Discussion:Repère de Frenet

Cet article a besoin d'être remanié en profondeur :

On parle de repère alors qu'il s'agit plutôt d'une base (base de projection par opposition à repère de mouvement)

On parle de vecteur k d'axes Ox et Oy alors que les vecteurs utiles sont intrinsèques à la trajectoire : T, N , B

On introduit les coordonnées voire le trièdre polaire qui n'a pas de rapport direct ( le repère polaire étant d'ailleurs également une base ! )

Pour les courbes gauches c'est le bouquet :

On commence par un commentaire naïf : c'est moins facile !! Ce qui précède ne l'est sûrement pas pour un non-initié...

On parle de torsion sans jamais la définir

On termine par l'expression de l'accélération (Formule de ...) qui visiblement n'a que faire de la notion de torsion !!

Bref il faut tout réécrire, merci quand même à l'étudiant ( ?) qui a lancé la page !

Proposition de réécriture effectuée (par un matheux, il y aura certainement à redire :) ). Pour certaines remarques ci-dessus

# il y a une base ET un repère de Frenet : la base est utile pour les calculs vectoriels, mais préciser une origine peut avoir son intérêt pour l'étude locale des courbes (point de vue de matheux : je fais un DL).

# je suis d'accord avec la remarque sur ce vecteur k, tout à fait saugrenu, toutefois il semble qu'il y a une tradition bien ancrée en faveur de son utilisation... j'ai donc signalé l'exstence de cette formule.

# le paramètre α lui serait modifié par changement de coordonnées (ajout d'une constante), c'est pourquoi il convient de prendre un repère fixe si on veut parler de lui (ce qui n'est pas nécessaire, mais plus parlant pour donnner l'interprétation géométrique de la courbure).

# les articles de wikipedia sont des oeuvres collectives, d'où leurs forces ... et leurs faiblesses. Ce qui doit d'autant plus inciter à contribuer. Peps 16 juillet 2006 à 23:22 (CEST)

Idées manquantes à mon sens

• extension aux courbes définies dans un espace euclidien (puis évoquer les variétés riemanniennes ?)
• caractérisation d'une courbe par ses invariants (courbure, torsion...) : not parler d'équation intrinsèque d'une courbe Peps 16 juillet 2006 à 23:38 (CEST)

Convention(s) pour la torsion

Existe-t-il deux conventions pour la torsion ${\frac {dB}{ds}}=\pm \tau N$ ? Ektoplastor me fait remarquer qu'il a la convention "+" ; Arnaudiès lui donne raison, mais dans les articles anglais et allemands ils donnent l'autre signe "-". Peps 17 juillet 2006 à 16:07 (CEST)

Convention(s) pour la torsion dernière formule

Je pense qu'il y a bien une erreur dans la dernière formule: dans mon cours de licence il n'y a pas de signe - et il n'y en a pas dans l'article en anglais sur la torsion.

une critique

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Tout à fait d'accord avec Peps, cet article est truffé de confusions et d'erreurs. J'en signale quelques autres :

1. "L'origine du repère de Frenet est le point M(s)" : dans ce cas le point est fixe, il n'y plus ni vitesse ni accélération on ne sait plus ce que s veut dire. Tout le monde va se coucher !
2. La vitesse scalaire n'est en aucun cas une NORME (positive) mais bien une grandeur algébrique : on oriente a priori la trajectoire puis l'on mesure algébriquement ds/dt. Penser par exemple au mouvement oscillant s = so * cos(w*t)
3. On passe sans le dire d'un concept géométrique à un concept cinématique ( s -> t ) avec des confusions dans le genre : " la courbure (géométrique) est d'autant plus forte que la vitesse dans le virage est élevée ( là on mélange franchement courbure et accélération normale )

