible" ne semble pas utile ici (tant mieux), vu que les cas non traités semblent immédiats. Par contre, comme deux droites ne sont pas nécessairement coplanaires, et que tu te sers de ceci dans la preuve d'existence, je ne comprends toujours pas pourquoi ça parle de géométrie projective en général. De plus le cadre axiomatique proposé est bien celui du plan.

C'est le choix très ad hoc de l'"axiome du plan projectif fondamental" qui rend le th. "facile". D'après ton paragraphe final : ce n'est vrai que sur un corps commutatif, donc plan pappusien. Est-ce que ça se démontre directement à partir de cet axiome ? (sans revenir à l'ev ...) Proz 15 septembre 2007 à 00:08 (CEST)

exact sur plusieurs points. deux droites ne sont pas nécessairement coplanaires, exact, ce théorème d'existence est valable uniquement pour la correspondance homographique entre 2 droites coplanaires, oui, toute cette axiomatique ne concerne que le plan, il faut que je rectifie ce qui pourrait laisser supposer le contraire. Oui, je confirme que les auteurs (sauf peut-être Jacqueline lelong-ferrand qui tout de même pédale lourdement pour pour slalomer dans les systèmes d'axiomes des espaces projectifs, affines,vectoriels, des plans projectifs, affines, archimédiens, de translation) qui traitent de ce sujet parlent d'axiomes et théorèmes du plan projectif, mais que l'usage est bien d'appeler ce théorème d'un nom qui omet de préciser qu'on se cantonne au plan.

projectivité? oui, c'est la terme donné en premier par Poncelet et conservé par les Anglais, en changeant "é" par "y"; d'après ce que j'ai lu, les Français avec Chasles ont opté pour "transformation projective" ou homographie", mais personnellement je laisse tomber ce mot pour lequel on devrait mettre en garde contre une éventuelle confusion avec "homologie" qui concerne les configs bi-dimensionnelles, et de plus je pratique le pléonasme en précisant "transformation projective unidimensionnelle". D'où mon rajout de ce soir sur le vocabulaire bilingue.

enfin, last but not least, l'"axiome du plan projectif fondamental" qui rend le th. "facile". D'après ton paragraphe final : ce n'est vrai que sur un corps commutatif, donc plan pappusien. Est-ce que ça se démontre directement à partir de cet axiome ? Il va falloir que je réponde à froid, mais à chaud je peux affirmer: Oui ,bien sûr, l'axiome de la transformation à 3 points fixes tombe à pic, il est ad hoc si tu veux parce qu'il est fait pour fonctionner, mais on pourrait en dire autant chaque fois qu'il y a un système d'axiomes qui débouche sur un théorème quasi-immédiat, enfin ici juste une moitié de th, l'unicité. Il est fondamental pour les gens qui veulent travailler juste avec la règle non-graduée. Rapport avec le th de Pappus? le th de Pappus découle de l'axiome fondamental, Pappus est en aval du ax fondamental . (voir plus bas les petits dessins). Une fois de plus j'aurais mieux fait de me taire et ne pas parler du corps commutatif, je suis dans la géométrie sans nombres, donc je ne devrais pas parler de structure de nombres, ça lance le lecteur sur des interrogations qui parasitent la trajectoire de l'exposé. à corriger donc. En revanche, une question qui se pose est la suivante: il y a t-il un autre système d'axiomes dont une des conséquence serait la propriété des 3 points fixes de mon truc "ad hoc"? En d'autres termes y atil un système d'axiomes plus en amont? Ma réponse est catégorique, non avec la règle non-graduée seule.

Et c'est la raison pour laquelle, hélas, si on veut remonter plus en avant, on est obligé de donner un système d'axiomes numériques, et c'est l'intrusion de la géométrie analytique homogène .;

Allons-y, explicitons les choses:

Dans Axiomes de plans projectifs/Suite des axiomes/$ Cascade de théorèmes entre ces axiomes, j'avais fait le dessin naïf des emboîtements des systèmes axiomatiques que je connais:

