Discussion:P-groupe

Propriétés

J'avais toujours vu, le centre d'un p-groupe non trivial est non trivial, et pas celle que l'on peut lire actuellement (mais bon c'est un détail). Par contre pour le truc d'un groupe d'ordre p^2 ce n'est pas que la preuve soit fausse mais elle parle de phi et dit que c'est un morphisme. C'est vrai mais elle ne montre pas que phi est un morphisme or c'est là toute la proposition. Donc en fait l'élagage à été fait mais pas le vrai corps de la preuve. Et malheureusement je suis atteint de flemmingite aigüe. Noky (d) 19 février 2008 à 08:32 (CET)

Que des bonnes remarques. Pour certains les sous-groupes triviaux sont soit réduit à l'élément neutre soit le groupe entier. Est-ce un bon argument ou cela risque-t-il plus de troubler qu'autre chose ? Un bon lien vers automorphisme intérieur permettrait de fournir une solution économique. Manifestement, le travail de lien est bien mal fait (et je crains être le coupable). On parle de stabilisateur, mais le mot centralisateur est utilisé dans WP. Il faudrait choisir son camp. Mon idée est que l'article doit avoir un nom souvent utilisé et indiquer les autres que l'on peut trouver dans la littérature.

Je te laisse la main et reste à ta disposition pour une opinion complémentaire. Jean-Luc W (d) 19 février 2008 à 09:41 (CET)

Erreurs

Cet article se contredit à plusieurs occasions.

1. L'en-tête définit un p-groupe comme un groupe fini, pendant que la section "définitions" n'exige que que chaque élément soit d'ordre fini (par la condition plus forte que son ordre soit puissance de p); c'est ce dernier qui est le bon.
2. La section "définitions" dit que dans l'ordre pⁿ, l'exposant n doit être strictement positif, mais il faut admettre n=0 pour ne pas exclure l'élément neutre.
3. De même, il faut admettre le groupe trivial comme p-groupe (donc enlever le deuxième "strictement" aussi) pour que tout sous-groupe ou quotient soit de nouveau un p-groupe.
4. La deuxième "Propriété" coincide avec la définition

D'ailleurs, je crois que la dernière propriété est fausse, et a besoin d'une condition de finitude. Le groupe de matrices infinies unitriangulares supérieures à coefficiens dans Z/pZ et à support (hors diagonal) fini me semble un exemple d'un p-groupe non nilpotent. --Marc van Leeuwen (d) 13 octobre 2008 à 15:17 (CEST)

Hum, en voilà des bonnes remarques. Je m'en vais chercher quelques sources et vérifier tout cela. Jean-Luc W (d) 13 octobre 2008 à 16:47 (CEST)

1. Je ne connaissais que la définition finie.
2. Je susis d'accord et le change tout de suite.
3. ,
4. Je pense que celui qui a écrit ça avait en tête la définition l'ordre du groupe est une puissance de p. Noky (d) 13 octobre 2008 à 17:25 (CEST)

Remarque : Pour J-P Serre, un groupe d'ordre non fini dont tous les éléments sont d'ordre un multiple de p s'appelle un pro-p-groupe.

Absolument pas, même en rectifiant ton probable lapsus ("multiple" pour "puissance"). La définition d'un pro-p-groupe (y compris dans le livre de Serre) fait du groupe additif de l'anneau des entiers p-adiques un pro-p-groupe, qui est pourtant sans torsion (puisque l'anneau est intègre et de caractéristique nulle). Anne Bauval (d) 17 novembre 2010 à 21:15, précisé le 19 novembre 2010 à 09:44

Il laisse de terme p-groupe pour l'ordre fini. Cette approche me semble sage (cf Jean-Pierre Serre Cohomologie Galoisienne (ISBN 3540580026)) p 5. Qui considère un pro-p-groupe comme un p-groupe ? Jean-Luc W (d) 13 octobre 2008 à 19:04 (CEST)

PS Le choix de la finitude est unanime en première page de Google : ref 1, ref2, ref3...

