Discussion:Nombre définissable/Archives

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c'est quoi le omega? (T(omega))

Guigolum 5 juin 2007 à 11:16 (CEST)

Oméga de Chaitin Ekto - Plastor 5 juin 2007 à 13:05 (CEST)

Doutes

== On flirte dangereusement avec le paradoxe de Richard dans cet article. Déjà avec le titre : si on est capable de définir l'ensemble des nombres définissables, c'est forcément définissable dans un langage donné (celui de la théorie des ensembles, c'est + ou - dans l'article) relativement à un modèle donné : disons celui de la théorie des ensembles où "vit" les réels de l'article. Donc cette notion est tout à fait relative au langage. On a bien défini le réel du pardoxe de Richard par exemple, et il ne peut être définissable en ce sens. Quelles sont les sources ? Proz (d) 7 février 2008 à 20:11 (CET)

Je précise : a priori l'article suppose que l'on sait parfaitement ce que sont les réels, et que parmi ceux-ci on distingue ceux qui sont définissables en théorie des ensembles (on a une propriété qui les caractérise). Mais on définit alors par diagonalisation un réel qui n'est pas définissable dans la théorie des ensembles, cf. paradoxe de Richard, donc l'assertion "Il inclut tout réel qu'on est capable d'exprimer" est forcément fausse. Une façon de faire serait de dire que c'est une notion informelle, d'après en:definable number, Turing l'utilise dans son article (parce qu'il y a plus simple que la constante de Chaitin pour trouver des nombres non calculables, le problème de l'arrêt suffit !). Il faudrait aussi laisser tomber les histoires de corps, (il faudrait déjà que ce soit un ensemble). Ce serait bien quand même d'avoir une référence fiable (Delahaye d'après le schéma?, Borel d'après l'article cité ?) et de savoir ce qu'ils disent. Proz (d) 21 avril 2008 à 19:53 (CEST)

OK, voilà comment on s'en sort avec Richard. Si tu dis "x est un nombre non définissable compris entre 0 et 1", il n'y a aucun moyen de s'entendre pour savoir duquel on parle. Quand à la définition par diagonalisation d'un réel non définissable, elle nécessite d'avoir une définition explicite et de longueur finie d'une bijection entre N et l'ensemble des réels définissables. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 21 avril 2008 à 23:02 (CEST)

Je suis d'accord qu'il faut sortir de la théorie étudiée pour définir la bijection entre N et l'ensemble des réels définissables, mais c'est déjà le cas pour la notion même, et une fois une bijection avec N donnée (c'est quand même ça que veut dire dénombrable) le procédé diagonal définit un réel sans ambiguïté, la définition est bien explicite et finie. Il faut distinguer deux niveaux (la théorie que l'on étudie, la metathéorie où on l'étudie), et c'est quand on mélange les deux, ce qui me semble le cas, que l'on tombe sur des paradoxes. Je crois que le paradoxe de Richard montre qu'il ne peut y avoir de notion "absolue" de nombre définissable. c'est toujours dans un langage et relativement à un modèle (et la définition de l'article ne me parait pas claire du tout). Est-ce que tu as d'autres sources que l'article anglais ? Proz (d) 21 avril 2008 à 23:58 (CEST)

J'ignore effectivement quelles sont les sources de l'article anglais, je me suis contenté de reprendre les points les plus importants. J'ai des exemples d'utilisation de la notion, mais effectivement pas de source définissant. Hum, une question un peu personnelle : j'ai trouvé sur un forum un message d'un prof de maths de l'ENS qui semble connaître des détails importants sur la notion. Son e-mail est public, mais il ne m'a pas répondu. Est-ce que tu as un statut tel que tu as de bonnes chances qu'il te réponde à toi ? _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 22 avril 2008 à 18:42 (CEST)

Tu peux demander à Pierre de Lyon il est de l'ENS, féru d'informatique et il ne refusera pas de te répondre. La distinction entre théorie et métathéorie, la représentation d'une théorie dans une autre, c' est dans tous les bouquins de logique un peu approfondis. Ce qui est bizarre c'est que dans cet article la formule définissante est supposée être construite à partir de la théorie des ensembles. On aurait pu penser que c'était à partir d'une axiomatisation différente des +,x,< etc.. --Michel421 (d) 22 avril 2008 à 20:38 (CEST)

En attendant voici le message de celui qui refuse de me répondre (vous trouvez son e-mail dans le post) : http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/definable

J'y tire la définition que j'ai utilisé, et il introduit un autre concept, celui de construtibilité au sens de l'univers de Gödel. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 22 avril 2008 à 21:20 (CEST)

Intéressant - il dit que ce qui est définissable serait ce qui est constructible. Si c'est ça que l'article veut dire ça éclaircit déjà. Mais dans ce cas il devrait parler de l'hypothèse du continu ce qu'il ne fait pas.

La constructibilité au sens de Gödel, je la possède sous deux formes : Gödel The consistency of the continuum hypothesis et Krivine un chapitre de Théorie axiomatique des ensembles Gödel travaille en NBG et Krivine en ZFC mais c'est pareil à la terminologie près.--Michel421 (d) 22 avril 2008 à 22:03 (CEST)

Oops......Bzzt wrong. L'article dit que l'ensemble des nombres définissables est dénombrable. Cela ne peut donc pas coller avec ce que dit Madore, que l'on aie L=V ou non.--Michel421 (d) 22 avril 2008 à 22:22 (CEST)

Il dit « Obviously only countably many real numbers are definable ». Il ne contredit pas l'article. Il dit que c'est un concept lié. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 22 avril 2008 à 22:38 (CEST)

J'avais pensé aussi demander son avis à Pierre. Pour ton message : il s'agit d'un ancien élève de l'ens, qui y a été je crois préparateur, mais qui a dû la quitter (et on trouve sur le web des papiers mathématiques assez généralistes de lui très intéressants). Son post ne dit rien d'aussi précis qu'ici. Les définissables en termes d'ordinaux et les constructibles, se sont des notions bien connues de théorie des ensembles dues à Gödel, mais déjà assez avancées. Elles sont traitées dans Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] (il faut connaître un minimum de logique pour comprendre amha). Cela sert pour les preuves d'indépendance, comme il l'explique. Je ne vois pas trop comment y relier ce qui est dit ici. La notion d'élément définissable d'un modèle dans un langage donné, ou peut-être plutôt de sous-ensemble définissable (des réels, et des sous-ensembles des entiers ce n'est pas très loin) est fondamentale en logique (versant th. des ensembles, th. des modèles), mais c'est relatif à un modèle et à un langage (et il n'y a pas moyen d'"internaliser" cette notion, de tout traiter au même niveau théorème de Tarski).

Le fait que la seule source soit en: confirme mon impression reste que c'est employé informellement (comme le fait Turing), ou alors, en un sens précis, et pour un langage plus restreint que celui de la th. des ensembles (par ex. le problème de l'arrêt, et donc le réel non calculable qui va avec, est définissable au premier ordre dans le langage de l'arithmétique, et par une formule logiquement "assez simple"). Je peux me renseigner auprès de théoriciens des ensembles (mais pas ces jours-ci) pour en savoir plus (mais celui qui a repris l'article sur en:, qui est rédigé plus soigneusement, a l'air d'avoir de gros doutes, et il semble être un théoricien des ensembles sérieux).

Le dessin (qui n'est pas sur en:) fait référence à un livre de Delahaye : c'est vraiment ce dessin ? Quelqu'un l'a lu ? Proz (d) 22 avril 2008 à 22:36 (CEST)

Le dessin est de Utilisateur:Grumpfou. Je peux aussi essayer de contacter Delahaye, j'ai correspondu avec lui à une époque.

En fait, l'article d'Élise Janvresse et Thierry de la Rue done une définition pas très loin de la mienne, sauf pour un point : j'avais supposé que par langage usuel des maths, on entendait ZFC, alors que le passage d'un langage à l'autre semble très important, si je te comprend bien. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 22 avril 2008 à 23:07 (CEST)

Ce dessin a été placé sur Commons par Grumpfou ; il est sous licence GNU ce qui signifie que l'auteur renonce explicitement à ses droits et qu'il y a une trace écrite. Donc normalement le dessin n'est pas de Delahaye.--Michel421 (d) 22 avril 2008 à 23:17 (CEST)

J'ai fait une recherche dans l'article Janvresse - De la Rue, ils ne parlent pas de "corps" des nombres définissables. Incidemment, cela m'a fait me poser quelques questions à 100 balles, comme par exemple : si c'est un sous-corps dénombrable de R, comme R est le corps minimal contenant Q tel que toute partie majorée admette une borne supérieure, il s'ensuit qu'il existe des ensembles de réels définissables dont la borne supérieure dans R n'est pas définissable.--Michel421 (d) 22 avril 2008 à 23:37 (CEST)

euh ... peut-être faut-il lire ce que dit Delahaye (s'il en dit bien quelque chose) avant de l'interroger. En résumé : c'est apparemment une notion que les gens utilisent de façon plutôt informelle (c'est comme ça que je comprends le langage usuel des maths). On peut donner une définition formelle pour un langage donné relativement à un modèle de la théorie des ensembles (ou d'une théorie qui permet de définir les réels), mais alors on ne dit pas nombre définissable tout court, mais par ex. dans le langage de l'arithmétique du 1er ou du 2nd ordre. Quand on commence à parler du langage de la théorie des ensembles, il faut être particulièrement clair sur ce qu'on veut dire pour ne pas tomber dans les paradoxes. Ce qu'il y a à vérifier, c'est si la notion informelle est "sourçable" (autrement qu'en la constatant), et si quelqu'un a étudié une notion plus ou moins générale de "réel définissable". Je propose qu'en attendant d'en savoir plus, on laisse le bandeau, ce qui n'empêche pas de corriger (et pour la question à 100 balles la réponse est, dans le cas de "complet", dans l'article en: ). Proz (d) 23 avril 2008 à 01:20 (CEST)

Euh, pour le corps : une phrase de l'article d':en : « Assuming they form a set, the definable numbers form a field ». Ce n'est pas sourcé mais ça me semble évident : si a et b sont définissable, "a+b", "a-b", "a*b" et "a/b" si b<>0 sont des définitions simples. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 23 avril 2008 à 11:45 (CEST)

Comme aussi est simple la définition "le premier nombre entier non définissable en moins de vingt mots", laquelle définition fait 11 mots. OK pour +,-,x,:,<, log et quelques autres, et là on a les nombres calculables - ce que Turing appelle aussi V-définissables si j'ai bien compris son papier. --Michel421 (d) 23 avril 2008 à 12:31 (CEST)

Hmm non, autant pour moi, ce sont les suites qui sont V-definissables ; bref il faut savoir ce qui est admis dans cette formule φ(t) à une variable libre. Si on se limite à +,-,x,/,<, log, π, e, la constante d'Euler etc.. on a les nombres calculables. Ce sont ni + ni - que les nombres qui sont définissables à partir de ces opérations et constantes. Quant à savoir ce que sont les nombres "définissables" tout court ça semble être de la métaphysique. Il semble que ce soit antérieur à Turing, peut-être Poincaré, Richard...... au moment de leur controverse des fondements, et ça a été repris sans trop de réflexion.--Michel421 (d) 23 avril 2008 à 12:49 (CEST)

Dans son papier "On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem" 1936 Turing dit ceci:

It must be remembered that we have attached rather a special meaning to the phrase “U defines I”. The computable numbers do not include all (in the ordinary sense) definable numbers. Let P be a sequence whose n-th figure is 1 or 0 according as n is or is not satisfactory. It is an immediate consequence of the theorem of §8 that P is not computable. It is (so far as we know at present) possible that any assigned number of figures of P can be calculated, but not by a uniform process. When sufficiently many figures of P have been calculated, an essentially new method is necessary in order to obtain more figures.

Il donne donc un exemple d'une suite "définissable au sens ordinaire" mais ne donne pas une définition générale.--Michel421 (d) 23 avril 2008 à 15:51 (CEST)

Je n'arrive pas à trouver de source. Une chose est sûre : la définition telle qu'elle est dans l'article comporte la mention "un réel a pour lequel il existe une formule φ". Or en premier ordre les φ ne peuvent entrer dans le champ d'un quantificateur. Or les procédés de construction des ensembles sont des formules du premier ordre fournies par les axiomes de ZFC. N'étant pas du premier ordre cette définition ne peut aboutir à définir un objet de ZFC.--Michel421 (d) 24 avril 2008 à 19:44 (CEST)

Pas de souci pour la stabilité par opérations usuelles pour des notions "raisonnables" de nombre définissable. L'article sur en: est correct (on peut discuter la définition avec l'univers de von Neumann) , pourtant ils s'interrogent sur l'intérêt de la notion elle-même (travail inédit etc., tout ce qui est correct n'est pas à écrire).