 ___   ____   ____   ____   ____   ____   ____
 / __) (____) (____) (____) (____) (____) (__  \
| |  __________                              | |
| |  \ PP bary-\                             | |
| |   \centrique\                            | |
| |    \==========\                          | |
| |  ______________!__                       | |
|_   \                \                      |_|
|_|   \PP homogène    =====\\                |_|
 _     \________________\    \\              | |
| |                     ______||_______      | |
| |                     \     ||        \    | |
|_|                     // ((____)) )    \   |_|
|_|                    |||\PP fondamental \  |_|
 _                     ||  \_______________\ | |
| |                    ||                    | |
| |                ____||__ ____________     | |
| |                \   ||   )           \    | |
|_|                // (____)) )         _\   |_|
|_|               |||\ PP de Pappus       \  |_|
 _                ||  \____________________\ | |
| |           ____||___________________      | |
| |           \   ||   )               \     | |
|_|            \(____)) )              _\    |_|
| |             \     ))                 \   | |
|_|              \        PP de Désargues \  |_|
 _                \________________________\ | |
| |__   ____   ____   ____   ____   ____   __| |
 \___) (____) (____) (____) (____) (____) (____/

Puis dans l'article Axiomes de plans projectifs/homogènes/définition du plan projectif homogène :

Un plan projectif homogène (PPH) est l'ensemble-quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence R,l'ensemble E étant un espace vectoriel de dimension 3 sur un corps commutatif K, privé du vecteur nul (0,0,0). la relation R étant telle que, si k est un élément non-nul de K et V et W sont deux vecteurs non-nuls de E, alors W = kV. On appelle "point" une des classes d'équivalence, représentée par (x,y,z). On appelle "droite" une des classes d'équivalence, représentée par (a,b,c). Un "point" et une "droite" sont incidents lorsque ax+by+cz=0. Ces coordonnées sont appelées coordonnées homogènes. Attention, le corps commutatif K est arbitraire : ce peut être celui des réels, celui des complexes, un corps fini tel que {0,1} ou {0,1,2}, etc.

Concernant le passage fondamental===>Pappus voilà une boîte déroulante dans Axiomes de plans projectifs/Suite des axiomes//"du plan fondamental vers Pappus"

Ce théorème s'énonce ainsi:

Un plan projectif fondamental (PPF) est pappusien(PPP).

Il se démontre en utilisant une transformation unidimensionnelle identité judicieusement choisie.

Démonstration : Fondamental implique Pappus.

- -Hypothèse: nous sommes dans un plan projectif fondamental. Soient les points C2 et C3 telsque C2 est l'intersection de A1B3 et A3B1, C3 est l'intersection de A1B2 et A2B1. La droite (c) est C2-C3. C1 est l'intersection de (c) et A2B3, E1 est l'intersection de (c) et A3B2, on se demande si E1=C1. Considérons 4 transformations unidimensionnelles successives [c /A3 /b ], [ b/A1 /c ], [c /B1 / a] et [a /B3 / c]. Leur produit est la transformation unidimensionnelle T= [a /B3 / c] * [c /B1 / a] * [ b/A1 /c ] * [c /A3 /b ]. Examinons les transformations de F3, qui sont B3, C2, A3 puis F3. Considérons les transformations de A4 qui sont O, A4, A4, A4. Considérons les transformations de B4 qui sont B4,B4, O, B4. Considérons les transformations de E1 qui sont B2, C3, A2 puis C1. En définitive la transformation T possède trois points fixes ( F3 A4 B4). Comme par hypothèse nous sommes dans un plan projectif fondamental, l'axiome fondamental s'applique, T est donc l'identité projective unidimensionnelle sur la droite (c). Ce qui implique que E1 aussi est fixe, donc C1=T(E1)=E1. Alors C1 est à l'intersecton de (c), A2-B3, A3-B2. C1 est aligné avec C2 et C3, le théorème de Pappus est démontré, notre plan qui était fondamental est donc un plan projectif de Pappus.

 

Et donc le théorème plus amont (homogène sur un corps comm===>propriété des 3 points fixes est ici:

Démonstration homogène---fondamental

Considérons dans un PPhomogène une transformation projective unidimensionnelle d'une droite sur elle-même qui comporte trois points fixes. Est-elle l'identité projective unidimensionnelle?

