Discussion:Théorème de préparation de Weierstrass

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Attention les liens sont des doubles crochets mal interprétés, enfin interprétés mécaniquement...

Je viens justement de lire aujourd'hui Bourbaki, Algebre commutative VII 3 8, qui montre un résultat un peu plus général de façon totalement algébrique (y'a bien la topologie m-adique qui intervient, mais bon...). Ensuite il prouve la factorialité de CX_1,...,X_n (C un corps ou anneau de valuation discrete) mais rien qui ne s'apparente à une division euclidienne qui a pourtant lieu (vagues souvenirs, me trompe-je ?) avec les fonctions analytiques. Du coup l'article ne devrait-il pas mentionner ce genre de choses ? Je veux bien essayer de m'y coller...Alexandre alexandre (d) 28 septembre 2010 à 18:58 (CEST)

Le théorème de préparation de Weierstrass porte dans un premier temps sur les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes (...des conséquences que je ne connais pas...) et après on peut en donner une version série formelle :

On peut supposer que P=(0,...,0) et on cherche donc à montrer que si f=\sum_k a_k(z_1,...,z_n)z_{n+1}^k avec l'existence de s=min{k entier tel que a_k(0,...,0)\neq0} on peut écrire f=u \times (z_{n+1}^s+f_{s-1}(z_1,...,z_n)z_{n+1}^{s-1}+...+f_0(z_1,...,z_n)). (A un inversible près f est polynomiale en z_{n+1}de degré son ordre). Notant A:=Cz_1,...,z_n c'est un anneau local complet et séparé pour la topologie (z_1,...,z_n)-adique. Le théorème provient alors du lemme suivant :

Soit (A,m) un anneau local complet séparé pour la topologie m-adique et k=A/m son corps résiduel. Si f\in B:=Az est telle que f\neq0 dans kz, alors B est somme directe de fB et du A-module de base 1,z,...,z^{valuation de f dans kz-1}. L'existence de la décomposition sort de la complétude et l'unicité de la séparation.

En fait c'est peut être ça l'espèce de division euclidienne dont j'avais entendu parlée. Un reste polynomiale dont le degré est majoré par l'ordre de la série...Alexandre alexandre (d) 30 septembre 2010 à 18:56 (CEST)