Discussion:Théorème de Puiseux

Preuve plus simple que B est local ?

Je cherche en vain une preuve dans le même esprit que celle rédigée d'après les 2 refs en note, mais qui montrerait plus directement que B est un anneau de valuation discrète, c'est-à-dire (puisqu'il est déjà de Dedekind) que B n'a qu'un idéal maximal au dessus de (X).

Je ne trouve pas de source dans cet esprit et je n'arrive pas à montrer simplement (en prenant au départ L normale, de degré n) que si b dans B est non inversible (i.e. N(b) divisible par X, donc N(bⁿ) divisible par Xⁿ), alors bⁿ (et chacun de ses n « conjugués ») est divisible par X.

Anne 22/3/15 21h27

J'ai été attiré ici par un clic après avoir posté mon dernier commentaire sur votre page d'essai. J'avoue ne pas bien pénétrer le sens de la seconde question (la première me semble pas nécéssaire, justif. plus bas) : si b est dans B et non inversible, alors puisque B est, d'après votre preuve, un anneau de valuation discrète, b est de la forme π^ku, avec k > 0, donc bⁿ de la forme π^knuⁿ non inversible (n'est-ce pas évident ?)._{je me suis mélangé les pédales}. On a, comme on sait, e(B/K[[X^1/n]])f(B/K[[X^1/n]])g = n ; or f = 1 car K algébriquement clos, et g = 1 car il n'y a qu'une extension (puisque B est démontré être déjà un anneau de valuation). Ainsi e = n et π^e = Xu.

Mais je pense que la preuve est plus compliquée qu'elle pourrait l'être : vous montrez que B = K((X^1/n)), alors qu'il suffit de montrer que B ⊆ K[[X^1/n]], où mieux, que l'anneau de valuation de la valuation w étendant la valuation X-adic v de K((X)) à L est égal à K[[X^1/n]].

Pour rester le plus près possible de votre démonstration, B est un anneau de Dedekind, donc par définition, sa localisation en tout idéal premier est un anneau de valuation discrète. Si p est un idéal premier de B au dessus de (X), la localisation B_p de B en p est donc un A.V.D. Comme K((X)) est complet, B_p est complet, et il existe un élément primitif Y de B_p sur K[[X]] (voir théorème ici). Nécessairement, cet élément primitif est une uniformisante de B_p (dem d'une ligne)._{bien essayé mais ne résoud pas le problème que je voulais résoudre, cf. ma remarque plus bas.}. Et terminer comme dans votre dem.

Notons qu'on n'est pas obligé de passer par B : c'est un résultat bien connu des corps locaux (Bourbaki, Serre, Neukirch etc.) que v s'étend en une valuation discrète w complète), mais il se peut que cela soit plus abordable pour les étudiants.

Qu'essayez-vous de simplifier exactement ? Maimonid (discuter) 17 mai 2015 à 08:07 (CEST)

Pour la seconde question, je cherchais une méthode n'utilisant justement pas que B est un adV, ce qui permettrait au contraire de le démontrer.

Tiens, c'est vrai que l'inclusion suffirait (j'avais copié servilement mes 2 sources).

Ce que j'essayais de simplifier, c'est la preuve qu'il n'y a qu'un p, c'est-à-dire le tronçon « B/XB est artinien donc produit (fini) de ses localisés par ses idéaux maximaux blablabla B est local ».

Anne, 17/5, 11h41

D'après la forme de la réponse, je comprend que l'affaire est close (le fait que la localisation en p d'un anneau de Dedekind est un AVD est immédiat n'est-ce pas ? et on peut voir ça comme une démonstration que B_p est un AVD). Maimonid (discuter) 17 mai 2015 à 13:24 (CEST)

Je suis d'accord que « B_p est un AVD » est immédiat mais ce qui me manque, c'est (une preuve plus simple de) « B = B_p ». Anne, 17/5, 13h54

La petite simplification que j'ai donnée ne vous satisfait pas ? Je vois, c'est pour l'honneur des maths. Comme le goût de ce genre d'équipée m'a passé avec l'âge et tout ce qui va avec, je vous suggère le th. 4.8 p. 131 de Neukirch, qui doit bien pouvoir se simplifier pour les séries formelles. Maimonid (discuter) 17 mai 2015 à 15:14 (CEST)