Soient la droite (u; v; w), trois de ses points P1 = [ wD; wE; -(uD+vE) ], P2 = [ wL; wM; -(uL+vM) ], P3 = [ w (D + hL) ; w (E + hM) ; -(uD+vE) -h(uL+vM) ] et une transformation projective unidimensionnelle T de formule générale (cas où w est non-nul) :$T={\begin{bmatrix}vww(vc'+wb')&-uvwwc&-uvwwb\\-uvwwc'&wuw(wa'+uc)&-uvwwa\\-uvwwb'&-uvwwa'&uvw(ub+va)\end{bmatrix}}.$

l'expression que les trois points P1, 2 et 3 sont fixes conduit à trois équations dont les inconnues sont a b c a' b' c':

$(uv^{2}a+wu^{2}c+uw^{2}a')*DE-(u^{2}vb+vw^{2}b'+v^{2}wc')*DE+(u^{2}va-uvwc')*D^{2}-(uv^{2}b-uvwc)*E^{2}=0$

$(uv^{2}a+wu^{2}c+uw^{2}a')*LM-(u^{2}vb+vw^{2}b'+v^{2}wc')*LM+(u^{2}va-uvwc')*L^{2}-(uv^{2}b-uvwc)*M^{2}=0$

$(uv^{2}a+wu^{2}c+uw^{2}a')*(D+hL)(E+hM)-(u^{2}vb+vw^{2}b'+v^{2}wc')*(D+hL)(E+hM)+(u^{2}va-uvwc')*(D+hL)^{2}-(uv^{2}b-uvwc)*(E+hM)^{2}=0$

Qui conduisent dans une première étape, en posant pour des raisons d'homogénéïté deux nombres arbitraires k^3, g=1, à 4 nouvelles équations où les variables (D E L M h) des coordonnées des 3 points sont éliminées:

$(uv^{2}a+wu^{2}c+uw^{2}a')=k^{3}g=(u^{2}vb+vw^{2}b'+v^{2}wc')$

$(u^{2}va-uvwc')=0$

$(uv^{2}b-uvwc)=0$. Ce qui conduit à definir les paramètres c a' b' c' par

$wc=vb$

$uw^{2}a'=k^{3}g-uv(va+ub)$

$vb'=ua'$

$wc'=ua$

La transformation qui conserve les trois points fixes sur la droite s'écrit alors  : $N={\begin{bmatrix}wk^{3}g-uvwub&-uvwvb&-uvwwb\\-uvwua&wk^{3}g-uvwva&-uvwwa\\-uk^{3}g+uvu(va+ub)&-vk^{3}g+vuv(va+ub)&uvw(va+ub)\end{bmatrix}}.$

Un point quelconque de la droite concernée est P = [ wX; wY; -(uX+vY) ] et on vérifie que N*P=w*k^3*g*P, tous les points de la droite sont donc fixes.

Il s'agit de la transformation identité (N) sur cette droite; par conséquent le plan homogène respecte l'axiome fondamental du plan projectif fondamental. Ainsi il est démontré qu' un plan projectif homogène (PPH) est fondamental(PPF).

 

Ce sont des jolis calculs analytiques, jolis mais lourdingues quand même.

Je donne ici tout ce luxe de détails pour que l'on voie bien que les choses ne sont pas si directes qu'on le croit, contrairement à ce que l'on enseigne un peu trop rapidement la propriété de Pappus ne découle pas directement du corps commutatif. L'étape de la propriété des 3 points fixes peut élégamment être intercalée entre les coordonnées homogènes sur un EV d'un corps commutatif et Pappus. ;Michelbailly 15 septembre 2007 à 00:54 (CEST)et Michelbailly 15 septembre 2007 à 01:32 (CEST)

Merci pour ces réponses détaillées (en fait tu pouvais m'indiquer juste les adresses des articles, je peux aller les lire directement).

Si je résume : on sait que tout plan pappusien est un plan construit sur un corps commutatif (la réciproque de ce dont tu parles est vraie, puisque c'est le cas en affine, sauf si quelquechose m'échappe complètement), donc vérifie ton axiome du plan projectif fondamental. Quel est le statut de ta déclaration "on est obligé de donner un système d'axiomes numériques" : constatation empirique ? Il y a un énoncé mathématique derrière ?

Où trouve-t-on l'axiome du plan projectif fondamental ? (Coxeter, Lelong-Ferrand ...) ?

