Discussion:Théorème de Minkowski

Cas où C est fermé

J'ai remanié aussi cette partie mais déjà dans la version antérieure — depuis le 3-4/8/2008 — on suppose seulement que C est fermé mais … on utilise dans la preuve que son intersection avec le réseau « est » compacte . Il faudrait soit rectifier l'énoncé (cf. réf. Planetmath) et donner si possible un contre-exemple, soit le démontrer vraiment (chercher peut-être dans V. Klee, Extremal structure of convex sets in Banach spaces, Arch. Math. 8(3) (1957) 234-240 ?). Anne (d) 7 avril 2013 à 20:30 (CEST)

Il existe de nombreuses preuves, avec des hypothèses plus ou moins fortes. De fait, on n’a rien défini ici (volume…). J’ai rajouté les hypothèses qui font marcher sans problème les démonstrations données (j’espère, il est un peu tard). Sur ce théorème, il aurait été intéressant d’expliquer l’approche (par une fonction jauge, qui est en fait une norme) de Minkowski, mais comme ce n’est pas ce qui est fait, je laisse pour le moment ! --Cgolds (d) 7 avril 2013 à 23:47 (CEST) PS :On aurait pu le faire avec corps convexe (compact d’intérieur non vide), c’est peut-être juste un problème de lien (ensemble convexe vs corps convexe ?). --Cgolds (d) 8 avril 2013 à 01:29 (CEST)

Bon, en supposant carrément C compact, c'est juste à présent (un contre-exemple de l'énoncé d'avant serait intéressant). J'avais rajouté "corps convexe" dans les articles connexes mais je ne vois pas trop l'intérêt d'ajouter cette hypothèse (intérieur non vide) dont on se passe. Anne (d) 8 avril 2013 à 07:54 (CEST)

Je ne suis pas sûre qu’il y ait un contre-exemple, le problème est la démonstration et je n’avais pas trop envie de changer. En principe, il suffit d’utiliser la fonction de jauge du convexe (la géométrie, c’est bien, mais l’analyse ). « Borné » marche par exemple et il doit suffire de prendre l’intersection du compact avec une sphère assez grande pour attraper un point. Mon propos sur « corps convexe » est que peut-être quelqu’un au départ a compris « corps convexe » comme « ensemble convexe » (et du coup a négligé « compact »). Bonne journée, --Cgolds (d) 8 avril 2013 à 08:22 (CEST)

On parle bien du cas d'égalité ? Borné tout seul ne suffit pas (exemple : C = ]–1, 1[, Λ = ℤ). Anne (d) 8 avril 2013 à 08:44 (CEST)

Ton borné n’est pas fermé (et si on le ferme, cela marche, ou bien il faut dire : a un point non nul dans son intérieur ou sa frontière). En fait, euh, un convexe de volume fini non nul est borné. Et borné fermé…Ouf. --Cgolds (d) 8 avril 2013 à 18:41 (CEST)

Ah, je comprends enfin ce que tu voulais dire ! Je ne savais pas qu'un convexe de volume fini non nul est borné mais je te crois. Du coup, ok, l'énoncé antérieur était vrai. Ce serait peut-être bien d'ajouter tout ça en remarque ? Anne (d) 8 avril 2013 à 21:57 (CEST)

Oui, mais la preuve telle qu’elle était écrite posait pb. Et je voulais une référence () … Cassels 1959, p. 109, lemme 4 : un ensemble convexe de volume V, 0<V< +∞, est borné. Preuve : si V>0, le convexe n’est pas tout plat (=inclus dans un hyperplan), il a un point intérieur et donc un petit parallélélipède autour. S’il y a un segment dans une direction, le convexe doit contenir le simplexe construit avec ce segment et les autres côtés du parallélépipède, le volume de ce simplexe est plus petit que V, ce qui majore la longueur du segment. C’est amusant parce que si son volume est nul, en revanche, le convexe n’est pas borné nécessairement (hyperplan). --Cgolds (d) 8 avril 2013 à 22:59 (CEST)

Super, merci pour ces explications et pour tes ajouts dans l'article. Anne (d) 9 avril 2013 à 01:40 (CEST)

Figures incohérentes dans la démonstration directe

Dans la figure plane de droite, les positions des 3 points X, Y et X–Y ne sont pas cohérentes. Il faudrait par exemple repositionner Y en –X.

Le pneu de gauche et son explication dans le corps du texte (« La zone grise est composée de deux bandes dont l'une fait le tour d'une section horizontale et l'autre d'une section verticale ») ne sont pas cohérents avec la figure de droite, d'après laquelle l'une des 2 bandes devrait faire simultanément un tour « horizontal » et « vertical ».

