Discussion:Réduction de Gauss

(auto)-critique de l'article dans sa version du 15.01.2003

l'existence d'une base orthogonale se fait facilement par récurrence voir forme quadratique la réduction de Gauss, c'est le point de vue dual. Ce qui est spécifique, c'est l'algorithme. (pas celui qui est plus bas sur cette page : celui là est incorrect !) Je compte modifier l'article dans ce sens.Jaclaf (d) 17 janvier 2013 à 15:08 (CET)

A propos de l'algorithme :

il n'est pas très sérieux  : la démonstration elle -même le fournit, en tenant compte, ce qui n'est pas le cas ici, du cas où la forme quadratique ne comprend que des termes rectangles: il ne marche pas pour $xy+yz+zx$ par ex

à moins d'une intervention argumentée d'ici une semaine, je le fais passer dans la discussion Jaclaf (d) 13 janvier 2009 à 15:24 (CET)

Pour moi tu peux y aller. rv¹⁷²⁹ 13 janvier 2009 à 19:23 (CET)

c'est fait ! Jaclaf (d) 22 janvier 2009 à 12:51 (CET)

Algorithme

• En dimension deux :
  
  

Soit $q(x,y)$ une forme quadratique sur $R^{2}$ de la forme :
$q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy$
on écrit alors :
$q(x,y)=a(x+{\frac {c}{2*a}}y)^{2}+y^{2}(b-{\frac {c^{2}}{4*a}})$

• • On a alors la signature de q :
    

$sign(q)=(n_{+};n_{-})$
où $n_{+}$ est égal au nombre de coefficient positifs devant les carrés
et $n_{-}$ au nombre de coefficient négatifs devant les carrés
ex : $sign(q)=(2;0)$ si et seulement si $a>0$ et $b-{\frac {c^{2}}{4*a}}>0$

• • Ainsi que le rang de q :
    

$rang(q)=n_{+}+n_{-}$

• En dimension trois :
  
  

Soit $q$ une forme quadratique sur $R^{3}$ de la forme :
$q(x,y,z)=a*x^{2}+b*y^{2}+c*z^{2}+d*xy+e*xz+f*yz$
On écrit d'abord :
$q(x,y,z)=a(x+{\frac {d}{2*a}}y)^{2}-{\frac {d^{2}}{4*a}}y^{2}+b*y^{2}+c*z^{2}+e*xz+f*yz$
Puis on recommence l'opération avec $x$ et $z$ afin de faire disparaitre le produit $xz$, ie :
$q(x,y,z)=a(x+{\frac {d}{2*a}}y+{\frac {e}{2*a}}z)^{2}-{\frac {d^{2}}{4*a}}y^{2}-{\frac {e^{2}}{4*a}}z^{2}+b*y^{2}+c*z^{2}+f*yz$
enfin on applique le même algorithme qu'en dimension deux pour réduire $-{\frac {d^{2}}{4*a}}y^{2}-{\frac {e^{2}}{4*a}}z^{2}+b*y^{2}+c*z^{2}+f*yz$ ce qui donne :
$q(x,y,z)=a(x+{\frac {d}{2*a}}y+{\frac {e}{2*a}}z)^{2}+(b-{\frac {d^{2}}{4*a}})(y+{\frac {f}{2*(b-{\frac {d^{2}}{4*a}})}}*z)^{2}+z^{2}(c-{\frac {f}{2*(b-{\frac {d^{2}}{4*a}})^{2}}})$

• Cet algorithme se généralise facilement par récurrence dans le cas d'un espace vectoriel à n dimensions.
• je rappelle que cet algorithme est incorrect : il ne prend pas en compte le cas où il n'y a que des "termes rectangles"

Jaclaf (discuter) 19 avril 2014 à 11:14 (CEST)

commentaire sur ma modif du 22 Janvier

il ne faut pas confondre la diagonalisation des formes quadratiques, toujours possible, qui met en jeux des matrices congruentes, avec la diagonalisation des opérateurs linéaires, qui met en jeu des matrices semblables Jaclaf (d) 22 janvier 2009 à 12:58 (CET)

Brouillon d'une modification

(le paragraphe "liens" restant inchangé)

En algèbre, la réduction de Gauss est un algorithme qui permet d'écrire tout polynôme homogène de degré 2 comme une sommme de carré, plus précisément comme somme de carrés de combinaisons linéaires indépendantes des variables.

La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Cas de deux variables

Soit $q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ un tel polynôme. Si l'un des coefficients a est non nul, on écrit

$q(x,y)=a(x+{\frac {c}{2a}}y)^{2}+y^{2}(b-{\frac {c^{2}}{4a}})$

Si a est nul et c non nul, on procède de même avec c. Si a et c sont tous deux nuls, on remarque que $bxy={\frac {b}{4}}{\big (}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}{\big )}$

Cas général

Pour $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i\leq n}a_{i}x_{i}^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}$, on procède par récurrence sur le nombre de varibles $x_{k}$ qui figurent réellement dans cette expression de q (c'est-à-dire le nombre d'indices k pour lesquels au moins un $a_{ki}$ est non nul).

Si ce nombre est 0 (c'est-à-dire si q est nulle) il n'y a rien à montrer.

