Discussion:Méthode de descente infinie

Frenicle de Bessy

Il semble que c'est frenicle de Bessy qui publia la première démonstration utilisant la descente infinie dans la démonstration du grand théorème de Fermat pour n=4 et cela sur une idée de Fermat. Rappelons que Fermat ne publia quasiment rien de son vivant et que son fils eut bien du mal à rassembler les lettres de son père tant ceux qui les avaient reçu voulaient les utiliser pour leur propre "gloire".Claudeh5 4 octobre 2007 à 19:22 (CEST)

titre de l'article

Si le fond de l'article ne pose pas problème, le titre lui en pose un: il ne s'agit nullement d'un théorème mais d'une méthode. Je propose donc le renommage de cet article en "méthode de descente infinie".Claudeh5 9 octobre 2007 à 19:09 (CEST)

arithmétique modulaire

Désolé pour Jean-Luc W mais cette méthode ne fait pas partie de l'arithmétique modulaire.Claudeh5 17 octobre 2007 à 09:59 (CEST)

remarques diverses

Désolé mais la démonstration de l'irrationalité de racine de 2 se fait par l'absurde (et une contraposée), pas par descente infinie: l'argument utilisé est seulement le caractère irréductible de la fraction de départ.

Désolé aussi de devoir demander que lorsque l'on modifie un texte, on vérifie la cohérence du nouveau texte sans ajouter une redite...Claudeh5 (d) 2 janvier 2008 à 09:36 (CET)

Quelques autres remarques

J'ai indiqué la source de la méthode de descente dans une preuve de Fermat. Le Traité de Frenicle n'est paru qu'en 1676 (il y a effectivement une version manuscrite antérieure, avec la preuve du Grand Théorème pour n=4, je ne sais pas s'il faut rajouter cela). De toute façon si on prend la descente dans le sens donné ici, c'est bien antérieur : la propriété apparaît dans Euclide (et elle est explicitée comme axiome mais si je me souviens bien, nous la trouvons seulement dans des versions médiévales), il y a une preuve assez détaillée utilisant ce principe chez Clavius, etc. En même temps, Fermat en fait vraiment un outil explicite pour rebâtir l'arithmétique. --Cgolds (d) 6 janvier 2008 à 18:10 (CET)

le traité de Frenicle de Bessy se trouve sur Gallica.Par contre j'aimerai bien des références précises pour clavius et surtout "les éléments".Claudeh5 (d) 6 janvier 2008 à 19:08 (CET)

Oui, et malheureusement la version des Arithmétiques de 1670 ne s'y trouve pas (je ne désespère pas !). Re: Euclide, la réf. classique est livre VII, prop. 31. Il y a aussi des débats à propos d'autres propostions (cela dépend des versions, bien sûr) type IX 13. Itard discusse cela p. 74 de son livre sur Les Livres arithmétiques d'Euclide et c'est aussi dans les réfs que j'ai indiquées. Quant à Clavius (cf. aussi les réfs), on vise par exemple p. 196-197 de l'édition de 1603, lorsque Clavius prouve ce que nous appelons l'irrationalité de √5 (il n'est pas possible de diviser un nombre en deux de sorte que le nombre égal au total multiplié par une partie soit égal au carré de la partie restante), il utilise l'impossibilité d'un nombre d'être divisé à l'infini. C'est Genocchi en 1855 qui fait ce lien avec la méthode de Fermat (je crois), repris par exemple dans Cassinet, etc. A vrai dire, je pense qu'il y a une différence substantielle entre l'utilisation de cette propriété comme axiome ou principe, comme chez Euclide ou Clavius, et sa mise en oeuvre comme méthode comme fait Fermat (c'est discuté un peu dans Un théorème de Fermat et ses lecteurs, PUV, 1995, ). Amitiés, --Cgolds (d) 6 janvier 2008 à 20:36 (CET)

peut-être que la version des arithmétiques de diophante par bachet et annotées par Fermat ne s'y trouve pas sur Gallica, mais j'ai récupéré je ne sais plus où les ouvres complètes de Fermat en 5 volumes par Tannery et consorts. J'essaierai de retrouver où. Mais ce qui est sûr c'est qu'il y a bien les arithmétiques de Diophante commentées: tome 1, 1891.Claudeh5 (d) 6 janvier 2008 à 21:45 (CET)

