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Théorème de Gauss-Lucas

Théorème de topologie algébrique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss et Théorème de Lucas.

En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.

Ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Félix Lucas[1],[2].

MotivationModifier

Il est facile de remarquer que si   est un polynôme du second degré, le zéro de   ' est la demi-somme des zéros de  .

Par ailleurs, si un polynôme de degré   à coefficients réels admet   zéros réels distincts  , on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle  .

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

ÉnoncéModifier

Soit   un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de   ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de  .

PreuveModifier

Soit   la décomposition de   en facteurs irréductibles : le complexe   est le coefficient dominant du polynôme, les complexes   en sont les zéros distincts, les entiers   leurs multiplicités respectives.

On a alors

 

En particulier,

 


 

ce qui s'écrit aussi

 


En prenant les conjugués, on voit que   est un barycentre à coefficients positifs des  .

Le cas où   est aussi zéro de   est évident.

Notes et référencesModifier

  1. Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), 224–226 [lire en ligne].
  2. Ne pas confondre avec Édouard Lucas.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

(en) Paul Erdős et Ivan Niven, « On the roots of a polynomial and its derivative », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54,‎ , p. 184-190 (lire en ligne)