Je contribue assez peu ces jours-ci (pas d'accès commode), mais avant de partir sur une notion de théorie des modèles d'élément définissable (avec paramètres ce qui est habituel, mais n'était pas ce que visait l'article, de plus ni le langage ni les paramètres ne sont supposés dénombrables), dès la première ligne (qui va comprendre ?), je m'interroge. D'ailleurs ce ne sont pas plus des nombres qu'autre chose. On pourrait tout aussi bien développer l'aspect informel (en trouvant un peu plus de ref. que seulement Turing). Proz (d) 26 avril 2008 à 00:34 (CEST)

S'il y a stabilité pour les opérations usuelles c'est qu'il y a bien un corps des nombres définissables. Il y avait des problèmes et tout d'un coup il n'y en a plus? Du côté anglais Trovatore n'a pas renoncé à son argument de la diagonalisation. Quant à l'intérêt de la notion, il existe, ça a l'air notoire et ça a une valeur encyclopédique ne serait-ce que parce qu'elle a joué un rôle dans la crise des fondements. La définition de la définissabilité par rapport à la théorie des modèles c'est la seule à peu près explicite que j'aie pu trouver, évidemment que tel que c'est c'est peu pédagogique et je pensais étoffer et mettre en forme tout ça mais si tu me dis que c'est pas ça alors il n'y a d'autre choix que de revenir à la forme précédente, mais avec un bandeau "à sourcer" au lieu d'un bandeau de pertinence. Qu'en disent Barraki et Epsilon ? --Michel421 (d) 26 avril 2008 à 09:53 (CEST)

Non, en fait c'est pas notoire, "nombre réel définissable" ça fait 3 occurrences Google. Mais j'ai authentifié que la définition est correcte (mais mal tournée au début). S'appliquant aux réels elle fait bizarre mais en fait c'est un cas d'une formule générale que j'avais depuis longtemps dans mes bouquins ; quant au théorème de Carnap il est numéroté 60 d.1....mais dans quel ouvrage? Manque de bol, sur l'aperçu de Google books la page qui donnait la référence n'était pas consultable en ligne là je me suis donc contenté de la référence Verley. Reste à trouver l'origine de l'affirmation que les nombres définissables forment un corps - --Michel421 (d) 27 avril 2008 à 18:53 (CEST)

Pour parler de corps le problème éventuel est que le support soit un ensemble (voir le théorème de Tarski). La définition n'est toujours pas claire et n'a rien d'authentifiée : soit on parle de "vérité" soit de démontrabilité (dans l'article sur en:, c'est clairement de vérité, là on basculerait vers la démontrabilité, pourquoi ?). Il me semble que l'introduction de constante, c'est pour parler d'extension d'une théorie par définition. Le problème reste entier : une définition précise de réel définissable conduit à ce que l'on peut forcément définir par diagonalisation un réel non définissable (le contraire, entre autres est toujours dit dans l'article), et il n'y a aucune source pour une telle définition précise de "réel définissable". Par ailleurs quelle est justement la définition de Carnap ? En quelle année d'ailleurs, avant la définition de la sémantique de Tarski ? Est-ce qu'il y a vraiment un "théorème de Carnap" (au sens usuel en math) ? Proz (d) 28 avril 2008 à 23:54 (CEST)

Définition du définissable

Suite à la discussion précédente j'ai reverté la totalité de l'article sauf le lien Janvresse - De la Rue qui avait le mérite de donner une référence et on repart sur de nouvelles bases.

J'ai commandé le bouquin de Borel. Introuvable sur Hachette, Dunod, Amazon, etc.. Il m'a fallu aller chercher une librairie d'antiquaire à Lyon et payer €100 + €5 de port. Il n'y a que moi pour balancer 105 euros dans une définition qui a le mérite de n'être pas précise, sous prétexte que les définitions précises ne marchent pas .--Michel421 (d) 10 mai 2008 à 19:31 (CEST)

Hypothèse de thm expliquant les difficultés ici rencontrées

Bonjour, je n'ai pour ma part aucune source, mais ne serait-on pas là en train de tourner autour d'un (méta) thm (qui a p.e. été démontré) du genre :

L'ensemble des réels définissables dans ZF, n'est pas définissable dans ZF ?

• Ce qui 1. nous rapprocherait du thm de Tarski et 2. nous éviterait de tomber dans le paradoxe de Richard.

• Avec pour la notion de "c est un réel définisable dans ZF" qqch comme :
  • " c est un réel, et
  • Il existe une formule F (à une unique variable libre) n'ayant comme symboles non logiques que = et l'appartenance telle que : ZF|- all x (F(x) <--> x=c) "

Rem : si un tel ensemble existait, il serait dénombrable. J'ai une question : est-ce que toute sous classe d'un ensemble (ici R) est forcément un ensemble (il ne me semble pas clair du tout que par ex le thm de remplacement le prouve) ??

Maintenant a t-on des sources sur un éventuel tel thm?

--Epsilon0 ε₀ 10 mai 2008 à 22:40 (CEST)

Bonjour. Ton definiens n'est pas du premier ordre il ne peut donc pas servir dans le schéma de séparation ou le schéma de remplacement pour déterminer un ensemble.

En ce qui concerne la 2ème question, toute sous-classe d'un ensemble est un ensemble. Mais là il ne s'agit pas d'une sous-classe au sens formel, il s'agit d'une partie (au sens intuitif) de l'univers, qui ne correspond à aucun ensemble [comme j'ai compris][ici voir Krivine] ce qui ne signifie pas forcément que le concept en question n'est pas formalisable, il l'est peut-être, par un procédé que nous ignorons.--Michel421 (d) 11 mai 2008 à 01:09 (CEST)

Pour des choses très analogues, allez voir l'analyse non standard, et l'"ensemble" des entiers standards, par exemple. Dfeldmann (d) 28 mai 2008 à 19:49 (CEST)

Contre-vérités dans l'article

Bonjour, L'article me semble faux. L'argument pour l'indénombrabilité de l'ensemble des réels définissables ne tient pas. Un réel r est définissable s'il existe une formule du premier ordre P telle que P(r) et pour tout x<>r, non(P(x)). La diagonale construite dans l'article ne donne pas cette formule ! Une référence possible est La face cachée des nombres --Grob (d) 1 février 2009 à 11:51 (CET)

La question est : dans quel langage ? Sinon ton argument est correct une fois que le langage est bien défini. Je ne crois pas que l'article dise vraiment que l'ensemble des réels définissables n'est pas dénombrable, mais ça peut paraître ambigu et c'est à corriger. Proz (d) 1 février 2009 à 11:58 (CET)

On comprends que le nombre de réels définissables n'est pas dénombrable. Mais la définition de Borel est très souple, et il me semble que - au sens de Borel - on a bel et bien défini, par l'argument diagonal, un nombre définissable dans la démonstration, qui me convainc si on reste à la définition de Borel. A noter que Grob n'utilise pas la définition de Borel dans sa remarque, donc la discussion semble en fait porter sur la définition. En fait il faudrait surtout une source pour ce passage, pour savoir dans quel contexte on est. --Jean-Christophe BENOIST (d) 1 février 2009 à 12:33 (CET)

On est bien au paragraphe "Problèmes soulevés par le concept de définissabilité en théorie des ensembles" ? Moi je comprends que l'on ne peut pas définir l'ensemble des réels définissables et donc pas parler de cardinal, la contradiction porte sur : "s'il existe un ensemble ...". Sinon d'accord pour la source (mais c'est une interprétation du paradoxe de Richard), et la contextualisation (raison de ma légère modification sur l'article, à la suite de la remarque de Grob). Ce serait intéressant de savoir ce qu'en dit Borel (je n'ai pas lu le bouquin que Michel421 s'est procuré). Proz (d) 1 février 2009 à 13:16 (CET)

L'idée que toute propriété peut définir un sous-ensemble d'un ensemble est tellement bien ancrée que Grob et Jean-Christophe ont cru voir « les réels définissables sont en infinité non dénombrable » au lieu de « il n'existe pas d'ensemble des réels définissables » ; je rajoute donc quelque chose à la fin de la démonstration. Pour Grob, je signalerais que la phrase « il existe une formule du premier ordre P telle que P(r) et pour tout x≠r, non(P(x)) » n'est pas elle-même une formule du premier ordre, et ne peut donc pas servir à construire un sous-ensemble de R.

En ce qui concerne Borel, il s'intéresse peu aux aspects logiques, mais surtout aux problèmes que ces nombres inaccessibles posent du côté des probabilités, de la géométrie, etc... Il explore les structures de R, « l'homogénéité du continu » vs « l'hétérogénéité du dénombrable », bref, beaucoup de choses intéressantes mais assez difficiles à synthétiser dans un article comme celui-ci.--Michel421 (d) 1 février 2009 à 21:44 (CET)

OK, vu. Effectivement, j'avais lu le paragraphe sous l'angle de la cardinalité, influencé par la présentation de Grob, et aussi par la première phrase du paragraphe qui commence par il paraît naturel de penser que les nombres réels définissables sont en infinité seulement dénombrable ce qui attire l'attention sur un point qui n'est en fait qu'un élément de la démonstration. Est-ce qu'il ne faudrait pas mieux, pour rendre ce paragraphe tout à fait clair, commencer par Considérer qu'il y a deux catégories de nombres réels, à savoir ceux qui sont définissables et ceux qui ne le sont pas, conduit vite à des contradictions ? Je vais modifier l'article dans ce sens pour bien montrer ce que je veux dire, n'hésitez pas à réverter s'il y a le moindre problème --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 février 2009 à 10:14 (CET)

Le paragraphe est tout-à-fait OK maintenant. Il reste que c'est assez inconfortable comme sujet. --Michel421 (d) 2 février 2009 à 11:25 (CET)

§ sur les pb de définissabilité en théorie des ensembles : TI ?

Je rêve ou tu as fait un TI pour conclure que les personnes comme Elise Janvresse ont tout faux ? _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 2 février 2009 à 18:26 (CET)

Ah ! Peux-tu en profiter pour ajouter des sources, que tu sembles connaitre, à ce paragraphe ? Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 février 2009 à 19:17 (CET)

Non. Je peux difficilement sourcer un paragraphe qui est à mon avis complètement faux. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 2 février 2009 à 19:41 (CET)

Cantor, Richard, c'est pas du TI. La source Janvresse figure dans l'article. Le but de l'article Janvresse est autre : montrer un nombre qu' un programme informatique ne peut approximer que par valeurs inférieures et non par valeurs supérieures. Et puis il y a une digression sur les nombres définissables. Janvresse dit que ce sont les nombres pour lesquels dans les mathématiques usuelles on peut trouver une propriété qui n'est vérifiée que par eux. Tout dépend de ce qu'on entend par mathématiques usuelles. Si c'est le langage de la théorie des ensembles et l'analyse réelle qui est bâtie dessus, eh bien la notion de nombre définissable mène à une contradiction comme vu au début du siècle précédent : Cantor, Richard etc... D'autre part, Janvresse cite comme source Borel, mais Borel - qui évidemment connaissait ce problème pour avoir participé à ces controverses - ne donne pas cette définition. Son but est d'explorer l'ensemble - et le corps, la topologie, etc... des nombres réels, et (il le dit explicitement) tester la théorie cantorienne (il dit "zermelienne"). Si le paragraphe est faux, libre à toi de le reverter à condition (car on n'a encore aucune source disant que Cantor s'est planté), de préciser dans quel langage c'est, avec des références (ce ne peut être la théorie des ensembles) --Michel421 (d) 2 février 2009 à 20:57 (CET)

Michel, tu me demandes de prouver que Cantor a faux alors qu'on est plusieurs à trouver que ton utilisation de Cantor est un TI.

En fait, tu te permets de dire que cet ensemble n'existe pas, à partir du paradoxe de Richard. Poincaré nous en proposait pourtant une solution en éclaircissant un point de définition du nombre définissable (pas vraiment une modification). Je sais que Russel contestait cette solution, mais je ne pense pas que cela te donne le droit de trancher en disant que la définition de Janvresse mène à une contradiction. Ou de supprimer l'image inspirée du livre de Delahaye parce que tu penses qu'il se trompe. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 3 février 2009 à 12:05 (CET)

Soyons clair : existe-t-il une source qui utilise l'argument diagonal pour montrer que le concept d'ensemble des nombres définissables mène à des problèmes ? Barraki semble dire que cette utilisation de l'argument diagonal est un TI (pas l'argument diagonal lui-même, bien sûr). Par exemple, Poincaré (qui est cité en source dans ce passage) utilise-t-il de cette manière l'argument diagonal ? Parmi la liste des sources, laquelle effectue ce raisonnement ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 3 février 2009 à 13:08 (CET)

Toutes. Et toutes apportent une "solution". Pour Richard et Poincaré, en page 48 du document

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/LES_MATHEMATIQUES_ET_LA_LOGIQUE.pdf, voici quelle est la "vraie solution" :

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au § VII ; E est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de l'ensemble E lui-même. Or, nous avons défini N, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l'ensemble E. Et voilà pourquoi N ne fait pas partie de E.

autrement dit Poincaré à la suite de Richard conteste l'argument diagonal - c'est bien ça le principe de l'argument diagonal.