Merci pour tout, même si ça ne répondait pas à ma question principale (cf. titre). Je ne comprends pas pourquoi je voulais un lemme si compliqué (cf. question secondaire). Votre conseil de lire Neukirch a été efficace. Anne, 17/5, 20h

Non, ça ne va toujours pas. D'abord, il reste un petit problème dans votre preuve : comment est-on certain que B = K[[X^1/n]][Z], i.e. que l'extension est monogène ? David Eisenbud utilise un argument basé sur un théorème, et Akhil Mathew, dont la fin de la preuve ressemble à la vôtre, ressent le besoin d'ajouter en note "citation needed", ce qui signifie que la preuve est incomplète. Une référence au moins est ici nécessaire ; cette réference est par exemple la deuxième partie de la preuve de la prop. 6.8 p. 151 de Neukirch (et remarque suivante); autrement dit, on a le lemme suivant : si L/K est une extension finie, si w une valuation discrète sur L telle que le corps résiduel de v = w|_K est algébriquement clos, et si K est complet pour v, alors toute uniformisante z pour w engendre O_w sur O_v.

L'autre problème est que la phrase "Montrons que B ≃ K[[X^1/n]] pour un certain entier n > 0, ce qui prouvera que L ≃ K((X^1/n)) et conclura" ne montre justement rien du tout : K[[X^1/n]] est isomorphe à K[[t]] pour nimporte quelle variable t, qu'est-ce que cela prouve ? En passant, je remarque qu'il faudrait souligner que l'énoncé du théorème a un sens, car K((X^1/n)) ne dépend pas de la racine n-ième de X choisie, K étant algébriquement clos. Pour revenir à ma remarque précédente, je pense qu'il vaudrait mieux se donner à priori une clôture algébrique, puis une extension finie L de K((X)) dans cette clôture, puis remplacer tous les isomorphismes par des égalités dans la preuve. Maimonid (discuter) 18 mai 2015 à 13:07 (CEST)

Je vais appliquer ce dernier conseil, ce sera bien plus simple que ce que j'ai mis ce matin. Anne, 19/5, 10h05

Voilà ce que ça donnerait, mais je n'arrive pas à expliciter le sens fort de la dernière phrase, qui répondrait à ton « pour nimporte quelle variable t, qu'est-ce que cela prouve ? ». Je comprends parfaitement que tu préfères déduire tout ça de théorèmes bien plus généraux que je ne maîtrise pas mais 1) ils ne figurent pas sur wp.fr (où il manque même les histoires de complétude), 2) l'âge « aidant », mes capacité et vitesse d'apprentissage sont réduites donc j'essaye de bricoler en tirant parti des particularités du cas étudié. Je changerai sûrement d'avis (sur cet article) au cours de cet apprentissage.

Dans une clôture algébrique Ω de K((X)), choisissons pour tout entier n > 0 une racine n-ième de X, notée X^1/n, de manière cohérente (c'est-à-dire de façon que X^1/(kn) soit une racine k-ième de X^1/n), et notons F_n le corps K((X))[X^1/n]. Montrons que :

• le morphisme (injectif) canonique de F_n dans K((X^1/n)) est surjectif (ce qui permettra d'identifier K〈〈X 〉〉 à la réunion des F_n) ;
• tout sous-corps L de Ω constituant une extension finie de degré n de K((X)) est égal à F_n (ce qui prouvera que cette réunion est Ω tout entier).

Soient L une telle extension (ce qui inclut le cas L = F_n) et B la fermeture intégrale dans L de l'anneau de séries formelles K[[X]].

L'anneau B est local, son idéal maximal étant constitué des éléments dont la norme relative (dans K[[X]]) est divisible par X. Comme de plus B est de Dedekind, c'est un anneau de valuation discrète.

Soit Y une uniformisante pour B. [blabla complétude Hensel]. L'uniformisante Z := vY est alors une racine n-ième de X et même (en la multipliant par la racine n-ième de l'unité convenable) Z = X^1/n.