Supposons donc q non nulle. On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients $a_{ii}$ est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que $a_{11}\neq 0$. On écrit séparément les termes où $x_{1}$ intervient :

$q(x)=a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}+\sum _{2\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}.$

On applique à ces derniers la technique de résolution d'une équation du second degré :

$a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}=a_{11}{\big (}x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}{\big )}^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}{\big (}\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{i}{\big )}^{2}.$

On obtient ainsi que

$q(x)=a_{11}{\big (}x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}{\big )}^{2}+q^{\prime }(x);$

où $q^{\prime }$ est un polynôme homogène de degré deux par rapport à $x_{2},\ldots x_{n}$, autrement dit une forme quadratique sur l'espace vectoriel engendré par $e_{2},\ldots ,e_{n}$. L'hypothèse de récurrence nous dit que

$q^{\prime }=\sum _{i=2}^{s}c_{i}l_{i}^{2},$

où les $l_{i}$ sont des combinaisons linéaires de $x_{2},\ldots ,x_{n}$, d'où le résultat avec $c_{1}=a_{11}$ et

$l_{1}(x)=x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}.$

D'après l'hypothèse de récurrence, les formes $(l_{i})_{2\leq s}$ qui interviennent dans la décomposition de $q^{\prime }$ sont indépendantes. La coordonnée $x_{1}$ n'apparaît pas dans leur écriture, et apparaît dans celle de $l_{1}$. Il en résulte que les formes $(l_{i})_{1\leq s}$ sont encore indépendantes.

2) Tous les $a_{ii}$ sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers $i\neq j$ tels que $a_{ij}\not =0$. Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de $a_{12}$. On écrit

$q(x)=2a_{12}x_{1}x_{2}+2x_{1}(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i})+2x_{2}(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i})+\sum _{3\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}.$

La somme des termes en $x_{1}$ ou $x_{2}$ s'écrit aussi

$2(a_{12}x_{1}+\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i})(x_{2}+{\frac {1}{a_{12}}}\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i})-{\frac {2}{a_{12}}}(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i})(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}).$

On voit que $\,q(x)$ est de la forme

$2l_{1}(x)l_{2}(x)+q^{\prime }(x),$

où $q^{\prime }$ ne dépend que de $x_{3},\ldots x_{n}$. On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à $q^{\prime }$, et en remarquant que $4l_{1}l_{2}=(l_{1}+l_{2})^{2}-(l_{1}-l_{2})^{2}$. L'indépendance des formes $l_{i}$ se montre comme dans le premier cas.}}

Exemples

• Soit $q\,$ une forme quadratique sur l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{3}$ définie par

$q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}\,$

(On a désigné par $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ un élément $x\,$ de $\mathbb {R} ^{3}$)

Alors $\quad q(x)=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-4x_{2}x_{3}=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-(x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}$.

• Autre exemple : $q(x)=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\,$

On a alors $q(x)=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})-x_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(x_{1}+x_{2}+2x_{3})^{2}-{\frac {1}{4}}(x_{1}-x_{2})^{2}-x_{3}^{2}.$

Remarques

• Ces calculs sont valables pour tout corps de caractéristique différente de 2.

• On a prouvé en fait que toute forme quadratique s'écrit comme somme de carrés de formes linéaires indépendantes.

• Le nombre de carré est égal au rang de la forme quadratique étudiée

Sur le brouillon

Cela me paraît très bien !!!

Suggestions (pour avoir l’air de servir à quelque chose, , mais cela ne me gêne pas si tu mets dans le texte en l’état) :

• la réduction de Gauss est un procédé (au lieu de "algorithme", qui a peut-être l’air un peu technique, on peut aussi dire un peu plus loin que ce procédé peut être mis sous une forme algorithmique, programmé, etc.) qui…

• polynômes homogènes (à un nombre quelconque de variables)… .

• Dans le cas de deux variables, le procédé est proche de/analogue à la mise en forme canonique, etc.

Je crois qu'il faut intervertir y^2 et le coefficient constant (je sais, c’est bête, mais je crois que cela peut déconcerter des élèves si on a les variables avant la constante...).

• Il manque aussi un s dans la première phrase (somme de carréS).

• Dans le cas de deux variables : il y a un problème de codage avec le an 0 en fin de ligne. Je dirai juste "a non nul " au début, puis si a est nul et c non nul, on échange x et y et on fait la même chose. Si a et c sont tous deux nuls etc…

• Cas général : variAbles

• Je me demande s’il y a un moyen d’éviter les doubles indices : soit commencer par un exemple numérique, pour montrer comment le procédé marche et embrayer sur le cas général exprimé avec les indices.

• Dans les remarques finales, faire un lien à loi d'inertie de Sylvester quand tu parles de la décomposition des formes en sommes de carrés.

Cordialement, --Cgolds (d) 19 janvier 2013 à 16:09 (CET)

N=8 ?

Dans la démonstration de l'existence d'une réduction de Gauss, pour quelle(s) raison(s) l'itération sur N se réduit subitement à la valeur 8 et cela à plusieurs endroits ? Merci pour les réponses. --Lvdllvdl (discuter) 11 janvier 2019 à 16 h 23

Ce n'était pas un 8 mais un $s$ (en indice c'est vrai qu'on peine à distinguer), issu de l'intention annoncée (mais inutile et incorrectement rédigée) d'effectuer la récurrence non pas sur n mais sur le « nombre de variables qui $x_{k}$ figurent réellement dans cette expression de q ». C'est réparé. Anne, 18 h