Serre ne dit pas qu'un p-groupe est fini

Cette référence à la p. 5 de "Cohomologie Galoisienne" de Serre pour définir les p-groupes n'est pas adaptée au niveau de l'article (Serre ne s'y donne même pas la peine de définir les p-groupes) et ne source pas ce qu'il prétend, ni ce que prétend Jean-Luc W ci-dessus (même en remplaçant son "multiple" par "puissance") : voyez vous-même. Un GoogleSearch ou des polycops eux-mêmes non sourcés (fournis ci-dessus et en liens externes dans l'article) ne suffisent pas, il faut des sources plus sérieuses que celles qui, de proche en proche, copient Wikipédia. Il est vrai que par commodité, certains manuels (et non des moindres : Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] (édition anglaise de 1978) p. 2, Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions] (1996) p. 9) traitant des théorèmes de Sylow font tout de même ce choix, mais juste par abus dans leur contexte, pour éviter de répéter sans arrêt p-groupe fini, et en tous cas, pas tous : Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, de Reversat et Bigonnet, Dunod, 2000, (ISBN 9782100052950), p. 51 donnent la définition que je connaissais : celle de en:p-group. Anne Bauval (d) 16 novembre 2010 à 21:17 puis ajout Lang+Perrin 17 novembre 2010 à 21:28

P.S. Serre dit parfois qu'un p-groupe est d'ordre une puissance de p, mais sous l'hypothèse qu'il est fini : p. 10 de ce cours, donc ça ne nous sert à rien. Anne Bauval (d) 16 novembre 2010 à 21:27 (CET)

Si je comprends bien, Serre définit un pro-p-groupe comme un groupe profini possédant certaines propriétés. Il ne dit donc pas que pro-p-groupe est synonyme de groupe dont tout élément a pour ordre une puissance du nombre premier p. Donc on ne peut pas l'alléguer pour affirmer que "p-groupe" ne signifie pas " groupe dont tout élément a pour ordre une puissance du nombre premier p ". [Edit : Comme le dit Anne, la référence à Serre n'est donc pas pertinente.]

J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 73, définit un p-groupe comme un groupe dont tout élément a pour ordre une puissance du nombre premier p. Á l'aide du théorème de Cauchy, il démontre qu'un groupe fini est un p-groupe si et seulement son ordre est une puissance de p. (Coroll. 4.3, p. 75.) P. 126, il définit un groupe p-primaire comme un p-groupe abélien et p. 314, théor. 10.13, il considère un certain "groupe p-primaire infini" (isomorphe au groupe multiplicatif des racines pⁿ-ièmes complexes de l'unité, n parcourant les naturels $\geq 0$). Donc, pour Rotman, il existe des p-groupes infinis.

Même définition d'un p-groupe dans J. Calais, Éléments de théorie des groupes, 1984, p. 295, et dans W.R. Scott, Group Theory, rééd. Dover, 1987, p. 91. Scott, p. 216, exemple 5, considère "an infinite p-group". J.S. Rose, A Course on Group Theory, rééd. Dover, 1994 (très orienté vers les groupes finis), p. 56, déf. 3.41, ne définit que les p-groupes finis; il dit toujours "finite p-group" (par exemple lemme 5.2, p. 88), sauf au chapitre 11, où tous les groupes sont supposés finis.

Mais patatras, Bourbaki, Algèbre, ch. I, éd. de 1970, § 6, n° 5, donne la définition 9 : "[p étant un nombre premier] On appelle p-groupe un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p."

Le livre de Scott date de 1964, celui de Rose de 1978, celui de Calais de 1984 et celui de Rotman de 1999 (car le tirage de 1999 a été corrigé). Donc trois de ces quatre livres sont plus récents que celui de Bourbaki. A priori, cela fait pencher la balance en faveur de la définition générale (groupes non forcément finis).

Je n'ai pas sous la main Lang ni Perrin, donc je préfère ne pas aborder moi-même la question de la terminologie dans l'article. En tout cas, la référence à J.P. Serre, Cohomologie galoisienne me semble déplacée.

Par parenthèse, la formulation "Tout p-groupe non-abélien possède un centre non trivial" me semble un peu bizarre. L'énoncé est vrai (si on suppose, comme dans l'article, qu'un p-groupe est fini), et il permet de retrouver facilement l'énoncé classique : "Tout p-groupe fini non trivial a un centre non trivial", mais pourquoi exclure les p-groupes abéliens [Edit : j'avais d'abord écrit une absurdité], alors que la non-abélianité ne joue aucun rôle dans la démonstration ? (C'est la non-trivialité qui joue un rôle.) Marvoir (d) 17 novembre 2010 à 10:16 (CET)

A la page 45, de son livre The theory of groups, Marshall Hall, Jr. donne la définition suivante :

« A group P is a p-group if every element of P except the identity has order a power of a prime p ».

