Discussion:Méthode des surfaces de niveau

Questions sur la méthode de surface des niveaux

Je colle ici une discussion qui s'est déroulée sur ma page [1] cdang | m'écrire 3 janvier 2017 à 11:11 (CET)

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Bonjour Cdang, Je suis étudiant en 1ère S et dans la cadre d'un TPE sur les effets spéciaux, je suis amené à travailler sur la méthode de surface des niveaux. J'ai pu constater que vous aviez contribué sur cette page il y a quelques temps : https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_des_surfaces_de_niveau et c'est donc pourquoi je me tourne vers vous. Les formules sur cette page sont assez compliquées et certainement pas de mon niveau. C'est pour cela que je me permet de vous demander si vous pouviez m'expliquer cette notion en moins compliqué et plus clairement ? Je vous remercie d'avance pour votre aide, Cordialement, Un èleve de 1ère S--TPE-Effets-Speciaux (discuter) 30 novembre 2016 à 16:06 (CET)

 TPE-Effets-Speciaux : Mmmm, alors j'ai clarifié la présentation, cela ne signifie pas que je maîtrise le sujet. De plus, ma 1re S remonte à 1988 alors je ne sais pas quel est le programme maintenant ^_^

Le problème

On sait assez facilement étudier le mouvement d'une voiture sur une route : c'est l'objet de la cinématique du point. Considérons un bateau qui navigue dans une mer agitée. C'est un peu comme étudier le mouvement d'une voiture sur une route qui se déforme, qui fait des vagues. C'est l'objet de la présente étude.

Notations

Disons que x représente le vecteur position — le gras remplace la flèche —, en gros si l'objet est représenté par un point M, on note $\mathbf {x} ={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}$.

Ensuite, dans un espace à deux dimensions muni d'un repère orthonormé direct (O, x, y), de nombreuses courbes peuvent être représentées par une équation de type φ(x, y) = 0. Par exemple,

• une droite est représentée par ax + by + c = 0, voir Droite (mathématiques)#Espace affine de dimension 2
  donc φ(x, y) = ax + by + c ;
• un cercle de centre C(x_C, y_C) et de rayon r est représenté par (x – x_C)² + (y – y_C)² - r² = 0, voir Cercle#Équations cartésiennes et paramétriques
  donc φ(x, y) = (x – x_C)² + (y – y_C)² - r².

Ici, comme la courbe se déforme avec le temps, on rajoute un paramètre t : la fonction s'écrit φ(x, y, t). Et comme le vecteur x est le vecteur de composantes (x, y), on écrit pour faire court φ(x, t).

La courbe elle-même est appelée Γ ; comme elle se déforme en fonction du temps, la courbe est une fonction du temps Γ(t). À un instant t donné, Γ(t) est l'ensemble des points x vérifiant φ(x, t) = 0, ce qui s'écrit pour faire court Γ(t) = {x | φ(x, t) = 0}.

Déformation de la courbe et vitesse

Courbe qui se déforme.

Bon, maintenant, on veut savoir comment la courbe Γ se déforme avec le temps. Si la courbe se déforme, ça veut dire que chaque point de la courbe a une vitesse. Dans l'animation ci-contre, on voit une courbe qui se déforme (c'est une vague sur la mer par exemple) et les flèches noires représentent les vitesses des points (nous ignorons ici les flèches bleues). À un instant t, on peut donc définir en chaque point (x, y) de la courbe un vecteur vitesse noté v ; là encore, le gras remplace la flèche, on pourrait aussi le noter ${\vec {v}}$.

Il se trouve que la vitesse est définie comme la variation de la position avec le temps, c'est-à-dire comme la dérivée de la position en fonction du temps : ${\vec {v}}=\mathrm {d} {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\mathrm {d} t$, ou encore avec les notations en gras v = dx/dt. Sauf que là on ne prend pas n'importe quel point, on prend les points de Γ. Ça veut dire qu'on peut avoir une écriture faisant intervenir la fonction φ.