Pour être constructif, je pense qu'il faut préciser d'emblée qu'il s'agit d'une BASE inspirée par la cinématique et en dynamique du point : le paramétrage étant le temps t. Ainsi le vecteur T est parallèle au vecteur vitesse V, (pas forcément de même sens). Si le mouvement n'est pas rectiligne (localement) alors l'accélération Gamma n'est pas parallèle à V et le plan de ces deux vecteurs permet de construire le second vecteur unité N (tel que (Gamma)N soit forcément positif (quel que soit le signe de V algébrique, car l'accélération normale dépend de son carré ). Enfin la notion de torsion apparaît pour des trajectoires non planes. Une présentation possible pour des "non-initiés" à la géométrie différentielle des courbes et donc utile dans cette encyclopédie serait la suivante : Repérons les positions successives M1 ,M2, M3... d'un point mobile M(t)à des intervalles de temps égaux et "petits" : Avec M1 seul je peux définir simplement la position Avec M1 et M2 je peux définir la direction actuelle du mouvement et la vitesse (moyenne dans l'intervalle puis "instantanée" si l'intervalle de temps tend vers zéro) Avec M1, M2 et M3 je peux contrôler si V change, définir alors l'accélération et le plan osculateur ( le plan des 3 points s'ils ne sont pas alignés : existence d'une courbure). Avec M1, M2, M3 et M4 je peux contrôler si M4 a quitté le plan osculateur,dire alors qu'il y a torsion et la mesurer. Il s'agit en fait d'une approche par différences finies de la notion de dérivation successives par rapport au temps d'une position dans l'espace usuel de dimension 3, ce qui n'est en aucun ca trivial ! Bon courage à ceux qui s'attaqueront à la rectification de l'article, personnellement j'ai trop peu d'expérience en traitement de texte Latex pour m'y lancer !--C Pontzeele 27 septembre 2006 à 14:15 (CEST)

Non je ne suis pas d'accord avec plusieurs de tes remarques, qui tiennent certainement à des différences de tradition d'utilisation en maths et physiques mais je confirme, appuyé sur des sources (Lelong-Ferrand - Arnaudiès ou Warusfel-Deschamps par exemple) que l'origine du repère de Frenet est M(s), c'est une définition : il s'agit d'un repère mobile, dont l'origine bouge aussi. Comme ce n'est pas le repère de Frenet qui définit le mouvement mais le contraire, je ne vois pas où est le problème (sauf si tu utilises des formules erronées pour calculer vitesse et accélération dans un repère mobile). Et les physiciens emploient certainement plus la base de Frenet que le repère de Frenet, mais pourquoi l'appeler "repère" en disant "c'est une base" ?

La convention sur l'orientation relève là aussi des conventions : tout dépend si on oriente relativement au sens du mouvement (convention choisie dans l'article, là aussi tradition mathématique) ou si on fait une orientation de la courbe sans connaître le sens du mouvement (ce qui peut être plus pratique dans certains problèmes physiques avec des aller-retours sur une courbe connue d'avance - bref surtout pour le mouvement circulaire...). A partir de là il est normal que les signes soient radicalement différents dans les deux traditions.

"là on mélange franchement courbure et accélération normale" : visiblement un lapsus, d'ailleurs la formule était à une place anormale en plein milieu de la phrase... j'ai rectifié

les remarques générales que tu donnes sur la "présentation possible pour des "non-initiés" à la géométrie différentielle des courbes" me paraissent relever de l'article cinématique et non de la géométrie différentielle : pour cette dernière voir courbe qui est l'article de présentation, celui-ci étant voué à donner une présentation plus technique.

je relève quand même dans la présentation physique traditionnelle le "rectiligne (localement)" qui m'a toujours fait bondir : avec cette façon de parler, la courbe $y=x^{4}$ est rectiligne localement au point x=0... comprenne qui pourra, alors qu'en terme de dérivée seconde, c'est limpide (point non birégulier).

quant à la "rectification" de l'article, l'expression est mignonne :) Peps 27 septembre 2006 à 17:42 (CEST)

Merci à Peps pour ses réponses à mes remarques.

Au niveau de la distinction référentiel, repère ou base, tout le monde est d'accord pour dire que le référentiel est le "solide" par rapport auquel on mesure le mouvement. En revanche, c'est moins clair pour repère et base : les physiciens semblent réserver le mot repère à un trièdre de projection fixe dans le référentiel et à le distinguer d'une base qui serait mobile avec le point étudié. Ainsi, on parlerait de base de Frenet ou de base polaire, cylindrique, sphérique...(Le repérage cartésien étant donc le seul type de repère lié rigidement au référentiel). Mais je ne conteste à personne le droit de parler de repère mobile :) En ce qui concerne l'algébrisation de la vitesse et l'orientation du vecteur T, la situation est plus ennuyeuse. En particulier dans l'article lié cinématique on parle de l'abscisse curviligne comme d'une distance et de sa dérivée par rapport au temps comme de la norme du vecteur vitesse. On perd l'algébrisation de l'abscisse curviligne ( le sens positif posant toujours problème )et l'on insinue que la dérivée d'une grandeur positive est positive... Quand à la remarque concernant la courbe $y=x^{4}$ , il est vrai que puisque la courbure est localement nulle, l'accélération normale est nulle et selon Newton on s'autorise à dire que la courbe est localement "rectiligne" ( sous-entendu au second ordre....) Mais il s'agit sûrement d'une "rectification" un peu osée mathématiquement Utilisateur:C Pontzeele

je pense que tu ne devrais pas hésiter à transporter une bonne partie des remarques que tu as faites sur cette la page de discussion de cinématique, où elles pourraient permettre de bien faire progresser l'article. On y trouve notamment une présentation par discrétisation, effectivement très parlante, et qui pourrait être affinée et mise en premier plan.