Le mainstream POV n'est pas celui-ci ; il consiste à dire que le paradoxe disparait si le méta-langage est codé dans le langage-objet - voir l'article Paradoxe de Richard. Il faut donc qu'on nous explique quel est le langage-objet. Et on verra si ces nombres définissables sont vraiment incalculables - --Michel421 (d) 3 février 2009 à 22:31 (CET)

En effet, Cantor ne parle pas de nombre définissable, et ni Richard, ni Poincaré n'interprètent pas le paradoxe de Richard de la façon indiquée dans l'article (ce n'est pas exactement l'argument diagonal qu'ils mettent en cause, mais un certain type de définition, les définitions "imprédicatives", qu'en gros on accepte en théorie des ensembles). Le fait qu'il n'y ait pas d'ensemble des réels définissables "dans l'absolu", ne remet pas du tout en cause ni Borel (qui n'a pas l'air de formaliser), ni l'article de Janvresse (qui ne donne pas de vraie définition de nombre définissable, donc on voit mal comment ça pourrait aboutir à une contradiction !, et utilise, pour une remarque effectivement secondaire, une notion clairement informelle, mais qui pourrait se formaliser, très probablement dans l'arithmétique, pas besoin d'aller chercher très loin). Pour éviter les débats, et les mauvaises interprétations, il faudrait préciser qu'il n'y a un problème que si l'on veut une notion "absolue" de nombre définissable (et donc l'article ne devrait pas exister :)). Mais la définissabilité (avec une définition précise !) c'est utile et courant en logique et en théorie des ensembles. Simplement on est dans un modèle donné et pour un langage donné. Par exemple Gödel, pour sa preuve de cohérence relative de l'hypothèse du continu et de l'axiome du choix, introduit la notion d'ensemble constructible, qui se définit de façon itérative à partir d'une notion de sous-ensemble définissable (avec paramètres) relativisée à un ensemble. Et la preuve du théorème d'incomplétude, on peut aussi considérer que ça utilise aussi de la définissabilité (dans le langage de l'arithmétique). Mais c'est clairement hors sujet. C'est tout le problème de l'article, dont le sujet ne peut être que mal défini (d'après le paradoxe de Richard), et qui n'a que des sources très indirectes, à part (peut-être) le livre de Borel. Proz (d) 4 février 2009 à 00:10 (CET)

article dont le sujet ne peut être que mal défini : Le sujet de l'article est "nombre définissable" pas "l'ensemble des nombres définissables". Les problèmes dont il est question ici commencent à venir avec la seconde notion, mais il me semble que on peut tout de même parler de la première. Certes, définir un nombre définissable implique - implicitement - la notion de leur ensemble, mais justement il semble que l'on aie pas le droit de suivre cette pente, et il est bon qu'il y aie un paragraphe à ce sujet dans l'article. Dans la liste des choses "dont on peut parler" dans l'article, le lien avec la calculabilité n'est pas développé dans l'article et le mériterait. --Jean-Christophe BENOIST (d) 4 février 2009 à 11:03 (CET)

Le lien avec la calculabilité, c'est qu'il y aurait des nombres "définissables et pas calculables" et pour Borel, pour autant que je connaisse jusqu'à maintenant, il n'y a pas de différence (mais il est très possible que quelque chose m'ait échappé). Si "définissable" veut dire "dans l'absolu", l'article "ne devrait pas exister"...... bon, si on le met en PàS il a toutes les chances d'être conservé malgré que "nombre réel définissable" ne fasse à tout casser que 10 occurrences Google - parce qu'il y a une source qui nous dit que ça existe "dans le langage usuel des mathématiques", ce que 99,99% des wikipédiens vont traduire par "dans l'absolu". Richard, il y a des sources mais si le pb Richard n'a été utilisé qu'au "second degré" pour mettre en pointe le caractère imprédicatif de la théorie des ensembles et non pour réfuter la notion de nombre définissable per se, on peut comprendre qu' il ne faut effectivement pas parler de Richard (mais je ne sais pas trop ce qu'en dit Russell, parce que quand j'appuie sur le lien je n'ai pas l'accès j'obtiens "we're archiving it" ou qq chose du genre).

Si maintenant "dans le langage usuel des mathématiques" veut dire "dans le langage de l'arithmétique du premier ordre" (ce qu'il faut quand même deviner), alors est-ce que (par exemple) oméga de Chaitin, qui n'est pas calculable, est définissable en arithmétique du premier ordre ? --Miche l421 (d) 4 février 2009 à 18:55 (CET)

J'aimerais bien le savoir ! et ce serait un élément intéressant à mettre dans l'article. En revanche, il est - a priori - définissable au sens de Borel, puisque des mathématiciens différents peuvent étudier ses propriétés et aboutir aux mêmes conclusions. Que veux-tu dire par pour Borel, il n'y a pas de différence ? Entre quoi et quoi ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 4 février 2009 à 19:06 (CET)

Pardi, entre définissable et calculable. Maintenant il n'y a à ma connaissance aucune source qui nous dise que oméga de Chaitin est définissable en arithmétique du premier ordre, (ou du 2nd ordre) on ne peut donc pas le mettre dans l'article. --Michel421 (d) 4 février 2009 à 19:31 (CET)

Cela dit, Borel ne connaissait pas le nombre Oméga; peut-être n'aurait-il pas été du même avis. Mais il y a-t-il une source qui dise que le nombre Oméga est définissable au sens de Borel ? Cela me semble évident, mais dans ce domaine il faut se méfier des évidences..--Jean-Christophe BENOIST (d) 4 février 2009 à 20:20 (CET)

la probabilité qu’un programme informatique généré aléatoirement à partir d’un modèle de calcul ou d’un langage de programmation donné s’arrêtera tu crois que c'est une définition sur laquelle deux mathématiciens vont obligatoirement s'accorder ? Là non plus je n'ai pas de source. --Michel421 (d) 4 février 2009 à 21:27 (CET)

Euh si en fait, il y a une source : La face cachée des nombres, paragraphe "définissable mais pas calculable". Petit paragraphe en perspective, donc. --Jean-Christophe BENOIST (d) 4 février 2009 à 21:52 (CET)

Ben non, là c'est ceux pour lesquels on peut écrire dans le langage usuel des mathématiques une propriété qui n'est vérifiée que par eux . Ce n'est pas la définition de Borel. Mais si tu veux écrire le paragraphe, libre à toi. --Michel421 (d) 4 février 2009 à 22:19 (CET)

Pas clair. Je cite : La notion de nombre définissable a été développée par Emile Borel dans son dernier livre « Les nombres inaccessibles »[1]. Le nombre ℓ est un exemple de nombre définissable, mais pas calculable. Il en existe bien d’autres ; le plus célèbre d’entre eux est la constante $\Omega$ de Chaitin. Elle fait référence à Borel juste à côté. De plus, je pense pouvoir retrouver une source de cela également chez Delahaye. Je ne veux pas mettre cette info à tout prix, mais si elle est pertinente, ce serait dommage de ne pas la mentionner dans cet article. --Jean-Christophe BENOIST (d) 4 février 2009 à 22:29 (CET)

Qu'est-ce qui n'est pas clair ? Toutefois, ℓ fait partie du club très fermé des nombres définissables, c’est-à-dire ceux pour lesquels on peut énoncer dans le langage des mathématiques usuelles une propriété qui n’est vérifiée que par eux. Ils ne sont pas si nombreux : puisqu’il n’y a qu’une quantité dénombrable de propriétés possibles (elles doivent être exprimées par une suite finie de symboles), il n’en existe qu’une quantité dénombrable. Aussi, la grande majorité des réels ne sont pas définissables. La notion de nombre définissable a été développée par Emile Borel, etc...

Mais la définition de Borel n'est pas "ceux pour lesquels on peut énoncer dans le langage des mathématiques usuelles une propriété qui n’est vérifiée que par eux".

En ce qui concerne Delahaye, je suppose que la source est Information complexité et hasard, Paris: Hermès 1999, (ISBN 2-7462-0026-0) – et ce dessin qui avait figuré un temps dans l'article. Vois quand même le début de cette PDD. --Michel421 (d) 5 février 2009 à 00:04 (CET)

Personne ne prétend que le langage de l'arithmétique du premier ordre est le langage usuel des maths (mais ça en fait partie). Je précise que définissable dans le langage de l'arithmétique se dit pour un sous-ensemble de N (ou de N^k), défini comme le domaine de validité d'une formule du langage, mais de là on passe à une fonction de N dans N (graphe) ou un réel. Pour une constante de Chaitin (parce qu'effectivement la définition dépend de beaucoup de choses, mais qu'il est posible de fixer), vous avez la réponse dans en:Chaitin's_constant (mais ce n'est pas dit comme ça). C'est aussi simple de prendre le problème de l'arrêt (une suite de 0 ou de 1 donc un réel si on veut), et il y a Turing comme référence (qui je crois parle aussi de nombre définissable, mais ça reste informel). Le minimum est de ne pas faire croire la notion est bien définie, mais à chaque fois que l'on parle de nombre définissable (c'est-à-dire pas très souvent, j'ai l'impression), ce ne serait probablement pas bien compliqué d'être beaucoup plus précis. Proz (d) 5 février 2009 à 00:38 (CET)

PS. A propos de l'échange plus récent : vous êtes en train de disséquer une simple remarque dans un article de semi-vulgarisation. Ce ne sont pas des définitions au sens mathématique, ce sont des façon différentes de dire, mais c'est la même idée derrière à mon avis. Proz (d) 5 février 2009 à 00:49 (CET)

Je suis d'accord avec Proz. Au minimum, "ceux pour lesquels on peut énoncer dans le langage des mathématiques usuelles une propriété qui n’est vérifiée que par eux" => définissable au sens de Borel. La réciproque est peut-être également vraie, mais il n'y a même pas besoin de cette réciproque pour considérer que le nombre Oméga est définissable au sens de Borel (ce qui semble par ailleurs évident). Je n'ai rien trouvé de probant dans "Information, Complexité et Hasard"; en revanche il me semble bien avoir lu des phrases explicites dans un des bouquin de Delahaye chez Belin. A suivre.. --Jean-Christophe BENOIST (d) 5 février 2009 à 09:49 (CET)

Vérité au-delà de la Manche, contre-vérité en deçà ?

Alors concrètement, dire qu'on ne peut définir l'ensemble des réels définissables est du TI, ou pas ? Si c'est du TI je veux bien supprimer le paragraphe en question. Le piquant de l'affaire est que l'article en:definable real number est affublé d'un bandeau TI pour la raison exactement opposée. Voici ce qu'en dit un intervenant qui semble maîtriser ce sujet :

« And this passage above doesn't even make sense. What does it mean to prove in ZFC that φ(a) is true? We don't even have a definition for a, in advance; that's what φ is supposed to be giving us. It does make sense to talk about proving that there exists a unique real number that makes φ true -- but now we don't have a around anymore. We can add it back in by requiring, in addition, that φ(a) really be true, semantically, i.e. in the en:Von Neumann universe V. But now what do we need the uniqueness proof in ZFC for? Isn't it enough that φ have a unique real solution? No, the whole thing is just horribly muddled; needs major surgery.» --Trovatore 04:24, 19 July 2005 (UTC)

Tu peux toujours lui envoyer nos sources... --Michel421 (d) 5 février 2009 à 19:25 (CET)

Proposition de renommage

En fait, Borel ne définit pas les nombres définissables mais les nombres définis = nombres accessibles ; c'est en réalité autre chose. Voici le texte exact du passage où il donne la définition en la page 21 :

« Ces nombres absolument inaccessibles jouent cependant un rôle important en mathématiques ; nous essaierons, dans les Chapitres qui suivent, de préciser ce rôle, tout en ne négligeant pas de signaler les difficultés qui sont une conséquence de l'inaccessibilité, c'est-à-dire du fait qu'aucun de ces nombres ne peut être défini avec précision, de telle manière que des mathématiciens qui en parlent soient assurés qu'ils parlent d'un même et unique nombre. C'est toujours à ce critère positif qu'il faut revenir lorsque l'on envisage un être mathématique. »

En conséquence de quoi, je propose de changer le titre de cet article en Nombre défini ou Nombre réel défini ou Nombre accessible.--Michel421 (d) 8 février 2009 à 12:48 (CET)

Si je comprends bien, il s'agirait alors d'un article uniquement fondé sur l'ouvrage et les travaux de Borel ? De plus "en direct" à partir d'une source primaire (le livre de Borel) sans passer par une source secondaire ? Ces deux points, si j'ai bien compris, me perturbent. De plus, quid d'un article sur la définissabilité des nombres (en général, incluant, mais ne se limitant pas à Borel), concept souvent utilisé par Delahaye et d'autres sources (sans toutefois que ces derniers le définissent précisément). Je n'ai pas eu le temps de relire Delahaye dans ce sens, mais il va falloir que je le fasse. --Jean-Christophe BENOIST (d) 8 février 2009 à 20:14 (CET)

Non, le fait de renommer ne signifie pas qu'on se limite à Borel. On peut parler de beaucoup de questions relatives aux définitions, les formes des définitions, l'arithmétique du premier ordre, Tarski etc.... Et "défini" c'est plus clair et moins problématique que "nombre définissable", expression qui paraît en fin de compte n'avoir pas grand sens. --Michel421 (d) 8 février 2009 à 21:36 (CET)

Mais qui parle de "nombre défini", ou "nombre accessible" à part Borel ? Je vois "nombre définissable" chez Delahaye, Janvresse etc.. Est-ce qu'il y a des interwikis sur "Nombre défini" ? Quelle source secondaire en parle ? Cela me semble une notion sortie de nulle part; pardon : sortie de Borel (ce qui est très respectable) : pourquoi pas en faire un article séparé et uniquement sur Borel (s'il existe des sources secondaires), mais pas - a priori - en remplacement de "nombre définissable". Mais je ne demande qu'à être convaincu. --Jean-Christophe BENOIST (d) 8 février 2009 à 22:03 (CET)

"Definable real number" 278 occurrences Google y compris WP (et il y a un bandeau TI sur l'article anglophone) ; "Defined real number" 1100 occurrences Google. Je ne cherche à convaincre personne. Si comme tu le dis tu ne demandes qu'à être convaincu, il faut que tu discutes avec en:User:Trovatore et que tu l'informes que ce concept a un sens et que tui lui donnes les sources - et tu verras ce qu'il répondra.--Michel421 (d) 8 février 2009 à 23:57 (CET)

Je préfèrerais informer Delahaye ou Janvresse que le concept de nombre définissable n'a pas de sens, leur donner des sources, et voir ce qu'ils me répondent ! Cela dit, je viens de relire dans les transports "Complexités" de Delahaye, et ce dernier utilise indifféremment "nombre défini" ou "nombre définissable", notamment dans le chapitre consacré à Oméga (sans, malheureusement, s'étendre sur la définition ni à l'un ni à l'autre). Visiblement, Delahaye ne fait pas de différence fondamentale entre ces deux termes. Au point où j'en suis, je ne suis plus vraiment opposé à renommer cet article "nombre défini". En revanche, pas "nombre accessible", puisque Oméga est un nombre inaccessible mais pourtant défini (ou définissable..). Mais nous manquons toujours cruellement de source secondaire, que cela soit sur "nombre défini" ou "nombre définissable". --Jean-Christophe BENOIST (d) 9 février 2009 à 09:49 (CET)

