Discussion:Théorème de Gauss-Lucas
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Reference
modifierJe m'excuse, mon francais et mon clavier sont des ennemis aujourd'hui! La reference n'etais pas correcte et l'auteur est F'elix Lucas, non E. Lucas! Voir par example "Analytic theory of polynomials" de Qazi Ibadur Rahman, Gerhard Schmeisser, p. 91 et p. 706; ou http://www.univ-lille1.fr/bustl-grisemine/pdf/extheses/50416-1999-Decaillot-Laulagnet.pdf p.199. --90.146.26.223 (d) 30 mars 2010 à 17:04 (CEST)
Date de la démonstration
modifierIl est fait état d'une démonstration en 1874 mais la référence donnée en note porte la date de 1879. C'est également ce qui est indiqué sur la page Bibmath.net consacrée au théorème : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./l/lucas.html
123.50.94.46 (discuter) 10 janvier 2023 à 07:20 (CET)
- Bon, la réponse n'est pas si simple...
- L'attribution d'une mention par Gauss et de l'élaboration du théorème par F. Lucas dès le début des années 1870 figure dans cet article écrit en 2006 et publié en 2008
- (en) J. L. Díaz-Barrero et J. J. Egozcue, « A generalization of th Gauss-Lucas theorem », Czechoslovak Mathematical Journal, no 58 (133), , p. 481-486 (lire en ligne)
- Cependant ce papier se trompe sur la référence au texte de Lucas car il indique
- F. Lucas: Propriétés géométriques des fractions rationelles. C. R. Acad. Sci. Paris 77(1874), 431–433; 78 (1874), 140–144; 78 (1874), 180–183; 78 (1874), 271–274., (lire en ligne)
- qui ne semble rien contenir de tel.
- C'est probablement sur la foi de cette source secondaire que la date de 1874, le titre du papier de Lucas et la mention à Gauss a été ajouté à l'article en 2007, avec une erreur de prénom. Ensuite une IP a fait remarquer l'erreur de prénom et a mis en référence un papier de F. Lucas de 1879, introduisant une incohérence entre l'affirmation et la source.
- Le papier de 1879 cite explicitement la propriété sur l'enveloppe convexe des racines page 225. Mais cette propriété est une conséquence directe d'un autre théorème de ce même Lucas, énoncé en 1874 dans une note Théorèmes concernant les équations algébrique et dont il promet le développement Théorème V (p.433) :« les actions algébriques exercées par les racines (M) d'une équation sur une racine I de sa dérivée se font équilibre » (l'action en question est une action répulsive en 1/d). Bref le papier de 1979 démontre et développe les conséquences du théorème énoncé en 1874.
- Cependant, ce que j'écris ici est un TI personnel. La source secondaire que l'on pourrait citer pour Gauss et la date de 1874 se trompe. Il reste la thèse d'Anne-Marie Decaillot-Laulagnet, Edouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIXe siècle, de 1999, qui écrit p. 199 « L'article de Félix Lucas intitulé "Sur une application de la mécanique rationnelle à la théorie des équations" figure dans les Comptes Rendus [1879, vol. 89, p. 224-226]. Il contient en particulier le "théorème de Lucas" »
- Avec la même prudence que cette dernière, je modifie donc le texte pour ne parler que de la publication d'un papier avec dem et énoncé en 1879.HB (discuter) 10 janvier 2023 à 09:55 (CET)
Sur Gauss
modifierComme évoqué au dessus, le rôle de Gauss dans l'affaire reste à déterminer. Le papier de J. L. Díaz-Barrero et J. J. Egozcue indique que vers 1836, 1846 Gauss est le premier à donner une interprétation mécanique des zéros de f'x) et met en référence
- C. F. Gauss: Collected Works. Leipzig, Teubner, 1900–1903, vol.3, p. 112.
Ce document est [accessible et p.112, on lit bien une note de bas de page que je traduis ainsi
- Théorème: Si a, b, c, ..., m, n sont les racines de l'équation f(x)=0 et a', b', c', ..., m' les racines de l'équation f'(x)=0, et si les points correspondants sont représentés dans le plan par les mêmes lettres, alors, si l'on imagine en a, b, c, m, n des masses égales de répulsion ou d'attraction qui agissent dans le rapport inverse de leur distance sur a', b', c', .., m', il y a équilibre.
Bref, il s'agit visiblement du même théorème (énoncé sans démonstration) que celui de Lucas énoncé en 1874 et démontré en 1879 et dont l'histoire de l'enveloppe convexe n'est qu'une conséquence.
Mais concernant la date je suis perplexe. La note figure à la fin d'un papier qui semble daté de 1816 (voir page 107) tandis que les métadonnées indiquent que les travaux en question on été réordonnées en 1866. Nulle part je ne vois la date de 1836. D'où ma demande d'une source secondaire plus fiable.
En attendant je remets «évoqué» (au lieu d'utilisé) qui me semble plus proche de ce que j'observe. HB (discuter) 10 janvier 2023 à 10:56 (CET)