Cordialement. --Actorstudio (d) 17 novembre 2010 à 20:38 (CET)

Il a vraiment cru devoir préciser "except the identity" ? L'identité est d'ordre 1 et 1 est bien une puissance de p... Marvoir (d) 18 novembre 2010 à 18:31 (CET)

Voilà, j'ai changé la définition et remanié des démonstrations en conséquence. Open to debate. Marvoir (d) 18 novembre 2010 à 19:26 (CET)

Je suis d'accord mais je n'osais pas (à cause de Bourbaki, Perrin et Lang). Merci. Anne Bauval (d) 20 novembre 2010 à 10:29 (CET)

Tout groupe d'ordre p² est abélien

• Ce n'est pas vraiment une propriété générale des p-groupes, comme les autres de la liste, donc ça fait un peu bizarre de la trouver là. Mais bon, si on tient à la conserver, on ne va pas non plus lui faire l'honneur d'un paragraphe spécial ... à moins qu'il y ait d'autres anecdotes à placer dans un tel paragraphe ?
• Il y a une petite lacune dans la preuve actuelle : il n'est pas expliqué pourquoi φ est un morphisme. L'argument serait que [h,k] appartient à H∩K, donc est neutre. Mais si on dit ça, la suite est inutile : on a terminé de prouver que G est abélien (puisqu'on a prouvé que h et k commutent si h est non neutre et k n'appartient pas au sous-groupe engendré par h, et que dans les autres cas c'est immédiat). Alors si on tient à garder la preuve entière il faut préciser l'énoncé en "tout groupe d'ordre p² est soit cyclique, soit produit de deux cycliques d'ordre p".
• Si on veut montrer seulement l'énoncé actuel (sachant que la structure des groupes abéliens finis est complètement élucidée dans un autre article), il y a une preuve plus rapide : soit Z le centre, alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p), donc G est engendré par Z union un singleton, donc G est abélien.

Anne Bauval (d) 20 novembre 2010 à 10:29 (CET)

Il me semble que tu as raison. Il y a un certain temps, la preuve de ce théorème donnée à Wikiversité m'a semblé incomplète et je l'ai complétée, d'une façon un peu lourde. Comme tu le notes, il est inutile de détailler la structure du groupe. Et comme tu le notes aussi, cet énoncé est plutôt un exercice qu'un théorème méritant les honneurs de l'encyclopédie. Mais bon. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 10:54 (CET)

Pour la bibliographie

Il y a un ouvrage massif sur les p-groupes finis :

Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order (2 volumes parus sur 3, tous deux en 2008, si je comprends bien). Voir description du premier volume ici. J'ai jeté un rapide coup d'œil au premier volume et j'ai l'impression que cet ouvrage amène le lecteur au niveau de la recherche dans la branche, mais je suis loin d'approcher ce niveau et je ne voudrais pas me donner des airs en l'ajoutant d'office à la bibliographie. Il me semble avoir lu quelque part qu'il ne faut pas mettre dans la bibliographie d'un article un livre qu'on n'a pas lu soi-même... C'est peut-être excessivement scrupuleux. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 11:24 (CET)

Il me semble avoir lu quelque part qu'il ne faut pas feindre d'avoir utilisé comme source quelque chose qu'on n'a pas lu. Mais si on présente clairement ça dans "Voir aussi" comme un ouvrage pour aller plus loin, je ne vois vraiment pas où serait le problème. Je suis encore moins spécialiste que toi, mais j'ai l'impression que ta trouvaille est un incontournable sur ce sujet, donc que non seulement on peut mais on doit le mentionner. Ça peut être utile à des lecteurs. Dommage que sur Google Livres il ne soit consultable que par "aperçus". Anne Bauval (d) 20 novembre 2010 à 12:34 (CET)

Tu m'as convaincu. J'ai ajouté les deux volumes à la bibliographie. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 13:27 (CET)

Indice fini dans un p-groupe

Tiré de A. P. Dietzmann, A. Kurosch, A. I. Uzkow, “Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen”, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 3(45):1 (1938), 179–185 :

Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors c'est une puissance de p. En effet, si D est l'intersection des conjugués de H, l'ordre du p-groupe G/D est majoré par $[G:H]^{[G:N(H)]}\leq [G:H]^{[G:H]}<\infty$, donc est une puissance de p, donc [G:H] (qui le divise) aussi. Anne Bauval (d) 26 novembre 2010 à 01:16 (CET)

Si on met cela dans l'article, on pourra peut-être renvoyer à Cœur d'un sous-groupe. (Ici, D est le cœur de H.) Marvoir (d) 26 novembre 2010 à 12:09 (CET)