Oui, et Borel dit "ne peut être défini avec précision, de telle manière que ...", et si on voulait chausser les bottes des scholastiques du Moyen âge qui jonglaient en français, anglais ou latin usuels on pourrait dire, d'un côté, que "peut être défini" n'est pas loin de "définissable" et à contrario dire aussi que si Borel avait écrit "n'est défini avec précision, de telle manière que ...." le sens de la phrase n'en n'aurait nullement été modifié. Mais trouver une source secondaire avec Janvresse comme source primaire (d'une remarque annexe en marge d'un article de semi-vulgarisation) ça relève de la chasse au dahut. Bien entendu j'ai trouvé des commentaires parmi les 278 hits Google. Tous de vrais TI de chez TI. L'un d'eux a particulièrement retenu mon attention, il concluait : « Are we talking about anything at all? It seems like the "ocean of undefinable reals" is really a make-believe ocean, and the "island of definable reals" is really all that's there to talk about. » - et Borel n'est pas très éloigné de cette position quand il parle d'une science "du réel et de l'accessible" versus "de l'imaginaire et de l'imaginé". Il en diffère cependant car il considère qu'il y a quelque chose à dire sur ces inaccessibles permis par la théorie des ensembles. --Michel421 (d) 9 février 2009 à 21:09 (CET)

J'ai un peu de mal à te suivre et voir où tu veux en venir.. Toujours est-il que j'ai trouvé un papier intéressant, qui met (notamment) en perspective Borel sur le thème qui nous intéresse : [1]. Je suis toujours en train de l'étudier. Je pense qu'il y a de la substance à extraire de cette source, de l'article Janvresse (qui est une source secondaire et non primaire, c'est un des points où j'ai du mal à te suivre), de Delahaye, et du livre de Borel (guidé par une source secondaire) etc.. pour faire un article sur lequel on puisse s'accorder. --Jean-Christophe BENOIST (d) 10 février 2009 à 13:47 (CET)

Faire un article avec Borel comme source primaire et Janvresse comme source secondaire ce sera difficile car Borel parle des nombres inaccessibles et, comme tu l'as toi-même souligné, les omégas sont inaccessibles alors que Janvresse les veut définissables en citant Borel. Donc déjà il y a un os dans le potage sur la correspondance entre ces deux concepts selon les uns et les autres. Alors, incalculables, inaccessibles et de plus selon Chaitin maximally unknowable d'après le papier que tu as sorti - et définissables ? Il faudra préciser en quoi. "Nombre réel définissable", comme ça dans l'absolu, ça n'existe pas. - --Michel421 (d) 10 février 2009 à 20:50 (CET)

Non.. pas le livre de Borel en source primaire. Aucun livre en source primaire. Que des sources secondaires. C'est pour cela que j'ai déniché l'article de Chaitin qui parle de Borel, et que je viens de m'acheter ce soir Hasard et complexité en mathématiques de Chaitin, que je ne pouvais pas ne pas acheter de toutes manières , qui parle beaucoup de Borel également. A priori, après lecture rapide, Chaitin ne parle pas de "nombre définissable", mais de nombres "nommables" ou "désignables" (et même d'ensemble de nombres nommables !); en revanche Hervé Zwirn dans la préface parle sans complexes de "nombres définissables". Ce qui fait une personne de plus à informer, après Delahaye et Janvresse, que ce concept n'existe pas.. Je pense qu'il y a matière pour un article; mais je tiens à souligner que je n'en ai encore aucune certitude. Nous verrons après étude de ces sources et discussions. Je marche de toutes manières sur des oeuf avec cet article. --Jean-Christophe BENOIST (d) 10 février 2009 à 23:52 (CET)

Je lis un peu vite désolé, mais j'ai l'impression qu'il y a un faux débat, le problème n'est pas que "nombre définissable" n'existe pas, c'est qu'il y n'y a pas de définition formelle (dans l'absolu), pour la simple raison, quand même pas compliquée, que si on en donne une on définit tout de suite un nombre qui ne la satisfait pas par diagonalisation. Ca arrive en math aussi de parler informellement. Tant qu'il s'agit du problème de l'arrêt ou du nombre de Chaitin qui correspond à un ensemble Sigma^0_1 (voir hiérarchie arithmétique, ce sont les récursivemet énumérables, juste au dessus des calculables), franchement il n'y a pas trop de problèmes méta-physiques. En gros tant que l'on ne cherche pas à donner une définition précise (qui permettrait en particulier de dire que quelque chose n'est pas définissable) et qui n'est sûrement pas dans vos sources de toute façon ...

Si je comprends bien l'introduction est devenue fausse (de par ma faute), puisque Borel n'utilise pas ce vocabulaire. J'aimerai comprendre en quoi défini est différent d'accessible. Proz (d) 11 février 2009 à 01:27 (CET)

A la lecture de Chaitin (l'article et le livre), je me rend compte en fait qu'il n'y en a pas. Ce qui répond à ta question, et enlève un "os" du potage, comme dit Michel. En haut de la p. 12 de l'article, Chaitin parle de nombre "accessible or nameable", ce qui est corroboré par le livre p. 175 où il dit qu'il est impossible de nommer (désigner, définir) un nombre inaccessible. Donc Oméga est "accessible" au sens de Chaitin/Borel. D'où l'utilité des sources secondaires pour éclairer les sources primaires. Je suis d'accord avec toi, Proz : il est tout à fait possible (et j'espère) qu'il y aie quiproquo sur le point que tu soulignes. L'intro telle qu'elle est me convient bien. Est-ce que on pourrait refaire un point sur ce qui va ou ne va pas dans l'intro et article selon les opinions de chacun ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 11 février 2009 à 09:59 (CET)

Définition : formelle, informelle, ou ...

Plus haut je m'étais un peu planté dans l'histoire des sources primaires et secondaires - j'ai un peu élagué le hors sujet (chez moi).

Pour répondre à Proz : il n'y a pas de définition formelle (dans l'absolu), pour la simple raison, quand même pas compliquée, que si on en donne une on définit tout de suite un nombre qui ne la satisfait pas par diagonalisation. - On est d'accord mais quand on dit ça c'est perçu comme du TI. Ça arrive en maths de parler informellement : tant que tu voudras mais là ce n'est pas une définition informelle versus formelle de la fonction, de la relation d'ordre ou que sais-je, c'est une définition informelle de quelque chose qu'on a du mal à conceptualiser (en tout cas moi) : une cible mouvante, a moving target comme dit Trovatore.

Pour répondre à Jean-Christophe : si maintenant accessible = définissable et que l'intro te plait, ça veut dire aussi que les "incalculables" sont accessibles.

Si maintenant on veut parler des récursivement énumérables, l'article existe déjà.--Michel421 (d) 11 février 2009 à 21:28 (CET)

ça veut dire aussi que les "incalculables" sont accessibles. : oui et non; oui pour certains (Oméga par exemple, et au plus une infinité dénombrable d'autres), non pour la quasi-totalité (une infinité non dénombrable). Chaitin est très clair là dessus dans son livre; pour lui (et Borel aussi d'après Chaitin) un nombre réel tiré aléatoirement entre 0 et 1 a une probabilité de 100% d'être parfaitement aléatoire, et d'être ni accessible (décrit de manière univoque) ni calculable. --Jean-Christophe BENOIST (d) 11 février 2009 à 22:01 (CET)

Est-ce que les définissables sont récursivement énumérables ? Excellente question, et pas d'indice explicite à ce sujet dans mes lectures. C'est loin d'être évident. De toutes manières, la remarque de Proz s'applique : pour être RE, il est nécessaire que l'ensemble des nombres définissables possède une définition formelle. Sans formalisme, pas de récursif. --Jean-Christophe BENOIST (d) 11 février 2009 à 22:14 (CET)

Les sous-ensembles récursivement énumérables de N (N^p) sont les ensembles (on est d'accord que l'on passe facilement d'un sous-ensemble de N à un réel ?) définissables dans l'arithmétique par des formules Sigma^1_0, encore plus simple par des équations polynômiales avec paramètres (quantifiés existentiellement) d'après le théorème de Matiiassevitch. Ca serait très étrange de prendre ça comme définition de définissable ! La hiérarchie arithmétique c'est une hiérarchie des sous-ensembles de N définissables dans le langage de l'arithmétique (+, x, quantificateurs ...). Elle est stricte (ce qui se démontre évidemment ... par diagonalisation). Et on peut continuer. Ce que je veux dire c'est que :

• il n'y a pas de définition mathématique satisfaisante, d'après le paradoxe de Richard, ceci devrait apparaître dès l'introduction ;
• c'est utilisé informellement par quelques auteurs (pour des réels), sous diverses dénominations, sources celles que vous citez ;
• Pour les cas particuliers on peut donner une définition formelle mais qui ne prétend aucunement à l'exhaustivité (et on peut donner quelques exemples, cf. la version anglaise dans le corps de l'article) ;

Maintenant je ne sais pas ce qu'il y a dans le livre de Chaitin (ni même le genre du livre ? Math ? Vulgarisation ?) Proz (d) 11 février 2009 à 23:27 (CET)

C'est de la vulgarisation. Mais assez rigoureuse, disons au même niveau que les bouquins de Delahaye chez Belin. Mais d'un autre côté, les livres de vulgarisation sont par définition des sources secondaires, voire tertiaires, qui conviennent mieux comme source.

J'ai ajouté un paragraphe dans Suite aléatoire (Suite_aléatoire#Paradoxe_du_hasard_indéfinissable) qui n'est pas sans rapport avec le problème (et les paradoxes) de la définition de "nombre définissable". A méditer sur le problème de la définition formelle possible ou pas pour "nombre définissable".. Mais si le problème semble "résolu" pour la notion de suite aléatoire, cela ne semble pas être (encore ?) le cas pour les nombres définissables. Mais on a là un cas de "moving target" que on a fini par cibler et atteindre. --Jean-Christophe BENOIST (d) 12 février 2009 à 10:56 (CET)

Une définition informelle pour moi c'est une définition intuitive, éventuellement mal taillée mais qui renvoie à quelque chose d'effectif et rend bien la notion que l'on veut définir (du genre "un rectangle est un quadrilatère qui a un angle droit dans chaque coin", tiré de la foire aux cancres) ; mais ici - je veux dire de la façon dont l'article a été engagé depuis le début - ce n'est pas ça ; on a des définitions qui n'ont aucun répondant dans le monde.

"Nombre définissable" semble-t-il c'est apparu avec Turing qui parle de nombre "définissable au sens ordinaire" ; comme personne ne sait ce que c'est que les "nombres définissables au sens ordinaire", il est possible (et selon moi probable) que Turing a voulu parler des choses définissables en général, pas spécialement des nombres.

D'autre part Tarski dit qu'en matière de termes primitifs d'une théorie axiomatisée, c'est une affaire de choix, et que ce serait une erreur de croire qu'il y a des choses qui ne peuvent se définir en aucune manière.

Il faut donc sortir de cette idée qu'il y aurait parmi les réels des nombres définissables et d'autres qui ne le seraient pas, mais penser que tous les réels pourraient être définissables de quelque façon. Est-ce que tes sources vont dans ce sens, ou si au contraire elles entérinent le schéma d'un ensemble des réels définissables qui serait une partie stricte de R ? --Michel421 (d) 12 février 2009 à 19:55 (CET)

penser que tous les réels pourraient être définissables de quelque façon : c'est vraiment presque le contraire de ce que pense Chaitin (et probablement Borel aussi, d'après Chaitin). Pour Chaitin, au contraire, 100% des réels (moins un ensemble de mesure nulle..) sont inaccessibles et indéfinissables (p.144 paragraphe "l'ensemble des réels nommables est de probabilité nulle"), et également non calculables (mais ce ne sont pas exactement les même 100%..). La seule chose que démontre Chaitin, c'est que l'ensemble des définissables (nommables dit Chaitin) est de mesure nulle, et donc dans un sens une "partie stricte", mais pour autant cet ensemble n'est pas clairement identifié; on ne connait que sa mesure. --Jean-Christophe BENOIST (d) 12 février 2009 à 23:54 (CET)

Selon la théorie classique ZFC il y a 2^א_o parties dénombrables de R, toutes de mesure nulle ; y en a t-il une qui soit l'ensemble des "nombres définissables" ? Ça serait rigolo. Par diagonalisation il existe un nombre réel définissable qui n'y figure pas. Est-ce que Chaitin parle de ce problème ? --Michel421 (d) 13 février 2009 à 21:03 (CET)

Malheureusement non, ni Delahaye. Enfin, rien d'explicite. Mais il y a une piste. En gros, la moitié du livre est consacré à un "réquisitoire contre les réels" (sic), qui sont présentés comme à 100% indéfinissables, 100% incalculables et 100% sans ontologie (lire 100% moins un ensemble de mesure nulle - pas le même - à chaque fois, bien sûr), et sources de paradoxes. Pour Chaitin, les réels "n'existent pas" et il est assez proche de Cronecker (Dieu a inventé les entiers, et l'homme tout le reste), et peut-être de Borel qu'il semble beaucoup apprécier et avec lequel il semble très en phase. Donc le genre de paradoxe que tu cites n'est qu'un paradoxe de plus engendré par la continuité des réels et à la limite, cela apporte de l'eau à son moulin. Maintenant, et je l'ai compris récemment, et c'est très intéressant, Chaitin essaye de trouver une "voie de salut" pour maîtriser l'ensemble de mesure nulle "survivant" des réels par la théorie de la complexité algorithmique, donc - pour aller vite - par le discret et le numérique. Sans qu'il le dise explicitement, il semble que tout réel définissable selon la théorie de la complexité algorithmique est "définissable", "accessible" et "a un sens". Evidemment, Oméga en fait partie. Et le nombre de définitions par cette voie est dénombrable. Le paradoxe de la diagonalisation ne doit pas avoir de sens pour Chaitin car il n'y a pas moyen, pour un programme informatique, d'extraire un nouveau réel par diagonalisation. Le passage clé du livre qui me fait dire tout cela est, p. 147, « l'approche des réels sous l'angle du numérique, du discret, ne nous pose plus aucun problème, et nous avons pris la pleine mesure des partis pris philosophiques qui la sous-tendent ». Et juste après il introduit Oméga. --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 21:34 (CET)

Là ça commence à être intéressant, en effet. Mais du coup ce fameux schéma qui est supposé être inspiré de Delahaye, ne l'est en fait pas du tout ? --Michel421 (d) 13 février 2009 à 22:52 (CET)

'tain, je l'avais loupé ! Si : p. 94. Delahaye ne s'étend toujours pas sur la définissabilité (c'est pourquoi je l'ai loupé); juste deux phrases en passant, intéressantes tout de même : « Nombre définissable dans ZF : nombre dont on peut donner une définition dans la théorie des ensembles de Zemerlo-Fraenkel » (bonjour la récursion), et « Il y a une infinité dénombrable de réels définissables ». Mais ce n'est pas incompatible avec Chaitin et je pense que Chaitin pourrait tamponner le schéma (il mettrait seulement en "hachuré" le complémentaire de "définissable" avec la légende "n'existe pas"). Seulement, avec cette "définition", Delahaye n'est pas immune du paradoxe de la diagonale. Chaitin peut-être. --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 23:31 (CET)

Chaitin pourrait tamponner le schéma (il mettrait seulement en "hachuré" le complémentaire de "définissable" avec la légende "n'existe pas"). Comme ça tous les réels sont définissables. Mais pour ça il faut trouver une méthode de construction pour cet ensemble, et cette méthode ne doit pas être sujette à diagonalisation. Turing avait dit que l'ensemble des nombres calculables remplissait cette condition. Est-ce que Chaitin avait voulu redéfinir les réels comme des nombres calculables, et qu'alors il tomba sur Oméga ? --Michel421 (d) 14 février 2009 à 10:17 (CET)

Si on restreint l'ensemble R aux nombres définissables, ce n'est plus l'ensemble R. Comme ça tous les éléments de l'ensemble R sont définissables est faux et Comme ça tous les éléments définissables de l'ensemble R sont définissables une tautologie.