Pour le théorème lui-même : bien que n'y connaissant pas grand chose, je crois qu'il existe bien en géométrie projective en général. Il y a une forme algébrique (assez complexe) dans le livre d'Artin qui fonctionne pour un ev en général, y compris non commutatif (d'une façon qui ne contredit pas ce que tu dis au dessus). Je n'ai pas le temps malheureusement de me pencher suffisamment dessus. Tu as aussi [1] qui est sommaire. Le cas du plan semble de toute façon intéressant à distinguer. Il faudrait reprendre l'article avec une partie du contenu actuel dans une section, et en espérant que de plus savants le complèteraient (j'ai l'impression que ce qui t'intéresse c'est la dimension 2, 3 éventuellement). Proz 17 septembre 2007 à 01:19 (CEST)

Oui, je me cantonne à la dim2, j'ai fait les modifs dans ce sens sur cet article. En fait, c'est un travail de Sysiphe, je crois avoir compris que maintenant les patrouilleurs de wikipédia-Francophone exigent que les contributeurs fournissent autant de références et de "sources" que si ils écrivaient un article universitaire dans une revue spécialisée de maths, tout au moins dès qu'on dépasse le programme du bac, ce n'était pas le cas au début je crois. Donc pour l'instant je laisse tomber, c'est une escalade reservée aux professionnels des facs et des écoles et du CNRS. Ce n'est pas sérieux. Voir aussi ma réponse dans le courrier à HB. .Michelbailly 17 septembre 2007 à 02:27 (CEST)

réponse détaillée à Proz

En commençant par le plus facile. Où trouve-t-on l'axiome du plan projectif fondamental ? Dans Projective Geometry, H.S.M. Coxeter, Springer, 1987, 1998., chapter two/axioms/axiom 2.18: If a projectivity leaves invariant each of three distincts points on a line, it leaves invariant every point of this line. Mais, avant de citer cet axiome et avant de l'adopter comme unique présentation possible, il faudrait avoir lu l'alinéa précédent dudit bouquin qui nous avertit que ses axiomes, son ensemble d'axiomes ne sont qu'un choix parmi d'autres: …must begin with some undefined entities (primitive concepts) and unproved propositions (axioms). The precise choice is a matter of taste. It is, of course, essential that the axioms be consistent (…) and it is desirable that they be independant, simple and plausible. Etc… Voila, l'axiome des trois points fixes est un des axioms de Coxeter, qui démarre sur les chapeaux de roues, par la définition en 8 axiomes d'un espace projectif de dimension non-précisée.

Autre axiome inattendu présenté par Coxeter. Il donne aussi dès le démarrage son axiome 2.18 qui n'est autre que l'axiome de Fano: The three diagonal points of a complete quadrangle are never collinear. Donc il exclut de son champ dès la source le Plan de Fano, ce qui déblaie bien le terrain entre nous soit dit. Comme j'avais sous les yeux d'autres systèmes d'axiomes (Lelong-Ferrand, Pierre Samuel et l'Atlas allemand), j'ai vu qu'on peut procéder par étapes plus progressives, d'où mon choix de présentation échelonnée des axiomes et donc des sortes de plans projectifs. Bôf, comme dit Coxeter it is a matter of taste.

Pour le théorème lui-même ……il existe bien en géométrie projective en général? OUI, si en général veut dire en dimension finie sup à 2. Le seule complication c'est comme tu l'avais deja noté, la démo de l'existence; il faudrait procéder en 2 temps: démontrer l'existence si les deux droites sont coplanaires (ce que j'ai fait), puis lorsque les deux droites sont non-coplanaires prendre deux plans arbitraires contenant l'une ou l'autre, considérer leur droite d'intersection et appliquer le cas planaire à une composition de 2 projectivities planes, ça alourdirait le texte. Pour le cas de dimension infinie, je n'ose même pas songer à aborder la question, je ne sais pas si le théorème y est vrai, la dim infinie échappe à mes compétences.

Le cas du plan semble de toute façon intéressant à distinguer? C'est tellement mon avis que je fais l'impasse sur les dims supérieures, j'ai tort, d'abord parce que la dim3 est très utile en logiciels de DAO, ensuite parce que la dim4 permet d'aborder l'espace-temps de la relativité restreinte pour ceux qui voudraient faire la distinction entre cet E-T purement projectif et le même E-T auquel on rajouterait une métrique bâtie sur une conique choisie comme « absolu ».