Il y a effectivement dedans les observations de Fermat (donc vous pouvez voir la 45e où il applique la descente très explicitement et vérifier les dates), mais pas la totalité de Diophante-Bachet-Fermat. Amicalement, --Cgolds (d) 7 janvier 2008 à 00:51 (CET)

ben c'est que le latin et moi sommes brouillés...Claudeh5 (d) 7 janvier 2008 à 13:26 (CET)

Tannery avait prévu cela (même s'il a jugé utile de traduire Diophante du grec en latin après, ce qui laisse rêveur sur leur niveau, soupir d'envie), donc il y a une traduction dans le tome III de l'édition des Oeuvres de Fermat de toutes les pièces en latin (dont les observations sur Diophante, dont la 45e). Bonne lecture infinie, amitiés --Cgolds (d) 7 janvier 2008 à 19:11 (CET)

mordell-Weil

J'espère que vous pPardonnerez ma remarque mais je dois dire que je ne comprends pas trop la présence dans cet article du théorème de Mordell-Weil (autrement que de manière anecdotique).Claudeh5 (d) 18 janvier 2008 à 23:03 (CET)

"Limites"

J'ai supprimé ce § qui me semble peu pertinent : cette limite s'applique aussi à la démonstration par récurrence et, pour autant, je n'ai jamais entendu dire que c'était une limite de la preuve par récurrence que de ne s'appliquer qu'à des ensembles bien fondés. D'autre part, le terme "limite" me semble inapproprié. Ça sous-entend qu'on pourrait faire mieux, ce qui n'est pas le cas : si on applique la récurrence (ou la descente infinie) avec un ordre non bien fondé, la démo n'est pas correcte tout simplement. --Vincent Aravantinos (d) 2 avril 2010 à 18:42 (CEST)

Je suis d'accord, mais je pense que c'était juste une mise en garde, utile bien que mal rédigée, à destination du "lecteur lambda". Plutôt que de supprimer, il faudrait reformuler (y compris le titre, bien sûr). Pour le jour où quelqu'un voudra bien le faire, je copie ci-dessous le texte supprimé (qui figurait sous l'intitulé de section Limites juste après la première section Principe) :

On remarque que la descente infinie repose sur l'existence d'une taille (hauteur, norme, longueur...) entière et positive pour chaque solution. Elle ne s'applique donc pas à des tailles prises dans l'ensemble des entiers relatifs où la suite définie par $u_{0}=a$ et $u_{n+1}=u_{n}-1$ est strictement décroissante et infinie.

Anne Bauval (d) 2 avril 2010 à 22:06 (CEST)

Exemples

Je ne comprends pas bien le second exemple donné : la seconde phrase n'a pas de sens, et où intervient le point de coordonnées (p',q') ? Cette intervention non signé provient de Mastergreg82

Tiens cette modification m'avait échappée... Je me demande s'il ne faut pas la lire de la manière suivante  : On suppose l'existence d'un point M de coordonnées rationnelles sur le cercle, on suppose que ce point n'est pas de coordonnées entières. Il existe donc un point N de coordonnées entières dont la distance à M soit minimale. La droite (MN) recoupe le cercle en un point M' de coordonnées rationnelles. L'énoncé semble affirmer que si r est le plus petit dénominateur commun des coordonnées du point M et r' le plus petit dénominateur commun du second point M' alors r' < r. Si le cercle ne contenait pas de point de coordonnées entières, on créerait ainsi une descente infinie de dénominateurs communs r . Cependant, j'ai joué aux devinettes pour décrypter le texte et sans source, je ne peux pas affirmer que r' < r. Il me semble raisonnable de supprimer l'exemple si aucune source ni aucune démonstration n'est fournie. HB (d) 23 avril 2010 à 21:21 (CEST)

Sources trouvées et section réécrite. HB (d) 1 mai 2010 à 18:27 (CEST)

Pour le 1er exemple, la proposition étant vraie pour x = 0 et y = 0 je trouve qu'il faudrait être explicite sur le fait que (x/2 =) x1 < x n'est vrai que si x != 0 Jarod (d) 1 février 2013 à 20:08 (CET)