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Nabla, noté ou selon les conventions utilisées, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse vectorielle qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé en dimension 3 pour représenter aisément plusieurs opérateurs vectoriels, couramment utilisés en électromagnétisme et en dynamique des fluides.

Origine historiqueModifier

La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel.

La définition, mais sans intitulé, du nabla a été introduite par William Rowan Hamilton en 1847[1], et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (« delta » à l'envers) par James Maxwell dans ses correspondances, le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom (νάβλα, nábla)[2].

Emploi moderneModifier

Article détaillé : Analyse vectorielle.

Nabla est un opérateur différentiel vectoriel. En coordonnées cartésiennes   par rapport à une base   de l'espace euclidien de trois dimensions, il s'écrit sous la forme :

 , ou sous forme matricielle :  

Dans la définition d'origine proposée par le mathématicien et physicien irlandais William Rowan Hamilton, la base   était initialement formée par les trois éléments de base des quaternions.

Cet opérateur est employé en analyse vectorielle. Si   est un champ scalaire et   un champ vectoriel, l'opérateur nabla permet d'exprimer formellement trois opérations fondamentales :

  • le gradient d'une fonction scalaire en un point correspond formellement au produit du vecteur nabla par un scalaire fonction de ce point, dont le résultat est un vecteur ː
 

(à remarquer que dans cette notation, le vecteur nabla précède le scalaire, contrairement à l'ordre habituel de notation) ;

  • la divergence d'une fonction vectorielle d'un point correspond formellement au produit scalaire de nabla par cette fonction vectorielle, dont le résultat est un scalaire ː
  ;
  • le rotationnel d'une fonction vectorielle d'un point correspond formellement au produit vectoriel de nabla par cette fonction vectorielle, dont le résultat est un pseudo-vecteur ː
 .

De plus, l'opérateur peut être réitéré, ce qui correspond formellement aux dérivées secondes du laplacien, donnant :

  ;
 .

Lorsqu'il existe plusieurs repères, le symbole peut être affecté d'une lettre en indice pour préciser celui auquel l'opérateur se réfère.

Formulaire d'analyse vectorielleModifier

La liste ci-dessous rassemble les définitions des principaux opérateurs utilisés en analyse vectorielle qui peuvent s'exprimer à l'aide de l'opérateur nabla, dans différents systèmes de coordonnées.

Opération Coordonnées cartésiennes   Coordonnées cylindriques   Coordonnées sphériques  
Définition
des
coordonnées
   
       
       
       
       
   

 
 

 

  

 

 
 

       
   
 

  

 

  

L'utilisation des expressions de   dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments  ,   et  . Ces derniers sont des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à  ,   et   qui ont des dérivées nulles).

Autre usageModifier

En langage APL, le signe nabla ou del (∇) signifie qu'on désire entrer ou sortir du mode de définition d'une fonction.

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Liens externesModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Ivor Grattan-Guinness, Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940, Elsevier, , 1 022 p. (ISBN 0444508716), p. 466.
  2. (en) Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, 383 p., p. 143-145.