Anne (d) 8 avril 2013 à 07:32 (CEST)

Est-ce qu'il n’y a pas un petit x et un grand X ?…--Cgolds (d) 8 avril 2013 à 09:30 (CEST)

Les choix de rédaction n'étaient pas les mêmes dans le § du lemme et dans ce §-ci mais heureusement la taille de lettres non plus (x et –y dans l'un, X et Y dans l'autre). J'ai explicité ce changement de variable, mais là n'est pas le problème. Anne (d) 8 avril 2013 à 10:04 (CEST)

Je ne comprends pas ses dessins.--Cgolds (d) 8 avril 2013 à 18:41 (CEST)

Est-ce que tu préfères ceci,

 ? Le point Z est X-Y. Je n’ai pas eu le courage de dessiner les zones grises (franchement, je ne suis pas très convaincue de l’intérêt de l’inclure, comme souvent, c’est un peu à côté du sujet). En revanche, je suis mal à l’aise avec le flottement entre réseau de points et réseau vectoriel (j’ai illustré « points » parce qu’on a choisi cela au départ, mais le texte lui oscille, je pense). --Cgolds (d) 9 avril 2013 à 00:28 (CEST)

C'est forcément mieux puisque c'est juste (et sans complications inutiles de forme de C ni de repère oblique). De plus la phrase sur les deux « bandes » du pneu redeviendrait juste. Mais la largeur (presque constante) de ces bandes grises serait très grande donc ne correspondrait pas à l'abondance de jaune du pneu : si on grisait ta figure, il ne resterait qu'une toute petite tache jaune au centre (quand on superpose les quatre quarts du petit disque dans un même carré, seuls quatre petits coins du carré ne sont couverts que par un quart de disque). Avec un C rectangulaire (de côtés parallèles aux axes) ce serait peut-être plus facile à doser. Mais si tu n'as pas le courage ou n'es pas convaincue de l'utilité, on peut se contenter de virer ce qui ne va pas. Anne (d) 9 avril 2013 à 01:40 (CEST)

J’ai fait deux choses, l’une qui correspond (je pense) à ce qui était dit avant, et une qui est ce dont tu parlais, je crois. Il me semble (si tu valides ces schémas, je ne suis vraiment pas trop sûre…) qu’on qu’on doit de toute façon mettre deux schémas (celui, plus haut, sans allusion au tore, et éventuellement un autre), parce que mettre seulement le 2^e rend les choses difficiles à lire. Personnellement, je ne sais pas si cela aide. On pourrait demander ? Amitiés, --Cgolds (d) 9 avril 2013 à 10:30 (CEST)

• 
  La partie du convexe C_1/2 envoyée injectivement dans le tore apparaît en jaune.
• 
  Le dessin montre comment C_1/2 (le disque jaune) est envoyé dans le tore.
• 
  En choisissant, dans C_1/2, X et Y de même image dans le tore, on construit un élément non nul Z = X – Y de C.

Je trouve ça bien (et virer le pneu). Anne (d) 9 avril 2013 à 11:11 (CEST)

Une «réciproque»

Juste en passant, il existe une sorte de réciproque : A Reverse Minkowski Theorem par Oded Regev. Je ne me souviens pas de plus. --Roll-Morton (discuter) 6 avril 2018 à 13:40 (CEST)

Réciproque partielle

J'ai ajouté une réciproque partielle sourcée, mais sa formulation ne colle pas bien à celle utilisée ici. Je pense qu'on pourrait la transformer en :

Réciproque partielle — Soit d un entier strictement positif et P une partie étoilée de ℝ^d, symétrique par rapport à l'origine O, et de volume V < 2ζ(d). Alors il existe une isométrie $u$ telle que $u(P)$ ne contient aucun point à coordonnées entières autre que l'origine.

Cependant je ne suis pas absolument sûr de pouvoir formuler la chose ainsi, et on s'éloigne du texte donné dans la source. Qu'en pensez-vous ? --E.Le Morvan (discuter) 21 mai 2019 à 09:57 (CEST)

Bonjour, je trouvais très bien la formulation mise dans l'article. Je ne suis pas sûre de comprendre pourquoi elle ne te va pas ou ne colle pas bien à celle utilisée, etc. Amicalement, -- Cgolds (discuter) 22 mai 2019 à 19:01 (CEST)

Bonsoir, ce qui m'ennuie c'est que l'article ne parle nulle part de la notion de déterminant d'un réseau et donc ça m'ennuie de l'utiliser dans l'énoncé d'un théorème.--E.Le Morvan (discuter) 22 mai 2019 à 22:48 (CEST)

Oups, ce n'est pas le déterminant d'une base, i.e. le covolume dont l'article parle ? -- Cgolds (discuter) 22 mai 2019 à 23:37 (CEST)

Si mais je n'ai pas l'impression que ça ressorte très bien du texte. --E.Le Morvan (discuter) 23 mai 2019 à 21:31 (CEST)

J'ai remplacé par covolume qu'on utilise partout ailleurs. Amicalement, -- Cgolds (discuter) 25 mai 2019 à 18:27 (CEST)

C'est sans doute la meilleure chose à faire effectivement. Merci ! --E.Le Morvan (discuter) 27 mai 2019 à 09:34 (CEST)