Bon, là, il faut un bagage théorique supplémentaire, la notion de flux : un petit volume contient une quantité q de « quelque chose ». Cette quantité varie en fonction du temps. Si ce « quelque chose » ne peut pas apparaître ou disparaître comme par magie, ça veut dire qu'il y en a qui est sorti ou rentré. Donc il y a eu un flux de « quelque chose » à travers la surface délimitant le petit volume. Par exemple, si mon quelque chose c'est des boîtes de conserve et que le volume c'est un rayon de supermarché, alors si la quantité q de boîtes sur le rayon varie, c'est que des boîtes sont sorties (ont été achetée) ou sont rentrées (ont été mises en rayon). On peut donc écrire que la variation en fonction du temps de la quantité, dq/dt, est égal à la résultante du flux (différence entre ce qui est entré et ce qui est sorti).

Donc, là, la quantité q, c'est simplement la valeur de φ. Puisque l'on s'intéresse au mouvement des points de la courbe, on s'intéresse à la variation de la valeur de φ en fonction du temps, dφ/dt.

Et le flux alors. On comprend bien que le flux, c'est une quantité emportée par une vitesse, la quantité φ emportée par le vecteur vitesse v. Donc le flux ça s'exprime par le produit φ × v. Mais nous, ce qui nous intéresse, c'est le bilan entre flux entrant et flux sortant.

Il y a un truc assez logique, c'est que les mouvements vont « vers le bas » : une balle descend naturellement une pente (altitude descendante), l'air va naturellement des hautes pressions vers les basses pression (pression descendante). Quand on regarde le sens de la variation d'une quantité, on regarde la dérivée de cette quantité, mais cette fois-ci par rapport à x et à y ; c'est exactement la même chose que le sens de variation d'une fonction : pour étudier les variations d'une fonction, on étudie sa dérivée.

Bon, là, comme il faut dériver par rapport à x et à y et qu'en plus la variation est un vecteur, on ne parle pas de dérivée mais de gradient. Et on note ça avec un signe bizarre ∇ appelé nabla. Bref, écrire ∇(φx), c'est calculer la variation du flux quand on passe d'un point à un autre. On montre très bien que, dans un petit volume, il y a un lien entre la variation de la quantité en fonction du temps dφ/dt et la variation du flux en fonction de la position ∇(φx) puisque c'est cette variation du flux qui fait que ça rentre d'un côté (flux positif) et que ça sort de l'autre (flux négatif). Voir Équation de conservation.

C'est le sens de la formule

dφ/dt + ∇(φx) = 0

qui est peut-être plus claire sous la forme

dφ/dt = –∇(φx)

la variation de la quantité en fonction du temps dφ/dt est égal au bilan du flux –∇(φx).

Les intersections de la surface φ(x, t) = 0 (en rouge) par des plans t = t₀ (en bleu) donnent les courbes grises.

Le rapport avec le problème ?

Hé bien, là, on n'a étudié que la courbe qui se déforme, mais n'oublions pas qu'on final, ce qui nous intéresse, c'est le mouvement de l'objet sur cette courbe. En l'état actuel de l'article, on n'a que ça (et je serai bien en peine de vous en dire plus, ce n'est pas mon domaine de travail). Mais déjà, on a un outil mathématique qui permet de représenter la route qui se déforme.

L'idée, ensuite, c'est de se dire : et si on considérait que le temps t était une troisième dimension de l'espace, t = z ? En fait, l'équation φ(x, t) = 0, c'est-à-dire φ(x, y, t) = 0, représente une surface dans le repère (O, x, y, t). Et donc à un instant t₀, la courbe Γ(t₀) considérée est simplement l'intersection de la surface d'équation φ(x, y, t) = 0 par le plan d'équation t = t₀.

Et étudier le mouvement d'un véhicule sur la courbe se déformant Γ(t) c'est comme étudier le mouvement d'un véhicule sur la surface immobile d'équation φ(x, y, t) = 0 (t étant ici utilisé comme une coordonnée dans l'espace) ; ça, on sait faire facilement.

C'est plus clair comme ça ?

cdang | m'écrire 30 novembre 2016 à 18:20 (CET)

Merci beaucoup d'avoir passé autant de temps à me répondre. En effet grâce a votre réponse je comprends mieux le sujet. — TPE-Effets-Speciaux 7 décembre 2016 à 15:29‎

Service (-: — cdang | m'écrire 7 décembre 2016 à 20:13 (CET)