Non, je ne crois pas que Chaitin aie jamais eu l'idée de définir la définissabilité par "calculable". "Abordable par la théorie de la complexité algorithique" ce n'est pas pareil que "calculable". Oméga en est la preuve. --Jean-Christophe BENOIST (d) 14 février 2009 à 11:50 (CET)

« Comme ça tous les éléments de l'ensemble R sont définissables » est faux .

J'ai dit « Comme ça tous les réels sont définissables » - pas la même chose. Comment pourrait-il y avoir des réels non définissables si le complémentaire des définissables par rapport à R « n'existe pas » ? Relis le contexte.

Où t'as vu « Comme ça tous les éléments définissables de l'ensemble R sont définissables »  ? --Michel421 (d) 14 février 2009 à 12:58 (CET)

J'essayais d'interpréter et de comprendre tes paroles.. Après, on s'engage sur un terrain mouvant sur lequel Chaitin s'engage certes, mais où je ne le suis pas et toi non plus si tu y vas : qu'est-ce qui "existe" ou pas en math ? Cronecker a-t-il raison ? Les objets mathématiques sont-ils tenus d'avoir une ontologie ? Gödel a-t-il raison de dire que certains axiomes sont "vrais" ou "faux" dans l'absolu ? Questions intéressantes, mais qui nous emènent trop loin en tout cas pour cet article. D'ailleurs, je tu as vu que je ne parle pas de l'existence ou non des réels dans la liste des points à ajouter dans l'article. --Jean-Christophe BENOIST (d) 14 février 2009 à 13:59 (CET)

Dis plutôt que tu as répondu sans voir la phrase en italique. Pour le reste, ça change complètement la problématique si Chaitin limite le champ aux nombres "définissables" : il ne faut plus parler de "nombre définissable" par rapport à l'ensemble des nombres, il s'agit de la construction des nombres dans la théorie de la complexité algorithmique. Mais c'est bien en rapport avec l'article. Donc je vais voir ce qu'il en dit, je commande le livre. --Michel421 (d) 14 février 2009 à 14:56 (CET)

S'il limitait le champ des réels aux définissables, il ne dirait pas que 100% des réels sont indéfinissables.. (explicitement en plus) Commander ce livre est de toutes manières une bonne idée, mais ne t'attends pas à avoir beaucoup plus de détails. Tout est dans la p. 147 que j'ai cité ci-dessus, et rien n'est explicite. D'ailleurs, dans la listes des choses "acquises" (?) que j'ai mis ci-dessous, je n'ai pas mis - sciemment - que la définition des définissables selon Chaitin est "peut être construit par la théorie de la complexité algorithmique". Mais de toutes manières, le schéma de Delahaye est compatible avec Chaitin, et - de la même manière - la définition de Borel et toutes les choses que j'ai énuméré ci-dessous sont compatible avec Chaitin également, que les non-définissables "existent" ou non. La seule chose qui change entre croire que les non-définissables existent ou non est l'immunité au paradoxe de la diagonale, dont j'aimerais bien trouver une source qui en parle explicitement. --Jean-Christophe BENOIST (d) 14 février 2009 à 16:13 (CET)

Il y a une foule de sources académiques pour l'argument diagonal ; mais si tu exiges que l'argument diagonal soit utilisé spécifiquement pour ça, tu ne trouveras rien. Comme si tu demandais une source établissant que le nombre d'or n'est pas transcendant. Pour autant, est-ce que les Bogdanov ont raison de dire qu'il est transcendant ? (mais là j'imagine que dans la bagarre on a fini par trouver des sources après coup).

La diagonale, il n'y a pas moyen d'y échapper, autrement qu'en modifiant ZF. --Michel421 (d) 14 février 2009 à 18:24 (CET)

Un point de la situation

Je propose de faire un point des (intéressantes) discussions et lectures dont il est question ci-dessus. Il apparait (à mon sens, mais nous sommes là pour en discuter) qu'il y a des choses récurrentes, partagées clairement et explicitement par plusieurs sources, que l'on pourrait dire sur les nombres définissables dans cet article, et que je propose d'y ajouter ou entériner. J'ajoute aussi que je n'ai vu aucune source disant le contraire ou même contestant les affirmations qui vont suivre.

1. L'ensemble des nombres définissables est dénombrable et de mesure nulle dans R.
   1. Les réels sont indéfinissables avec une probabilité de 1.
2. L'ensemble des nombres définissables est différent de l'ensemble des nombres calculables.
   1. L'ensemble des nombres calculables est inclus dans l'ensemble des nombres définissables.
   2. Oméga fait partie des nombres non calculables mais définissables.
3. Définissable = accessible (au sens de Borel) = nommable (Chaitin), et correspond à la définition de Borel qui est dans l'introduction. Pas de définition formelle.

Ce serait déjà pas mal d'ajouter cela (évidemment ce ne serait pas inclus tel quel, c'est juste pour résumer ici). Il reste le problème du paradoxe de la diagonale, qui n'est traité ni même mentionné dans aucune source dont je dispose. --Jean-Christophe BENOIST (d) 14 février 2009 à 12:12 (CET)

Le livre de Chaitin "Hasard et complexité en mathématiques" est, si je comprends bien d'après sa page, un essai sur les mathématiques (qui s'appuie sur ses travaux mathématiques). Si je comprend ce que tu dis ci-dessus (mais j'ai peut-être mal compris) cette notion de nombre "nommable" n'y interviendrait que de façon marginale. Il me semble qu'il faudrait restee dans le même ton, utiliser les mêmes mots pour éviter de fausses interprétations (je rappelle que définissable a un sens en logique), expliquer pourquoi il les introduit, bref contextualiser.

Ce qui me gênerait serait que l'article puisse faire croire, que la notion de réel définissable est une notion mathématique usuelle, bien connue, consensuelle, et que l'on peut tranquillement décrire les propriétés de l'"ensemble" des réels définissables, comme on décrit celle des rationnels ou même des réels calculable. Si c'était le cas on la trouverait dans des livres de math.

L'article peut signaler des usages clairement informels (Turing), et d'autre plus élaborés (Chaitin apparemment), et les situer. Proz (d) 14 février 2009 à 19:07 (CET)

Je suis d'accord avec toi. A vouloir être concise et claire, cette liste était un peu trop péremptoire je m'en rends compte. Je vais essayer d'introduire tout cela, petit à petit dans l'article avec la contextualisation et prudence nécessaire. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 14 février 2009 à 21:08 (CET)

OK ; mais l'intro actuelle est Borel-centrée ; d'autre part Proz recommande une mise en garde dès le début. Voici donc ce que je mettrais en introduction :

L’expression « nombre définissable » est apparue en 1936 avec l’article de Turing « On computable numbers » dans lequel il démontrait l’existence de nombres réels non calculables, bien que « définissables au sens ordinaire ». Elle est réapparue épisodiquement durant la dernière décennie, notamment dans des publications relatives à l’informatique ou à la théorie de la calculabilité.

Il ne s’agit pas d’une notion opérationnelle et elle n’a fait l’objet d’aucune publication dans une revue scientifique internationale de mathématiques à comité de lecture.

D’autres concepts ont été assimilés à celui de nombre définissable, les plus connus étant celui de nombre accessible, développé par Émile Borel, et celui de nombre nommable, développé par Gregory Chaitin.

--Michel421 (d) 14 février 2009 à 22:24 (CET)

Remarque 1 : Es-tu sûr que Turing prétend que les nombres non-calculables (ou certains d'entre eux) qu'il met en évidence dans "On computable numbers" sont "définissables dans le sens ordinaire" ? Il m'a toujours semblé que le premier nombre non calculable et définissable avait été mis en évidence par Chaitin, et que c'était là un tour de force : Oméga. J'ai cherché "defineable" dans le document de Turing, sans succès. "defined" est utilisé, mais dans d'autres contextes.

Remarque 2 : tu parles de "dernière décennie" : laquelle ?

Remarque 3 : "nombre nommable" n'est pas un concept vraiment "développé" par Chaitin. Il en parle, sans en donner de définition, formelle ou non. Il utilise également "désignable", avec presque autant d'occurrences. Tel qu'il est utilisé, c'est toujours dans un contexte qui signifie "pointage univoque vers un réel précis", ce qui est finalement très proche de Borel. A mon avis, on ne peut pas en parler comme d'un concept indépendant "développé" par Chaitin.

Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 15 février 2009 à 00:05 (CET)

Turing : dans le document il dit ceci : It must be remembered that we have attached rather a special meaning to the phrase "U defines I". The computable numbers do not include all (in the ordinary sense) definable numbers. Let P be a sequence whose n-th figure is 1 or 0 according as n is or is not satisfactory. It is an immediate consequence of the theorem of §8 that P is not computable. It is (so far as we know at present) possible that any assigned number of figures of P can be calculated, but not by a uniform process.

donc ordinary sense semble vouloir dire : définissable de n'importe quelle façon. Il faut chercher "definable" (et pas "defineable") ou mieux "ordinary" (car il y a beaucoup d'occurrences de "V-definable").

Chaitin : tu as le bouquin et je ne l'ai pas encore, donc par défaut...

Dernière décennie : tu as raison, une encyclopédie est intemporelle ; je dirais donc "dans les années 1990 et 2000" pour être large (je pense que c'est surtout après les publications de Chaitin sur Oméga, bien qu'il n'utilise pas "definable number", son "nammeable" a été transformé (transmogrifié ?) en "définissable" dans le monde francophone). --Michel421 (d) 15 février 2009 à 00:34 (CET)

Pour Turing : OK, cela m'apprendra à chercher "defineable" au lieu de "definable". Cela dit, je ne comprends pas pourquoi on cite toujours Chaitin en matière de "nombre-non-calculable-mais-définissable", et non Turing. Je préfèrerais une source secondaire sur ce point, mais la source primaire est assez claire.

Sur les décennies, le nombre de Chaitin date de la fin des années 1970, et de livre de Borel de 1952. En fait la notion a dû réapparaitre épisodiquement tout a long de la deuxième moitié du XXe siècle, tu ne crois pas ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 15 février 2009 à 01:38 (CET)

Apparemment, pour Turing la définissabilité est relative à un échantillon. En ce qui concerne le nombre définissable, je pense que s'il y avait une source académique ou une publication peer-reviewée dans les années 50 à 90 (autre que Chaitin, qui d'ailleurs parle de "nammable" et non "definable") ça se saurait, on ne serait pas en train de tourner en rond depuis un an. La quasi-totalité des 278 hits Google consiste en blogs, messages de forums, citations occasionnelles, etc.... Comme texte plus consistant, à part nous-mêmes on n'a encore que Janvresse et Delahaye. --Michel421 (d) 15 février 2009 à 10:34 (CET)

La situation est en effet très inconfortable, par manque de sources secondaire sur bien des points. Je viens d'envoyer un mail à Delahaye lui exposant nos soucis, et lui demandant s'il connait des sources qui pourraient nous éclairer. Je lui ai suggéré de contribuer à cet article, sans trop y croire, ce qui serait l'idéal à mon sens. On verra.. ! --Jean-Christophe BENOIST (d) 15 février 2009 à 16:45 (CET)

Il a répondu : le verbatim du mail ici. Je n'ai pas trop le temps d'analyser tout cela aujourd'hui. A suivre.. --Jean-Christophe BENOIST (d) 15 février 2009 à 20:22 (CET)

Donc il y a bien un ensemble des réels définissables dans ZF ; et pas d'ensemble des réels définissables tout court. --Michel421 (d) 15 février 2009 à 21:38 (CET)

Compte-tenu des informations de JP Delahaye, j'allais proposer de renommer l'article en Nombre réel définissable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Cependant il me souvient d'avoir vu sur en: quelques subtilités en ce qui concerne les définitions ("structure" versus "théorie"). --Michel421 (d) 15 février 2009 à 21:38 (CET)

On peut effectivement cibler l'article sur la définition formelle donnée par Delahaye, par rapport à un système formel (pas forcément ZF d'ailleurs), ou bien sur les nombres définissables en général incluant des considérations sur les nombres accessibles de Borel, les définitions informelles et sur le problème de la diagonale en résultant. J'aurais une préférence pour la seconde solution.