(j'ai l'impression que ce qui t'intéresse c'est la dimension 2, 3 éventuellement)? Correct, la dim3 pour la Renaissance, Pompéï et le Moyen-âge et le XXème jusqu'à Francis Bacon, et la dim2 pour la géométrie, je ne suis pas seul, la coutume est de présenter les espaces projectifs de dim quelconque puis de se cantonner pour les détails au plan projectif, avec cette explication de Coxeter, dans l'introduction: ...fine arts.....Brunelleschi......perspective....... Alberti...... Because of this application (perspective dans les beaux arts), it is natural to begin the subject in three-dimensional space; but we soon find that what happens in a single plane is sufficently exciting to occupy our attention for a long time.

Si je résume : on sait que dans tout plan en coordonnées homogènes sur un corps commutatif on peut démontrer par calculs un peu lourdingues l'axiome fondamental. On sait qu'avec l'axiome fondamental on sait démontrer le théorème de Pappus. Ce qui implique 2 inclusions ensemblistes: que l'ensemble des plans «projectifs-homogènes» est inclus dans l'ensemble des plans « fondamentaux »; que l'ensemble des plans « fondamentaux » est inclus dans l'ensemble des plans pappusiens. Je ne suis pas allé plus loin dans mes lectures approfondies pour l'instant. Je n'ai pas vu d'exemple concret d'un plan fondamental-non-homogène, je n'ai pas vu non plus de démonstration de son inexistance.

La réciproque est-elle vraie? Ah, catastrophe, à ma connaissance non. Je n'ai pas lu de démo qui prendrait comme hypothèse que l'axiome de Pappus est vrai dans un plan P1 et qui arriverait à la conclusion qu'on peut trouver un système de coordonnées homogènes sur un corps commutatif qui définirait un plan P2 qui serait isomorphe à P1. Isomorphisme au sens de bijection entre les « points » de P1 et les « points » de P2 qui conserve la relation d'incidence.

En revanche, il y a des Allemands qui s'étaient posé une question un peu détournée: sur un plan pappusien, peut-on inventer une règle du jeu des tracés d'intersections et de droites qui nous permettrait de créer de toutes pièce un « ensemble » de « figures » qui auraient les propriétés d'un corps commutatif, ou bien les propriétés des réels? (2 lois de compositions internes associatives, commutatives, à élément neutre, à opposé et distributives)? Jacqueline Lelong-Ferrand joue à ce petit jeu avec le plan affine et les translations qui permettraient de définir des nombres « décimaux ». Il paraît que Von Staudt (1798-1867) avait tenté de partir d'un plan projectif sans distances bien sûr, de réinventer le birapport en le baptisant « WURF »(fr: jet), je ne blague pas; il définit un WURF unité et un WURF zéro; avec des jeux de construction sur les WURFS il fabrique les WURFS somme, les WURFS 1/(2^^n) faciles avec la division harmonique, par contre je ne sais pas s'il sait dessiner le WURF produit de 2 WURFS; en bref il peut paraît-il ainsi graduer une droite avec des nombres qui sont isomorphes aux rationnels; quant aux points qui seraient irrationnels, mêmes problèmes que chez les inventeurs classiques des Réels, il paraît qu'on a besoin d'un « axiome de continuïté ». Trop dur pour moi. Ensuite il y a eu la suite par Félix Klein (1849-1925) qui choisit une conique comme « absolu » et définit la distance et l'angle par des birapports basés sur cette conique. Mais je crois qu'il travaillait pour cela avec des coordonnées homogènes, alors cela suppose qu'il avait deja choisi un corps commutatif et donc j'ai l'impression qu'on tourne en rond si on veut démontrer qu'on invente un corps des WURFS à partir d'un corps qui sert à définir les coordonnées homogènes qui servent à définir le biraport qui sert à définir le WURF. Pour le moment personnellement je n'y ai rien compris, je fais l'impasse sur ces questions.