il faudrait aussi que cinématique reflète l'usage et les conventions traditionnelles en physique

pour cette page-ci c'est vrai qu'il y a une difficulté : le repère de Frenet est un outil de base pour les mathématiciens en géométrie différentielle, et la base de Frenet pour les physiciens en cinématique. Je ne sais pas quelle forme de cohabitation est souhaitable : je dirais que mieux vaut présenter les deux points de vue, chacun dans sa logique, et ne les comparer qu'après coup. Peps 3 octobre 2006 à 20:49 (CEST)

question

On se place en un point s particulier. Comme l'arc est paramétré par l'abscisse curviligne, le vecteur dérivé en s est unitaire et tangent à la courbe, il est dirigé dans le sens du mouvement. Il porte le nom de vecteur tangent unitaire à la courbe et est noté traditionnellement T(s).

$T(s)={\frac {df}{ds}}$

Oui pourquoi pas , mais df et ds n' ont pas été définis  !!!

CPasDrole (d) 18 avril 2009 à 16:36 (CEST)

Definition de T

On se place en un point particulier de paramètre s. Comme l'arc est paramétré par l'abscisse curviligne, le vecteur dérivé, dM(s)/ds, est unitaire et tangent à la courbe, il est dirigé dans le sens du mouvement. Il porte le nom de vecteur tangent unitaire à la courbe et est noté traditionnellement T(s).

Le vecteur dM(s)/ds n'est pas unitaire, c'est évident, si c'est la trajectoire c'est le vecteur vitesse ! La question est est ce que le sens du vecteur T est defini par un sens de parcours arbitraire de la courbe paramétrée ou est ce qu'il suit le sens de la vitesse ? je cherche cette info je ne la trouve pas — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A02:2788:16:709:E47B:8A65:D3F7:522F (discuter), le 30 décembre 2017 à 13:19 (CET)

Definition de T

norme (V) *T= V

Selon cette définition il apparaît que T est toujours dirigé selon le sens du mouvement T(s) si s est l'abscisse curviligne n'est pas forcement unique (à contrario de T(t)) Le vecteur N est quand à lui dirigé selon le sens de l’accélération centripete, donc vers l'intérieur (coté concave) de la courbe — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Speedy gonzales1 (discuter), le 31 décembre 2017 à 13:56 (CET)

Repère de Frenet dans le plan ; direct ou non?

Transféré depuis ma page de discussion

Bonjour,

le repère de Frenet (t,n,b) est direct. Il est direct en représentation 3D mais en représentation 2D (t,n) il n'est pas toujours d'apparence direct :

Lorsque le mouvement est dans le plan et que la binormale b est dirigée vers nous alors, sur le dessin 2D, la normale n est obtenue à partir de t par une rotation de pi/2 dans le sens direct. Lorsque le mouvement est dans le plan et que la binormale b n'est pas dirigée vers nous alors, sur le dessin 2D, la normale n est obtenue à partir de t par une rotation de pi/2 dans le sens indirect (sur le dessin 2D mais pas en 3D).

Ainsi, la normale n est toujours dirigée vers l'intérieur de la trajectoire. Elle est d'ailleurs liée à l'accélération normale, elle même liée à la force qui courbe la trajectoire, vers l'intérieur.

Pour vous assurez de ce que je dis, considérez une trajectoire courbe parcourue dans le sens de votre choix, représentez le trièdre de Frenet en un point P, puis parcourez cette trajectoire dans l'autre sens. Au point P, le trièdre de Frenet a tourné, t et b ont changé de sens mais pas de direction, n n'a pas bougé et est toujours dirigée vers l'intérieur de la courbe.

En conclusion : n est toujours dirigée vers l'intérieur de la trajectoire. Dans l'espace 3D de la physique, n est obtenue à partir de t par une rotation de pi/2 dans le sens direct, mais il n'est pas correct de dire que n est toujours obtenue par une rotation de pi/2 dans le sens direct lorsque le trièdre est représenté partiellement dans le plan sous la forme (t,n).