Je pense effectivement que Chaitin se réfère (implicitement) à la définition de Delahaye (car le démonstration dans le livre de Chaitin sur la mesure nulle de l'ensemble des définissables, il utilise le fait que "le vocabulaire de base est fini, une formule est une suite finie d'éléments de ce vocabulaire"). Donc nommable (Chaitin) = définissable par rapport à un système formel.

Nombreux éléments intéressants dans le mail de Delayahe qui devraient se retrouver dans l'article : définition, similitudes avec la notion de "démontrable" (y compris dans la terminologie et dans la notion d'"incomplétude"), le fait que la diagonalisation ne pose pas de problèmes avec la définition par rapport à un système formel etc.. --Jean-Christophe BENOIST (d) 16 février 2009 à 13:38 (CET)

L'intro devra être soignée, on est là sur un terrain très glissant ; et encore plus si on parle de définition par rapport à un système formel en général au lieu de juste ZF. Je suis pour une intro formelle et courte, quitte après à développer dans le corps de l'article les nombres accessibles, oméga, etc.

Je pense à une chose : est-ce que le dessin figure tel quel en page 94 ? Car si c'est le cas il pourrait y avoir un pb de permission. --Michel421 (d) 16 février 2009 à 15:19 (CET)

"Tel quel", graphiquement, non, ce n'est pas une photocopie. Il a été redessiné, mais contient exactement les mêmes informations que le schéma original. Le cas est litigieux. AMO, on devrait encore le redessiner, en SVG, en ne laissant que les concepts utilisés dans l'article, c.a.d en laissant tomber les imprédictibles et en renommant peut-être les "incompressibles" en "aléatoires". Je peux m'en charger.

Sinon, OK pour une intro formelle courte, mais sur un article qui va (prudemment) plus loin que les nombres définissables dans ZF ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 16 février 2009 à 15:51 (CET)

Oui, mais il y aura un peu de boulot. Delahaye nous a donné l'idée, confirmé que le concept était valide, mais maintenant il va falloir formaliser. Il faudra faire très attention au vocabulaire. On sait que la structure vient de la théorie, néanmoins, à strictement parler, un objet mathématique est définissable "sur une structure" plutôt que "dans une théorie" - ici comme la théorie est ZF la structure est ce que les en: appellent "l'univers de Von Neumann" (voir en:) - la hiérarchie cumulative des ensembles que ZF permet de construire. A noter aussi que la définition de Delahaye même si elle permet de parler des nombres définissables dans l'univers V de ZF, ne permet toujours pas de parler de l'ensemble de ces réels définissables dans V car en effet elle n'est pas du premier ordre (à cause de "il existe une formule...." - en premier ordre les quantificateurs comme "il existe" ou "quel(le) que soit" portent sur des objets directement et non sur des relations qui portent elles-mêmes sur des objets) - en deuxième ordre tout ça se retrouve mais c'est pour dire qu'il y a plein de chausse-trappes même si on se limite à un système. Alors si on parle de "un système formel" en général .... --Michel421 (d) 16 février 2009 à 20:53 (CET)

Non, finalement, on peut parler de langage en général, de définition et d'objet défini ; c'est même ça qui est le plus connu, c'est dans les manuels ; c'est "nombre" qui fait que c'est un sujet très particulier, pas tellement "définissable". Rien n'empêche de mettre une source textbook pour la notion générale et la source Delahaye pour son application aux nombres avec le langage ZF. J'ai rajouté Complexités de Delahaye à mon panier Amazon, je devrais recevoir les deux bouquins demain. --Michel421 (d) 18 février 2009 à 21:29 (CET)

Oui, eh bien nombre définissable ça n'apparaît qu'une seule fois dans l'ouvrage de Delahaye, p.131 :

(....) Robert Solovay a découvert que certains d'entre eux (que nous appellerons nombres oméga de Solovay) tout en étant parfaitement définissables , sont totalement inconnaissables. En clair, si Ω est un nombre oméga de Solovay alors aucun chiffre de Ω ne peut être connu.

Mais le langage est bien précisé, page 130 (P est une proposition) : il nous suffira de penser que lorsque nous disons « nous pouvons connaître P », cela signifie : il existe une preuve de ZFC qui démontre P --Michel421 (d) 19 février 2009 à 21:34 (CET)

En effet, c'est bien ce que j'avais constaté : pas ou peu de définition dans les différentes sources, Delahaye compris. La réponse de Delahaye complète bien son livre ;) et est en cohérence avec la phrase p.130 que tu cites. Nous sommes enfin sur un terrain à peu près solide.

Sur le problème de l'ensemble des nombres définissables, je ne me prononce pas; j'ai tendance à te croire mais il manque toujours une source secondaire à ce sujet. Que penses tu de faire - tout de même - apparaitre un diagramme de Venn, inspiré de celui de Delahaye dont on parlait au dessus, montrant les relations d'inclusion / intersection entre les différents "ensembles" ? Delahaye - pragmatiquement sans doute - n'hésites pas à utiliser les diagrammes de Venn, et nous devrions sans doute être également pragmatique à ce sujet. --Jean-Christophe BENOIST (d) 20 février 2009 à 09:50 (CET)

Au fait, où se trouve le diagramme ? Je ne l'ai point vu - il est vrai que j'ai parcouru en .... diagonale. --Michel421 (d) 21 février 2009 à 01:16 (CET)

p. 94 de "Information, complexité et hasard" (Hermes). Si tu m'envoie un petit mail par "Envoyer un message à cet utilisateur", je pourrais t'envoyer un scan des deux pages concernées, si tu veux. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 21 février 2009 à 12:20 (CET)

Ah donc pas le même ouvrage, donc Delahaye a planché quelque peu sur cette notion ; je vais à ce moment là me procurer aussi ce livre, tant qu'à faire. Le schéma je pense qu'il faut être prudent avec les règles wikipédiennes très strictes même si la référence du bouquin figure dans la légende sur Commons.

A la lecture du livre de Chaitin, oui effectivement il y a une similitude sur ce point avec les idées de Borel : le corps des réels comporte des nombres inaccessibles, de probabilité 1, qu'il considère comme en fait "irréels", comme Borel qui dit avoir voulu les appeler "imaginaires" si cet adjectif n'avait été employé ailleurs ; et aucun des deux ne va jusqu'à nier l'existence ou l'utilité des réels, comme Brouwer (les nombres rationnels suffisent selon Brouwer à représenter le continu). --Michel421 (d) 21 février 2009 à 14:28 (CET)

Impasse ?

Il s'agit d'un terme utilisé occasionnellement et informellement par quelques mathématiciens contemporains.

Ce qui se rapproche le plus d'un sujet admissible sur WP est la phrase citée plus haut de Delahaye sur les nombres oméga de Solovay, en page 131 de Complexités, faisant suite à la référence à ZFC à la page 130 ; néanmoins quand on lit le contexte le lien entre les deux est assez ténu.

Janvresse parle de nombre tels que l'on puisse formuler dans les mathématiques usuelles une propriété qui n'est vérifiée que par eux. A t'on le droit de se livrer à une exégèse du type "mathématiques usuelles = ZF" (ou ZFC) ?

D'autre part Delahaye signale dans son mail à JCB que la définition de Borel peut mener à des difficultés via diagonalisation, ce qui infirme ma première impression (cette dénition m'avait paru être trop informelle pour donner prise à un argument diagonal).

Bref, je ne vois pas comment faire l'article. Si quelqu'un a des idées.... --Michel421 (d) 26 février 2009 à 19:52 (CET)

Ce qui rapproche le plus ce sujet d'un sujet admissible est le nombre Oméga. Si la notion de nombre définissable n'a aucun sens, alors le nombre Oméga n'a ni intérêt ni sens. La définition de Delayahe, dans son mail, est une définition formelle et me semble clairement ce à quoi Chaitin (dans sa démonstration de la cardinalité de l'ensemble des nombres définissables par exemple) et Janvresse font allusion. Je pense que je vais avoir un peu de temps ce WE pour m'occuper de cet article. Je reste toujours convaincu que nous avons tous les éléments en main, maintenant, pour faire un article qui satisfasse tout le monde. --Jean-Christophe BENOIST (d) 26 février 2009 à 20:14 (CET)

Sourçage

La définition est bonne, il reste qu'on n'a pas d'autre source (directe) que le mail (une correspondance privée), à moins que ce ne soit dans Information, complexité et hasard.

D'autre part y a t'il une indication sur la formule exprimable dans ZF qui définit oméga ?

Enfin l'intro est assez longue. Je pense qu'il faudrait la subdiviser : mettre en intro l'énoncé brut de décoffrage et ensuite faire un paragraphe sur les notions apparentées.--Michel421 (d) 1 mars 2009 à 11:21 (CET)

Oui, je pensais mettre un "refsou" à la définition, que je n'ai vu nulle part ailleurs que dans le mail, même pas dans IC&H. Mais évidemment, cela ne la remet pas en cause à mon sens, vu sa souce.

Sur la formule qui définit Oméga dans ZF, elle doit être horriblement complexe, "bourbakienne", exprimée formellement dans ZF. Moins formellement, il s'agit d'une formule sommatoire $\sum _{p\in P}2^{-|p|}$ qui est expliquée (de manière très obscure à mon opinion) dans l'article sur Oméga. Mais je suis d'accord qu'il serait intéressant de creuser ce sujet (dans l'article Oméga).

Sur la longueur, on reste dans les normes à mon sens. Je suis de plus attaché (mais c'est bien normal) à cette présentation progressive qui part de la notion intuitive, montre les problèmes et introduit la définition qui, autrement, serait un peu "brut de décoffrage" Une troisième opinion serait la bienvenue pour départager (Proz ?) --Jean-Christophe BENOIST (d) 1 mars 2009 à 12:04 (CET)

La définition est simplement l'application à ZF de la définition générale de ce qu'est une définition d'un objet dans un langage donné - et là il y a de nombreuses sources. Est - ce qu'on ne pourrait pas alors introduire la définition générale pour commencer et donner ensuite l'application particulière : définition du nombre définissable dans ZF ?--Michel421 (d) 1 mars 2009 à 14:28 (CET)

J'avoue ne pas bien te suivre. Quand tu dis "la définition", à quoi fais-tu allusion exactement ? Pas celle de l'article, car celle-ci ne référence pas ZF particulièrement (volontairement). Je ne vois pas bien l'intérêt de dupliquer la définition en replaçant "dans un système formel S" par "dans ZF". D'ailleurs, ZF n'a rien de particulier vis à vis de la définition, c'est un SF comme un autre, c'est juste le plus utilisé, et celui "par défaut".

Sinon, s'il existe des sources de la définition générale, tant mieux, et il n'y a plus qu'à remplacer le "refsou" !--Jean-Christophe BENOIST (d) 1 mars 2009 à 15:39 (CET)

C'est parce qu'on parle de nombres et que mes sources parlent de constantes - les nombres sont des constantes parmi d'autres.

Je disais ZF parce que je pensais que c'était ça que tu avais en tête (vu le mail). Si ce n'est pas ça, le cercle des définissables sur le dessin n'a plus de signification ; pour qu'il dise quelque chose il faut que ce soit dans un langage déterminé. Il faut de toute manière compléter la légende du dessin. Tu pourrais mettre « définissables dans le système S » mais là attention tu ne sais plus où passe le cercle. Et si ton système S ne peut définir que des algébriques ?

Si c'est ZF, c'est bien le concept visé au départ par l'article (là il y a autre chose par rapport au dessin mais chaque chose en son temps). - --Michel421 (d) 1 mars 2009 à 16:11 (CET)

OK, je vois mieux ce que tu veux dire. Le schéma, c'est bien les définissables dans ZF (c.a.d "les définissables" quand on ne précise rien. Mais ce serait mieux de l'expliciter, je vais le faire). Il est là à titre d'exemple, mais n'illustre qu'un type de définissables. Je reste toujours sur la ligne que l'article ne devrait pas être centré, ni sur les nombres réels (c'est pourquoi j'ai cité aussi les complexes par exemple), ni sur la définissabilité dans ZF en particulier. C'est (un peu) plus complexe à gérer, mais cela reste possible, tu ne crois pas ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 1 mars 2009 à 18:21 (CET)

Pour les réels on a peu de matière mais pour les complexes on n'a rien (me semble-t-il).

En ce qui concerne le dessin, as-tu des références pour les nombres qui ne sont ni définissables ni aléatoires ? De drôles de bêtes qui sur le diagramme occupent une place plus importante que les nombres aléatoires (un peu en contradiction avec l'article). D'autre part l'ensemble des réels définissables - disons ${\mathcal {D}}$ - ne peut pas être obtenu par application du schéma de compréhension comme suit (là je suis très "bold", c'est quasiment du vandalisme ) :

${\mathcal {D}}=\{c\in {\mathcal {R}}|\quad ZF\vdash \exists \phi \quad \forall x\quad \phi (x)\leftrightarrow \;x=c)\}$

car l'expression définissante n'est pas du premier ordre.

Donc si c'était moi je tracerais le cercle d'une autre couleur, ou en pointillé.--Michel421 (d) 1 mars 2009 à 19:53 (CET)

Je suis assez réservé sur cette définition (et surtout à la généralité que vous lui donnez). Habituellement en logique la définissabilité fait référence à un langage et à la vérité au sens de Tarski dans un modèle, pas à la démontrabilité dans une théorie. Que la définition informelle corresponde plus ou moins à quelque chose de ce genre, peut-être, mais si on ne le dit pas, c'est à mon avis justement que ça n'est pas très utile, et pour éviter les confusions, parce qu'il n'est souvent pas nécessaire d'aller jusqu'à ZFC, et parce que l'on ne s'intéresse pas à l'"ensemble" des nombres définissables au sens que vous donnez (sinon il n'y aurait pas de difficulté à trouver des références à cette définition). On constate juste que l'on a défini un nombre ce qui est quand assez évident même pour omega de Chaitin (une fois que l'on a compris la définition, on se moque un peu que ce soit dans ZFC, on se doute bien que ça ne demande pas des axiomes extraordinaires, surtout que c'est essentiellement arithmétique).