Puisque B est complet et que B/(X^1/n) = K, l'anneau B « s'identifie à » K[[X^1/n]] donc le corps L à K((X^1/n)).

Anne, 19/5/15, 21h36

Intéressant à vrai dire : c'est la première fois que je n'arrive pas à expliquer ce qui cloche dans un raisonnement, je veux dire ce qui est écrit dans l'article présentement. J'avais essayé de traduire ça par « pour n'importe quelle variable t, qu'est-ce que cela prouve ? », mais vous avez accompli ce que je craignais : remplacer isomorphe par K((X))-isomorphe. Je précise aussi que, si cela était un lemme dans un article adressé à des spécialistes, cela passerait certainement tel que c'est écrit, puisque ceux-ci ont suffisemment de maturité mathématique pour comprendre que tous les ingrédients d'un raisonnement mieux présenté/plus rigoureux sont présents. Mais à regarder ce que vous avez écrit ci-dessus, je crois avoir à mon tour réussi l'exploit de vous embrouiller, alors que vous êtes d'habitude experte à écrire les choses le plus clairement et simplement possible.

Bon, d'abord, depuis hier, je comprend mieux pourquoi vous vous acharnez à écrire les choses en termes d'isomorphismes ; je pense que c'est parce que le corps des séries de Puiseux est défini par les limites inductives, et que vous cherchez à utiliser la propriété universelle des limites inductives. Plutôt que de discuter si cela a été réalisé ou non, je vais écrire la preuve comme j'ai (pour le moment) l'impression qu'elle devrait être écrite, ce qui vous permettra probablement de comprendre où j'en suis et où vous en êtes, et de vous rendre compte si quelques chose cloche ou non. Espérons qu'on y parvienne .

Soit Ω une clôture algébrique de K((X)). Pour tout entier naturel n, le sous-corps M_n = K((X))(X^1/n) ne dépend pas de la racine n-ième de X choisie dans Ω car K est algébriquement clos. De plus, M_n = K((X^1/n)) [_{ça s'écrit tout seul, comme vous me l'avez appris}].

Soit M = ∪_n M_n ⊆ Ω.

On voit facilement que le corps des séries de Puiseux sur K, défini par les limites inductives au moyen d'un ensemble dénombrable de variables T_n est isomorphe à M [Ou plus précisément, il faudrait écrire choisissons pour tout entier n > 0 une racine n-ième de X dans M_n, notée X^1/n, de manière cohérente (c'est-à-dire de façon que X^1/(kn) soit une racine k-ième de X^1/n. Alors l'application T_n ↦ X^1/n est un morphisme du corps des séries de Puiseux sur K dans Ω, dont l'image est M]. Ainsi M est un corps de séries de Puiseux sur K. On va montrer que M = Ω. Blablabla (mais en remplaçant tous les isomorphismes par des égalités). À la fin, il reste encore le problème B = K[[Z]] que vous avez l'air de considérer comme immédiat (vous ne vous êtes pas servi de la source que j'avais indiquée, et j'imagine que c'est une façon de me dire "mais c'est évident grand benêt !"). Mais je ne vois pas : veuillez éclairer ma lanterne, et tant pis si c'est une fois de plus quelque chose d'immédiat qui ma échappé. Maimonid (discuter) 20 mai 2015 à 09:27 (CEST)

Oui, M_n « = » K((X^1/n)) s'écrit tout seul, mais je croyais le rendre inutile car contenu dans la preuve générale de L « = » K((X^1/n)).

Si K((X^1/n)) n'est pas a priori inclus dans Ω, le seul sens que je pouvais donner à cette égalité était : « le morphisme (injectif) canonique de M_n dans K((X^1/n)) est surjectif », .

C'est à cause de ce bémol que j'étais obligée de parler de K((X))-morphismes, mais c'est grâce à ces isomorphismes (choisis compatibles) qu'on peut ensuite se dispenser de parler de limite inductive et prendre simplement l'union des M_n.

Dans mon « B s'identifie à K[[X^1/n]] », ce qui était pour moi évident (et que ces 5 lignes de Serre confirment) est que c'est un isomorphisme d'anneaux : si K est inclus dans un adv complet B d'uniformisante Z et de corps résiduel K, tout élément de B s'écrit (par approximations successives) comme une série formelle en Z à coefficients dans K et cette écriture est unique et compatible avec les opérations.