Mais ne nous laissons pas distraire par ces histoires de WURFS. Quel est le statut de ma déclaration "on est obligé de donner un système d'axiomes numériques" : constatation empirique ? Il y a un énoncé mathématique derrière ? Non, je ne crois pas; je m'exprime probablement mal. Ce que je veux dire, c'est qu'à la règle non-graduée (unique outil de l'incidence et d'intersection) on peut partir de l'axiome fondamental et démontrer Pappus puis Désargues, mais je n'ai jamais lu d'axiome purement d'incidences et d'intersections qui serait plus fondamental que le « fondamental », comme le nouvel OMO de Coluche lave plus blanc que blanc. D'ailleurs si les auteurs l'appellent « fondamental » c'est pour cette raison sans doute. Non, je n'ai pas de source qui a écrit cela. Mais il faut avouer que le statut de cette question est étrange, parce que je ne sais pas si quelqu'un a écrit un jour un axiome de pures intersections/incidences plus amont que le fondamental, et je suis dans l'impossibilité de répondre qu'il n'en existe pas. Ce que j'ai constaté c'est que tous les auteurs à un moment donné passaient discrètement aux nombres pour parler du birapport dont ils disent par ailleurs que c'est un des concepts primordiaux de la géométrie projective. Et pour les coniques, idem SAUF Coxeter qui définit une conique comme étant une courbe auto-duale. C'est pour cela que j'avais écrit que l'on est obligé de donner un système d'axiomes numériques si on veut aller plus amont. Plus aval, ce sont les coniques sans coordonnées, par purs tracés.

De 3 choses l'une.

• Si tes questions recoupent un sujet d'étude qui concerne les emboîtements de systèmes d'axiomes, dont les systèmes d'axiomes de plans projectifs ne seraient qu'une illustration concrète, je peux juste t'apporter ma modeste contribution selon laquelle je crois connaître la frontière entre géométrie projective avec nombres et la géométrie projective sans nombres, je crois que c'est cet axiome fondamental, je n'ai pas lu de référence formelle sur le sujet; voilà pour les contributions que je peux apporter à un doctorant.
• Si tu m'interroges sur mes goûts personnels, je peux confier que je préfère rester du côté sans-nombres de cette frontière; je suis capable aussi de jongler avec les coordonnées projectives, j'en ai fait des pleines pages déroulantes dans les axiomes.../homogènes, y compris avec calculs et dessins sur tableur StarOffice et Paint et des jolis matrices et déterminants, mais je m'en lasse très vite.
• Si ta dernière question est là pour attirer mon attention sur la règle wikipédesque d'injonction de « sourçage » de toute information écrite dans un article, oui, je suis au courant, non je n'ai pas le caractère à cela, j'ai jeté les 2/3 de ma bibliothèque lors de mon dernier démènagement; non, je n'ai pas le temps d'aller compulser les bibliothèques des facs, je n'ai pas le temps d'aller chercher ces références précises sur des sites webs de facs ou de grandes écoles ou de thésards. D'ailleurs une fois de plus je me demande si elles existent. S'il faut que j'efface ma dernière phrase "on est obligé de donner un système d'axiomes numériques" , dis-le franchement, je l'effacerai. Oh, je peux même l'effacer sans feu vert; allez, j'y vais, on verra bien si quelqu'un complète.

ma dernière question est là pour savoir où chercher à lire sur le sujet, non de te faire effacer quelquechose. Je ne t'interrogeais pas vraiment sur tes goûts personnels, quand j'ai écrit "en espérant que de plus savants le complèteraient", j'ai voulu indiquer, par politesse, que c'était sur un sujet qui ne semblait pas t'avoir intéressé, et que donc naturellement on pourrait trouver plus savant que toi. Obligation du sourçage : quand on lit un peu ce que tu écris (sur la géométrie projective, je ne sais rien du reste), on se rend compte que tu es largement au dessus de la moyenne, question citations des sources. Par contre tu ne les cite pas de façon claire et lisible, tu ne les mets pas comme tout le monde en fin d'article (petites règles peut-être bureaucratiques, mais tellement commodes pour le lecteur). De plus ta façon de rédiger donne souvent l'impression que tu présentes des réflexions personnelles (impression pas toujours fausse d'ailleurs), et ce n'est pas évident de faire la part des choses. Si tu crois que l'on te demande de sourcer chaque phrase, ou chaque axiome, tu n'as pas compris où était le problème. Tu es manifestement passionné par ce sujet, que tu sembles avoir approfondi de façon peu commune. Si tu laisses tomber je trouve ça dommage (pour les autres).