Sinon j'ai d'autres critiques. J'ai donné une explication au dessus, je l'écris autrement : l'existence d'un nombre réel non calculable, mais que l'on peut définir (au sens intuitif, et en logique au sens abordé dans l'article hiérarchie arithmétique) est une conséquence triviale de l'indécidabilité du problème de l'arrêt. C'est de plus (pour l'aspect "au sens intuitif") explicitement dans le premier article de Turing en 1936 [2] dès la première page, lire aussi page 7 (ensuite Turing utilise une notion de fonction définie par un système formel, qui ne correspond pas à la votre, ni à celle devenue commune en logique, mais plutôt à ce que l'on appelle maintenant fonction représentable). Ceci contredit la fin de la nouvelle introduction (et l'intérêt des omega de Chaitin est par exemple dans le rapport à l'incomplétude, la non démontrabilité de l'appartenance d'un chiffre au développement du réel). Comment peut-on écrire que Chaitin étudierait "Le rapport entre la notion de définissabilité et celle de calculabilité" alors que d'après tout ce que vous avez dit précédemment sur cette page de discussion, vous n'avez pas lu de définition précise de définissabilité dans les livres de Chaitin (il connait bien-sûr celles que l'on utilise en logique) ? Et à mon avis ce n'est pas du tout ça qu'il étudie (allez voir sa page [3], et sa liste de publications sur celle-ci.)

Il me semble que pour ce genre d'article il faut être extrêmement prudent (quand on n'est pas sûr il vaut mieux ne rien écrire). Les sources sont indispensables, d'une part pour les suivre (d'autant que l'on ne domine pas le sujet), d'autre part pour que le lecteur sache d'où viennent les informations (article et livres mathématiques, ou articles et livres de vulgarisation), et puisse se faire son opinion. Vous êtes de plus sur un sujet à chausse-trappes, par exemple avez vous réfléchi au paradoxe de Skolem ? Etes vous sûr du sens que vous donnez à "dénombrable" dans l'article ? Il y a nécessairement des codages de Gödel pour donner un sens à certaines des notions abordées (il faut refléter la meta-théorie dans la théorie).

Remarque plus annexe : il vaudrait mieux qu'il soit clair qu'il n'y a pas "un" nombre de Chaitin, et que c'est une construction avec plein d'arbitraire.

Je suis réservé à propos du schéma, qui laisse entendre justement qu'il y a une notion de nombre définissable précise et mathématiquement étudiée. Le minimum, s'il reste, serait de le sourcer (et de le citer tel quel, extrait de tel livre ou recueil d'articles sans l'interpréter).

Honnêtement, je ne pense pas que cet article mérite autant d'investissement. Je dois me répéter (je suis quand même allé lire quelques trucs pour vérifier entre temps), mais j'ai l'impression qu'il y a d'une part une notion informelle qui n'est pas étudiée mathématiquement en tant que telle mais mentionnée à propos d'autre chose, éventuellement des discussions d'ordre philosophique à ce sujet de quelques mathématiciens (ça, ça pourrait être abordé), d'autre part des notions mathématiques qui ne sont pas abordées par l'article (hiérarchie arithmétique, hyperarithmétique, théorie descriptive effective ...). Ce qui est visé c'est la notion informelle (c'est ce qu'induit le titre, nombre définissable, plutôt qu'ensemble par ex). Pourquoi voulez-vous détailler et expliciter ce que, si je ne me trompe, les auteurs cités n'ont pas pas jugé utile de faire ? De plus en tentant de le faire vous contredisez un sens usuel de définissable en logique mathématique. Proz (d) 1 mars 2009 à 20:28 (CET)

Tout ce que j'ai ajouté est issu du mail de Delahaye, et notamment la définition. Il se peut que j'aie mal ou sur interprété certains points, mais Delahaye ne parle ni d'une définition informelle, ni de la hiérarchie arithmétique et autres points que tu cites. Je suis conscient des chausses-trappes, et je suis plus que conscient des limites de mes connaissances, et c'est pourquoi j'ai cherche à tout prix des sources secondaires et fait appel à Delahaye. J'ai simplement essayé de faire avancer les choses, et il me semble qu'elles ont un peu avancé, au moins en éclaircissant ce que voulait dire Delahaye par "nombre définissable" (en lui demandant !), et en éclaircissant le problème de la diagonale qui nous faisais tourner en rond.

Le schéma provient également de Delahaye.

En revanche, je suis d'accord sur ta remarque "Chaitin étudierait "Le rapport entre la notion de définissabilité et celle de calculabilité", c'est mal dit. Je voulais dire que Chaitin, et Delahaye, insistent beaucoup sur le fait que (les) Oméga(s) sont définissables mais non calculables, et que toute l'essence d'Oméga est là. Donc le concept de définissabilité est essentiel à Oméga. Oméga sans définissabilité n'a pas de sens.

Comme Delahaye semble assez joignable, je pense que tu devrais essayer d'analyser tes commentaires avec lui (voir [4]), et éclaircir la définition qu'il a donné et son schéma. Tu serais (et je le dis très sincèrement) un interlocuteur plus valable que moi.

En ce qui me concerne, je pense avoir donné le maximum pour cet article, qui est encore très loin de la perfection. Je trouverais dommage qu'il disparaisse ou soit transformé en article court. Je trouverait aussi dommage qu'il ne permette pas d'éclaircir la lecture de Delahaye ou de Chaitin, ce qui serait le cas si on en reste à une définition informelle.

Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 1 mars 2009 à 21:08 (CET)

Peut-être as tu surinterprété un peu effectivement. Les références du mail parlent bien de définissabilité au sens logique (vérité ...). Je crois que tu te trompes quand tu penses que "le concept de définissabilité est essentiel à Oméga" (ça me semble un peu tautologique vu que l'on définit Omega). Tu as dû comprendre que je ne tiens pas à m'investir dans cet article, mais j'interviens parce que, pour la version précédente (ça a progressé depuis), ça finissait par prendre des proportions démesurées ("nombre définissable" s'est retrouvé dans une boîte sur les nombres). A propos de nombre calculable je proposerai au moins de citer Turing (c'est quand même le premier), un paragraphe sur les nombres calculables serait utile. Je peux essayer de faire quelques corrections, mais il me semble que le plus simple serait de décrire ce que l'on constate (par exemple qu'il n'y a pas de définition formelle dans les références, ce qui me semble en contradiction avec le fait de dire qu'une définition informelle n'est pas satisfaisante, puisque des gens sérieux s'en satisfont !). Il faudrait quelques références : le dessin (si c'est bien celui de Delahaye, c'est une citation, ce qui est légitime, mais il est indispensable que cela apparaisse). Il faudrait aussi un peu expliciter (et sourcer) l'histoire de l'ensemble des nombres définissables de mesure nulle : que ça vienne de Chaitin ou de Borel, ils veulent dire quelque chose à ce sujet, ça m'étonnerait qu'ils étudient les propriétés des nombres définissables. Tu as le bouquin de Chaitin, que je n'ai pas lu, qui doit contenir des choses, pourquoi ne pas parler de ce qu'il dit sur le sujet, plutôt que deviner ce qu'il ne dit pas ? Proz (d)

On peut laisser Oméga de côté, cela complexifie et parasite dans un sens la discussion sur l'article lui-même. Pour beaucoup de raisons, dont un échange de mail avec Delahaye qui date de quelques années (je n'ai pas dialogué souvent avec lui, juste deux fois) je pense que Delahaye insiste beaucoup sur la définissabilité de Oméga. Mais je me rends compte avec toi que c'est peut-être un peu POV, et que tout le monde ne voit pas les choses comme cela.

Tout à fait d'accord pour ajouter des éléments sur la calculabilité et les nombres calculables.

Au sujet de "ce que l'on constate", "qu'il n'y a pas de définition formelle dans les références", c'était mon constat et mon point de vue avant d'écrire à Delahaye. Ayant explicitement soulevé ce point dans le mail (où je lui disais : il y a un problème, il n'y a pas de définition dans les sources, y compris les vôtres), il a répondu : "sisi, il existe une définition, et la voici"; relis bien le mail. Et cela résoud de plus la contradiction que tu soulèves : les gens sérieux ne se satisfont pas de la définition informelle, ils doivent utiliser la définition rapportée par Delahaye, ou du même style.

Tout à fait d'accord pour expliciter d'avantage les propriétés des nombres définissables, dont leur mesure nulle. C'était dans mes intentions, mais déjà il y avait à se mettre d'accord sur le contenu actuel.

Enfin, sur le fait de deviner ou pas ce que les auteurs disent ou pas, j'essaye - au maximum - de m'en tenir à ce que Delahaye a DIT dans son mail. En tout cas c'est mon intention, et c'est la base de mon intervention sur cet article. Il y a des informations intéressantes, et même précieuses, dans ce mail et qui n'existaient pas dans l'article originel. J'essaye tout simplement de les reporter dans l'article. --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 mars 2009 à 13:03 (CET)

En parcourant la version du 25 avril 2008 à 23:27 Je tombe sur le passage suivant :

On remarque que le corps des nombres définissables est donc "bien plus grand" que le corps des nombres calculables au sens que les nombres définissables incluent un T - espace vectoriel de dimension infinie (T comme Turing).

D'où ça sort ? Soit le contributeur qui avait mis ça ne manquait pas d'imagination, soit il y a quelque part une source qui en parle. --Michel421 (d) 2 mars 2009 à 19:11 (CET)

Cela semble bizarre. De plus, les deux ensembles étant dénombrables, je ne vois pas - a priori - comment il pourrait être "bien plus grand".. Reste à savoir quelle est la définition de "nombre définissable" relative à cette affirmation.. --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 mars 2009 à 20:03 (CET)

nbs réels aléatoires

Bonjour, je suis circonspect face à la phrase le constat que quasiment tous les nombres réels sont aléatoires (chose aussi dite je crois dans l'article suite aléatoire ) qui a priori me semble fausse ou mal exprimée : Certes l'ensemble des réels aléatoires n'est pas dénombrable (quoiqu'il faudrait tout de même le sourcer), mais il me semble que son complémentaire ne l'est pas non plus. Pensons par exemple qu'à tout réel aléatoire on peut associer un réel qui ne l'est pas en doublant chacun de ses chiffres (ce qui le rend compressible et via non aléatoire, non ?): exemple : 0, a1 a2 a3 ... >> 0, a1 a1 a2 a2 a3 a3 ... où les a_i sont des chiffres.

Je me trompe p.-e. mais il me semble que si un tel constat est bien avéré il faudrait le sourcer.

--Epsilon0 ε₀ 3 mars 2009 à 19:47 (CET)

En effet, ce n'est pas évident et un sourçage est nécessaire. Chaitin consacre un paragraphe de son livre à ce sujet, mais sans donner de démo. Mais c'est explicitement dit. --Jean-Christophe BENOIST (d) 3 mars 2009 à 20:13 (CET)

En plus de la ref que j'ai ajoutée, une phrase de Delahaye qui en dit un peu plus « L'ensemble des nombres non aléatoires est de mesure nulle dans R, mais est non dénombrable et dense quand même » (Information, Complexité et Hasard, p. 95). Intuitivement, ton argument est frappant, mais il semble que dès qu'il est question d'infini non dénombrable, l'intuition n'est pas bonne conseillère (d'où nécessité de sourcer !) --Jean-Christophe BENOIST (d) 3 mars 2009 à 20:41 (CET)

Ah Delahaye dit cela, est-ce dans un article paru dans PLS (je n'ai pas le livre) ? --Epsilon0 ε₀ 3 mars 2009 à 21:35 (CET)

Je l'ai vu dans le livre; aucune idée si c'est également dans un article PLS. --Jean-Christophe BENOIST (d) 3 mars 2009 à 22:02 (CET)

Bon je regarderai en librairie et tb pour ta source. J'avoue que je ne maîtrise pas la notion de mesure d'un sous-ensemble sur cet ensemble (i.e. notion d'Ensemble négligeable ), mais c'est sans doute là que mon exemple doit achopper. Sinon pour la densité (à moins que je comprenne mal) c'est assez évident vu que Q est dense sur R. --Epsilon0 ε₀ 3 mars 2009 à 22:08 (CET)

Je ne l'ai pas dit explicitement, tant je vois que Jean-Christophe et moi sommes d'accord et nous comprenons à mi-mots (sans doute par "imprégnation" [au sens éthologique du terme] commune à la notion d' "aléatoire" par les textes de Delahaye qui expose si bien cette notion peu exposée par ailleurs), mais c'est toujours mieux de le faire au moins pour les autres lecteurs potentiels de cette page : Donc quasiment tous les nombres réels sont aléatoires est une phrase correcte (malgré mon doute initial) mais quasiment tous concerne non la notion de cardinalité (où mon exemple de fonction injective montre que l'ensemble des nbs non-aléatoires à au moins la même cardinalité que ceux-ci) que la notion de mesure (sujet, pour me répéter, que je ne maîtrise pas). En bref le doute qui m'a fait initier cette section est levé par les références de Jean-Christophe que je remercie. Mais bien sûr m'intéresse moi aussi de comprendre la démonstration de ce fait constat ;-) Voilou --Epsilon0 ε₀ 4 mars 2009 à 09:57 (CET)

Si quelqu'un a accès à ce texte

Je vois sur en:Tarski qu'il a écrit un article en 1931 s'intitulant "Sur les ensembles définissables de nombres réels I," Fundamenta Mathematica 17: 210-239. Si quelqu'un y a accès il peut être intéressant de voir ce qu'il dit. --Epsilon0 ε₀ 7 mars 2009 à 20:31 (CET)

Très intéressant en effet. Dommage qu'il ne soit pas facilement accessible. --Jean-Christophe BENOIST (d) 8 mars 2009 à 01:25 (CET)

Les archives des Fundamenta mathematicae (revue polonaise) sont accessibles en ligne ici http://matwbn.icm.edu.pl/spis.php?wyd=1&jez=en . Mais ça n'avancera guère, il s'agit d' ensembles de réels définissables (les réels sont plutôt des ensembles d'entiers). C'est la définissabilité au sens usuel en logique (pas le votre), probablement quelque chose genre en:analytical hierarchy (c'est un papier de recherche de 1931, sur un sujet où les choses se sont bien précisées depuis !).