Il n'y a plus qu'à remplacer ces B « = » K[[X^1/n]] et L « = » K((X^1/n)) par L = M_n (sans guillemets, enfin !) : c'est indispensable, et ça rendra inutile ta remarque initiale « M_n = K((X))(X^1/n) ne dépend pas de la racine n-ième de X choisie ».

Merci de m'avoir aidée à réfléchir en m'obligeant à formuler ces pensées inabouties.

Je crois que c'est mûr, je vais rédiger directement dans l'article. Anne, 20/5/15, 13h50, modifié à 16h26 (conflit d'édit)

Ça y est ! On est enfin parvenu à la pomme de discorde. Tout est une question de point de vue : On peut par exemple définir K[[X]] de façon indépendante par les suites (je veux dire comme on le fait dans les manuels d'algèbre élémentaires), ou simplement voir K[[X]] comme le complété de K[X] pour la valuation X-adic. De même on peut éventuellement définir K[[X^1/n]] de façon intrinsèque (disons, K[[X,Y]] partionné par la relation d'équivalence Yⁿ = X), où simplement le définir comme étant K[[X]][X^1/n] muni de l'unique valuation qui prolonge la valuation X-adic (X^1/n dans une clôture algébrique de K((X))). Au fond, cela revient d'ailleurs au même. L'écriture K[[X^1/n]] ne signifie pas (dans cette optique) quelque chose d'intrinsèque, mais seulement que K[[X]][X^1/n] est complet.

Partant, le corps des séries de Puiseux sur un corps K peut être défini de la façon suivante : Dans une clôture algébrique de K((X)), on se donne un système cohérent de racine n-ièmes X^1/n de X tels que vous l'avez défini plus haut. Le corps des séries de Puiseux se définit alors comme l'union (réelle) des K((X))(X^1/n), à un isomorphisme près. Notons que si K est algébriquement clos, alors il n'y a pas besoin que le système de variables soit cohérent (je parie d'ailleurs que c'est comme cela que Puiseux définissait les choses sur ℂ). Notons aussi qu'il par là immédiat que le corps des séries de Puiseux est un sous corps de la clôture algébrique. Admittedly, la définition par les limites inductives est plus classe, et probablement plus algébrique (quoique!). Mais à force de définir les choses de façon "super-classe-super-algébrique", de moins en moins de gens y comprennent quelque chose, et même ceux qui comprennent payent un prix trop élevé pour cela (la preuve est la gène que vous dites avoir ressentie lors de la rédaction de l'article). Quoi qu'il en soit, avec cette définition, tout ce que j'ai dit dans la démonstration plus haut semble bien exact. En fait, la partie qui consiste à démontrer que M est un corps de série de Puiseux devient inutile, puisqu'elle n'était nécéssitée que par la définition par les limites inductives. Mais même avec cette définition et en supposant que K((X^1/n)) est un objet intrinsèque, je maintiens cette preuve, en suprimant toutefois le "De plus, M_n = K((X^1/n))" (ce qui n'implique qu'un tout petit peu plus de travail pour montrer que le corps des séries de puiseux est isomorphe à M). Ouf, quel baratineur je fais, désolé c'est la pause café et je me lache. Maimonid (discuter) 20 mai 2015 à 16:23 (CEST)

Aucune discorde, bien au contraire ! j'en étais arrivée au même point pendant ma sieste, d'où modif de mon message ci-dessus en même temps que tu y répondais. Et dans mon ajout récent dans série de Puiseux, j'avais bien fait attention à y aller mollo et progressif. Anne, 19h7

P.S. Pour « B = K[[Z]] immédiat », ça va maintenant ?

Uh, immédiat ... non je n'irais pas jusque là. Mais ça va très bien puisque vous avez placé en référence la proposition de Serre.

Ça a l'air d'être mûr effectivement, alors je vous souhaite bon courage, et bonne chance pour la suite. Maimonid (discuter) 20 mai 2015 à 20:13 (CEST)