Sur le fond : tu as mal compris la question que j'ai effectivement mal posée, je ne cherche pas plus un axiome plus fondamental que le fondamental, je cherche à comprendre pourquoi on ne le déduit pas directement de Pappus. Une excellente raison serait que ce soit faux, une moins bonne que ce soit vrai mais qu'on ne sache pas le faire de façon élégante, autrement qu'en repassant par le corps sous-jaccent. Comme on montre qu'un plan affine de Pappus est isomorphe au plan sur un corps commutatif, et que je ne vois pas ce qui coincerait pour adapter cette preuve au cas projectif, je t'ai posé la question. Si tu n'es pas au courant, tant pis.

Sur l'article lui-même : ce que tu dis sur l'existence en dimension >2 ne m'avait pas échappé, mais finalement c'est bien l'unicité qui pose problème, on a de nouvelles perspectivités, donc de nouvelles transformations projectives, il faut donner un argument. Pour tout te dire j'ai l'impression que la partie sur l'existence devrait aller dans ton article sur les axiomes du plan projectif d'incidence, que la partie sur l'unicité et le théorème lui-même devraient apparaître comme conséquence immédiate de l'axiome fondamental (dans ce qui est actuellement "suite des axiomes"), et qu'un article spécifique sur le théorème fondamental de la géométrie projective est le bienvenu, mais est à écrire presque complètement. Proz 17 septembre 2007 à 22:30 (CEST)

Message bien reçu: pourquoi on ne le déduit pas directement de Pappus? Oui, la question est très claire, à ma connaissance ça marche dans un seul sens: avec l'axiome fondamental dans le plan plus les axiomes d'incidence, on démontre Pappus-projectif, mais à ma connaissance et dans tout ce que j'ai lu la réciproque est fausse, mais je n'ai pas en mémoire de réf de démo de cette affirmation, ni de contre-exemple d'un plan où Pappus marcherait et qui ne permettrait pas de mettre en évidence un corps commutatif.

Mon ignorance vient du fait que je ne sais pas pour le moment comment Klein ou Von Staudt ou d'autres partent des êtres non-métriques, des êtres seulement faits de droites et de points, pour en définir une somme, un produit, leurs propriétés. Je continue un peu à lire ce qui me tombe sous les yeux au hasard de mon "browsing" sur le net, mais j'espère que tu trouveras plus vite que moi.

Comme on montre qu'un plan affine de Pappus est isomorphe au plan sur un corps commutatif,..........etc......... posé la question. Si tu n'es pas au courant, tant pis. Exact, je ne suis pas au courant.

la partie sur l'existence devrait aller........etc; oui, peut-être j'hésite; j'ai l'impression que dans un article sur un théorème très important, on doit citer au moins un noyau dur: le théorème, sa démo complète, je laisse les autres contributeurs voir quelle serait la meilleure découpe.

Sur le respect des formalismes de cette encyclopédie: exact, j'avais démarré trop vite et trop imprudemment sur des sujets qui n'étaient pas abordés avant novembre 2005 sur wiki, j'ai compris le message, je vais supprimer peu à peu les choses qui semblent personnelles, je dis bien "semblent", parce qu'elles ne le sont pas, je n'ai rien inventé à part l'ordre d'exposition et d'embranchement des pages, mais comme je n'ai aucun moyen de retrouver certaines sources et que personne ne semble s'y mettre, il ne reste plus beaucoup de choix.;Michelbailly 18 septembre 2007 à 18:44 (CEST)

J'ai vérifié rapidement dans le livre d'Artin par acquit de conscience, un plan arguesien est bien un plan sur un corps, en affine comme en projectif, Pappus a en plus pour conséquence la commutativité du corps. Je crois que le résultat est de Hilbert (en affine) sans en être tout à fait sûr. Il s'agit bien seulement d'un corps, rien de plus (pour les réels il faut bien sûr d'autres axiomes, ordre, archimédien, continuité). Je peux te donner une esquisse sur ta page, parce que là on s'éloigne du sujet de cet article, et que ça me smeble avoir une incidence plutôt sur l'article sur les axiomes du plan projectif. Proz 18 septembre 2007 à 20:46 (CEST)

Références

J'ai fourni la référence classique de Géométrie de Michèle Audin. Il y a aussi disponible sur le net le Géométrie projective linéaire de Daniel Perrin par exemple. https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/Livregeometrie/DPPartie1.pdf, qui est très agréable à lire par ailleurs :). Stefan jaouen (discuter) 1 février 2023 à 13:33 (CET)