Bien cordialement, --Casterol (discuter) 5 juillet 2019 à 12:04 (CEST)

Bonjour  Casterol. En cas de litige concernant une définition, le mieux n'est pas de tenter d'argumenter sur ce qui serait la meilleure définition mais de présenter celle que l'on retrouve dans les sources. Il semblerait bien que les sources prennent majoritairement[1], [2], [3] (voire unanimement) dans le cas de la courbe plane un repère direct. La courbure est alors une valeur algébrique pouvant être négative et le vecteur normal n'est alors pas toujours tourné vers l'intérieur de la courbe. La définition dans le plan n'est donc pas une réduction de la définition du repère de l'espace à celui du plan. Cela peut sembler illogique, mais nous ne sommes pas là pour changer les définitions. Bien cordialement itou .HB (discuter) 5 juillet 2019 à 15:14 (CEST)

Sur les modifications du 16 aout 2019

Je suis lasse de tenter de protéger cet article des modifications de Casterol (d · c · b) en risquant d'entrer dans de désagréables guerres d'édition. Je reste cependant convaincue que ces modifications constituent une régression de l'article

• la version précédente réclamait une courbe C2 et régulière - La version actuelle ne la suppose que C1, ce qui n'empêche pas Casterol de prendre un paramétrage normal (nécessite la régularité) et de dériver le vecteur T (nécessite la double différentiabilité)
• la version précédente parlait de math et de propriété géométrique de courbe - la version actuelle introduit une notion de cinématique et de particule parfaitement inutile
• la version précédente définissait, pour le plan, le second vecteur du repère de Frenet de telle sorte que le repère (T,N) soit direct en conformité avec les sources citées dans la discussion précédente - Casterol, avec un argument d'autorité «Voir les versions wiki anglaise, allemande, italienne, ... ou lire des livres sur le sujet» indique que le vecteur N est orienté dans le même sens que la dérivée du vecteur T, sans indiquer de source. Pire, l'article anglais donne bien une définition de N pour le plan conforme à la version précédente de l'articleen:Frenet–Serret formulas#Plane curves définition que Casterol a pris soin de supprimer
• Dans la version précédente, la courbure d'une courbe plane était algébrique - dans la version actuelle, elle est toujours positive, etc..

Bref nous avons un article comportant des erreurs et dont la définition, concernant la courbe plane, est fausse.

Je n'interviendrais pas pour annuler les modifications de Casterol, me contentant de poser cette alerte et bien entendu de soutenir toute personne abondant dans mon sens. HB (discuter) 16 août 2019 à 19:49 (CEST)

Je me suis permis d'intervenir en force, et d'en profiter, tout de même, pour m'attrister du manque de sources.--Dfeldmann (discuter) 16 août 2019 à 20:09 (CEST)

Je ne suis pas l'auteur de l'article mais les résultats me semblaient tellement bien partagés que des sources me semblaient inutiles. Mais tu as raison, mieux vaut des sources explicites quand une controverse se dessine. J'ai donc choisi deux auteurs de référence de ma bibliothèque qui n'ont d'ailleurs pas la même définition de la torsion. Mais on peut en trouver pléthore d'autres. J'ai enlevé le bandeau car ces bandeaux ont tendances à trainer sans raison. Si tu penses qu'il faut ajouter d'autres sources, n'hésite pas à apposer des refnec ou remettre le bandeau. HB (discuter) 17 août 2019 à 15:04 (CEST)

Merci, ça devrait suffire. Sinon, je pense compléter (à un rythme aléatoire) à l'aide de l'article anglais, nettement plus riche, sourcé, et surtout illustré. --Dfeldmann (discuter) 17 août 2019 à 15:29 (CEST)

Notations 2D et notations 3D

Bonjour, quelles notations prenez-vous pour une courbe en forme de ressort : un cercle 2D suivi d'une spirale 3D, puis de nouveau un cercle 2D ?

--Casterol (discuter) 28 août 2019 à 14:33 (CEST)

Je vous vois venir, vous allez me dire qu'il est illogique de définir différemment le vecteur normal pour un cercle selon qu'on le considère comme la portion d'une courbe définie dans l'espace ou comme une courbe dessinée dans le plan. Mais ce n'est pas à moi, ni à vous, de statuer sur le caractère logique ou non d'une définition. Nous avons l'obligation de nous conformer à ce que disent les sources. Or les sources ont décidé majoritairement que le repère de Frenet devait toujours être un repère direct que ce soit dans le plan ou dans l'espace. Dans votre ressort dans l'espace, il n'est pas grave que les deux premiers vecteurs ne définissent pas une base directe du plan (O, i, j), l'important est que le trièdre complet soit direct. Si on travaille dans le plan, la base n'a que deux vecteurs, l'orientation du second vecteur est donc imposée par la position du premier. HB (discuter) 28 août 2019 à 20:41 (CEST)