Je propose quand même de faire disparaître ce que vous appelez "définissable dans un système formel". Je ne vois pas le sens que ça peut avoir en général (je peux argumenter, mais bon, il n'y a pas de source ...). Je propose de revenir à la définition logique traditionnelle, et si vous y tenez de remarquer (avec précautions) qu'elle pourrait se formaliser dans ZF (pour l'arithmétique par ex, pas pour ZF). Proz (d) 8 mars 2009 à 22:45 (CET)

Je ne comprends pas quand tu dis "ce que VOUS appelez". Tu devrais dire "ce que JP Delahaye appelle", car cette définition et ce terme vient de lui (entre autres). Il est sans doute possible de faire apparaitre dans cet article les deux définitions, celle de la logique traditionnelle, et celle de Delahaye (qui est probablement aussi celle de Chaitin et d'autres, je ne pense pas que JPD l'aie inventé). Je ne vois pas pourquoi l'une pousserait l'autre vers la sortie. "Définissable dans ZF", et "Définissables dans un système formel" sont employés dans des sources dignes de ce nom, et ce concept permet de comprendre le nombre Oméga, pas la définition de la logique traditionnelle. Les deux existent, les deux devraient apparaitre dans un article encyclopédique. Après, faire apparaitre l'une en priorité plutôt que sur un pied d'égalité, pourquoi pas aussi (il semble que la notion de logique traditionnelle soit plus connue/mieux sourcée), mais les informations présentes devraient être conservées, a priori. --Jean-Christophe BENOIST (d) 8 mars 2009 à 23:05 (CET)

La théorie des ensembles n'est pas n'importe quel système formel. On peut concevoir que l'on a un univers ensembliste, et que la sémantique Tarskienne se formalise dans ZFC (pas pour ZF elle même, mais on en est bien loin ici). La définition actuelle n'a pas de sens en général (pourquoi un système formel permettrait-il forcément de parler des réels ? Pourquoi deux systèmes différents, par ex. de th. des ensembles parleraient-ils des mêmes réels ? Qu'est-ce qui m'empêche d'ajouter une constante à mon système formel et d'axiomatiser que c'est un entier supérieur à tout entier standard ? Il deviendrait définissable ? En quel sens ?). Elle n'a pas de source (c'est une extrapolation à partir d'un mail). Les nombres Omega sont tout à fait définissables (au sens usuel) dans l'arithmétique du premier ordre (par exemple au sens où le graphe de la fonction d'énumération des bits, qui est un ensemble de couples d'entiers, l'est). Pour comprendre les nombres Omega, il faut déjà comprendre leur définition (celle de l'article wikipedia est très probablement fausse, au passage), franchement je ne vois pas en quoi ça aide de disserter sur la notion de nombre définissable (rien de tel d'ailleurs dans l'article de Chaitin de 75 qui introduit Omega, que vous trouvez sur son site), surtout de façon aussi incertaine. Ceci dit je laisse tomber. Cet article c'est le sparadrap du Captaine Haddock. Proz (d) 9 mars 2009 à 00:25 (CET)

On pourrait prendre le problème dans l'autre sens : qu'est-ce que - à ton avis - on peut reprendre du mail de Delahaye, et dans quelle formulation ? Cette définition ne concerne pas spécifiquement les réels, et cet article n'est pas centré sur les réels; des SF différents peuvent spécifier différents ensembles de nombres. En ce qui concerne l'exemple de l'axiome en plus, il reste à prouver (si cela est possible !) que le SF résultant est non-contradictoire, ce qui n'est pas évident a priori.

Ce que je ne comprends pas vraiment dans cette discussion, et ce que tu n'as jamais expliqué explicitement, c'est dans quelle mesure tu mets en cause les informations données par Delahaye. JPD parle (clairement, et sans extrapolation) de "Nombre définissable dans un système formel", et tu dis que cela n'a pas de sens, voire tu proposes d'évacuer cette notion. C'est là où je bloque. Honnêtement, si tu te proposes de "traduire" le mail de Delahaye dans cet article, et d'en reporter la définition et les informations principales, cela me va tout à fait. En supposant que tu trouves pertinentes les informations de Delahaye, ce qui n'est pas clair. Si tu pouvais, avant de te retirer si tel est ton souhait (et ce serait dommage), t'expliquer sur ce point, au moins on ne resterait pas sur un malentendu. --Jean-Christophe BENOIST (d) 9 mars 2009 à 01:08 (CET)

Dans les critères ou pas ?

Le terme est-il notoire? A-t-il été utilisé dans des publications à comité de lecture? Dans quel sens? Est-il possible de donner des infos vérifiables sur le sujet? --Michel421 _{parfaitement agnostique} 9 janvier 2010 à 23:33 (CET)

Le terme "nombre définissable" est largement employé par Delahaye (mais j'ai dû lui écrire pour avoir la définition : rappel), et "nombre nommable" par Chaitin, dans les mêmes contextes (surtout par rapport au nombre Oméga et à la notion de calculabilité). Sans parler de Janvresse, Zwirn et j'en passe. Cette notion est indispensable pour caractériser certaines propriétés du nombre Oméga, qui n'a pas grand intérêt si cette notion n'existe pas, puisque son principal intérêt est de montrer qu'il existe des nombres définissables, mais non calculables et que ces deux notions sont différentes. Je ne vois pas comment ces auteurs (surtout Chaitin) peuvent parler des propriétés des nombres définissables (dénombrabilité, relation avec la calculabilité, relations d'inclusions avec d'autres ensembles de nombre, propriété de Oméga), si ce concept n'existe pas et n'a pas de sens mathématique. On peut repartir dans le débat, si tu veux, mais je n'ai pas d'éléments nouveaux, et toi non plus. Donc je ne dirais rien de plus que tout ce que j'ai déjà dit ci-dessus.

Il me semble que cette source http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Definable_number/, adoubée par Delahaye (voir mail), qui doit correspondre à une ancienne version de l'article sur WP:en, dit l'essentiel. Mais, comme je suis honnête (cela me perdra), je reconnais qu'il y a manque cruel de sources (mais pas absence, loin de là), et qu'il est légitime de poser cette question. Je pense sincèrement que l'article est admissible, surtout dans le contexte du nombre Oméga. Mais sa réalisation est difficile, dû au manque de source spécifiquement consacrée au sujet, et je suis d'accord qu'il faut être prudent. Je tiens trop aux principes de Wikipédia pour défendre mordicus un article qui n'a pas toutes les assises souhaitables selon ces règles. Nous sommes peut-être dans un cas où "un concept existe, est utilisé dans des sources primaires et secondaires, mais l'absence de source spécifiquement consacrée au sujet rend difficile, voire impossible sa réalisation sans introduire une dose non acceptable de TI". Cette position est défendable. Mais je pense d'un autre côté que l'état actuel a été fait avec le maximum de bonne volonté et de bonne foi, reste collé aux sources, et à la communauté de voir si c'est raisonnable de le remettre en cause ou si c'est de l'ordre de l'excès de zèle. Mais la vérité est sans doute entre les deux, mais où ? Jean-Christophe BENOIST (d) 10 janvier 2010 à 00:33 (CET)

Franchement je ne sais qu'en penser, entre Proz qui dit que Chaitin ne s'intéresse pas spécialement à ce concept, duquel il ne voit qu'une définition informelle, et toi qui dis que la constante de Chaitin n'a d'intérêt que par rapport au même concept, duquel tu vois une définition formelle, il ne paraît guère possible d'avancer l'article dans une direction qui satisfasse tout le monde. Et il est assez difficile, au vu des sources fragmentaires dont nous disposons, de trancher dans un sens ou dans l'autre.--Michel421 _{parfaitement agnostique} 10 janvier 2010 à 19:54 (CET)

Honnêtement, je ne suis pas satisfait non plus de l'état de cet article. L'idéal serait de faire une article comme Suite aléatoire, qui est une notion comparable (notion à la base intuitive, formalisable/formalisée, sujette à paradoxes (du même ordre), liée à la théorie algorithmique de l'information.. beaucoup de similitudes), et je pense que ce sera possible, et je reste attentif aux sources qui sortent. Si quelqu'un pense qu'il y a "péril en la demeure" avec cet article, on peut envisager des purges, voire une PàS, mais je ne crois pas qu'il y aie "péril". En tout cas, je tiens à dire que si qqun purge ou fait une PàS, je ne lui en voudrais pas. Je comprends. Jean-Christophe BENOIST (d) 10 janvier 2010 à 20:12 (CET)

Il me semble que l'on est justement dans un cas où le respect des critères nous aurait évité la création de cet article et un débat long et répétitif. Pour faire le point :

1. Le concept de définissabilité (au sens usuel) est bien connu et central en logique. La théorie des modèles est essentiellement l'étude des structures du point de vue de la définissabilité. Un ensemble définissable par une formule dans un modèle est l'ensemble des éléments du modèle qui vérifient cette formule. Cette notion est très utilisée en th. des ensembles (souvent avec des paramètres). Sources : consulter l'index d'un livre de théorie de ensembles, Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] par ex., ou Jech "Set Theory". Je rappel qu'en th des ensemble un réel est un ensemble. Il y a un rapport avec la preuve d'existence et d'unicité dans une théorie des ensembles à cause de ces deux axiomes axiome de compréhension et axiome d'extensionnalité, mais ce n'est certainement pas pour rien que ce n'est pas dit de cette façon dans les livres, et ça n'a pas de sens dans un système formel quelconque.

2. On ne peut pas utiliser un mail de qui que ce soit comme source ni comme joker pour éviter les sources. habituellement, personne n'écrit pas un mail comme un article. De plus ça met les autres contributeurs (moi par exemple) dans l'embarras de devoir commenter, hors du contexte dans lequel il a été écrit, un mail qui ne leur est pas adressé.

3. http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Definable_number est explicitement une copie de wikepedia en, l'ancienne version qui a été modifiée pour de bonnes raisons, explicitées dans la pdd.

4. Quand une notion est peu sourcée c'est justement un critère objectif pour dire qu'elle n'est pas indispensable ni importante. Je réponds quand même à ce qu'écrit JC Benoist ci-dessus : du point de vue de la définissabilité (qui est arithmétique dans ce cas), le nombre omega n'a pas de propriétés que n'a pas déjà la fonction qui donne l'arrêt d'un programme (voir en:halting problem K ou la fonction appelée h). L'intérêt de Omega n'est sûrement pas de montrer la différence entre calculable et définissable (quelque chose qui est déjà explicitement dans l'article de Turing 1936, c'est facile à vérifier pourtant !). Il est lié à la complexité algorithmique, à l'aléatoire. Si on s'en tenait à l'aspect objectif (pas de source suffisante), je n'aurai pas besoin d'écrire ce genre de truc.

5. Même dans leurs articles de maths, les mathématiciens n'écrivent pas que des énoncés mathématiques. Le problème n'est pas que "définissable" n'a pas de sens, c'est qu'il peut être pris informellement, où qu'on peut lui donner plusieurs sens, mais que ça n'a pas grande importance dans le contexte. S'il s'agit d'une notion vraiment utile pour la partie mathématique (pas pour des commentaires), il est bien sûr requis de le définir sans ambiguïté. Si ce n'est pas fait c'est que ça n'est pas utilisé mathématiquement. On ne sort pas de là. Le livre de Borel, que je n'ai pas lu, n'est pas un live de math., il part, si j'en crois l'article d'une notion plutôt non formelle, ça ne l'empêche sûrement pas d'écrire des choses intéressantes sur les mathématiques. Si les auteurs des articles ou livres cités ne formalisent pas nous n'avons pas à le faire à leur place.

6. Il est tout à fait possible qu'un article sur la notion de nombre accessible chez Borel soit admissible par ex., d'autant plus si elle est commentée ou prolongée par Chaitin (avec une source là dessus, pas une simple assertion comme la première phrase de l'intro actuelle).

Pour terminer, il me semble qu'effectivement si on s'en tenait aux critères, on n'aurait probablement pas d'article à écrire ; que même s'il y a un article à écrire, si on s'en tenait aux sources, on éviterait de mettre des définitions formelles là où les auteurs n'en mettent pas (en expliquant de plus que sinon c'est "insuffisant" !). En attendant, je suggère au minimum de remettre le bandeau de pertinence, histoire de ne pas égarer le lecteur. Proz (d) 10 janvier 2010 à 20:14 (CET)

Réponse à l'échange plus haut : je ne me souviens pas avoir écrit que Chaitin ne s'intéressait pas spécialement au concept de nombre définissable ; à l'époque je suis allé voir ses articles mathématiques sur le sujet (assez superficiellement) ainsi que celui de Solovay. je crois que l'on peut dire que mathématiquement la notion n'est pas utilisée. Pour l'importance de la notion, cf. ci-dessus, je suis d'accord, ça a beaucoup plus de rapport avec suite aléatoire. Maintenant Chaitin a beaucoup écrit de textes sur ces travaux qui seraient de nature plutôt "philo" des maths (je ne sais pas si les philosophes sont d'accord), que je n'ai pas lu.

Pour la suppression : c'est peut-être la meilleure solution, il y a quand même une partie correcte de l'article qui est peut-être récupérable. Et un article "nombres inaccessibles" (selon Borel) ? proposition que je n'assumerai pas je le précise, je ne connais pas le livre. Proz (d) 10 janvier 2010 à 20:35 (CET)