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En algèbre, la réduction de Gauss est un algorithme qui permet d'écrire toute forme quadratique comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes (une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables ; une forme linéaire est une combinaison linéaire de ces variables).

La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Sommaire

Cas de deux variablesModifier

Soit   un tel polynôme, supposé non identiquement nul. Si le coefficient a est non nul, on procède par complétion du carré :

 

Si a est nul et c non nul, on procède de même avec c. Si a et c sont tous deux nuls, on remarque que  

Cas généralModifier

On va montrer par récurrence forte sur n que pour toute forme quadratique q à n variables, il existe n combinaisons linéaires li des variables (autrement dit n formes linéaires) linéairement indépendantes et n nombres ci tels que

 .

Si n = 0, il n'y a rien à démontrer.

Supposons maintenant n > 0. Si q est nulle, ci = 0 convient, avec (par exemple) li(x) = xi. Supposons donc q non nulle et écrivons-la sous la forme :

 .

On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients   des termes carrés est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que  . On écrit séparément les termes où   intervient :

 .

On écrit ces derniers sous forme canonique :

 .

On obtient ainsi que

 ,

  •   et   ;
  •   est un polynôme homogène de degré 2 par rapport à  .

L'hypothèse de récurrence nous dit que

 ,

  sont des combinaisons linéaires de  , indépendantes. La coordonnée   n'apparaît pas dans leur écriture, et apparaît dans celle de  . Il en résulte que les formes   sont encore indépendantes, d'où le résultat.

2) Tous les   sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers i et j distincts tels que  . Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de  . On écrit  . La somme des termes en   ou   s'écrit aussi  . On voit que   est de la forme  ,  ne dépend que de  . On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à  , et en remarquant que  . L'indépendance des formes   se montre comme dans le premier cas.

ExemplesModifier

  • Soit Alors  .
  • Autre exemple :  On a alors 

RemarquesModifier

  • Ces calculs sont valables pour tout corps de caractéristique différente de 2.
  • Le nombre de carrés est égal au rang de la forme quadratique étudiée.
  • Si les coefficients sont réels, le nombre de carrés positifs, comme de carrés négatifs, ne dépend pas de la méthode employée (loi d'inertie de Sylvester).

RéférenceModifier

Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], vol. 2, Nathan, 1990, 13.4.8

Article connexeModifier