Discussion:Géométrie non euclidienne

Copyright ?

Une bonne partie de l'article ressemble un peu trop à [[1]]... on risque la violation de copyright, il faudrait sans doute modifier plus profondément le texte. FvdP 27 nov 2003 à 23:02 (CET)

deplacement des passages en question:

c'est à l'époque où les philosophes se posaient la question de l'unicité de l'espace que les recherches "parallèles" de Gauss, Bolyai et Lobatchevski ont conduit à la découverte de la géométrie hyperbolique; peu après les travaux de Riemann allaient mener à la géométrie elliptique.
Par la suite, Félix Klein a donné une interprétation qui unifiait à la fois les géométries euclidienne, elliptique et hyperbolique.

Le modèle de Klein relatif à la géométrie hyperbolique, c'est-à-dire la géométrie d'un plan possédant "presque toutes" les propriétés du plan euclidien mis à part le fait que par un point extérieur à une droite on peut mener plusieurs parallèles.

• les points du plan sont les points intérieurs à une conique d'un plan projectif.
• les droites sont les segments de droite intérieurs à la conique.
  

Henri Poincaré, dans un tout autre contexte, a donné un modèle de la géométrie hyperbolique dans le plan de la variable complexe.

ske 3 déc 2003 à 10:06 (CET)

remarque orthographique

La règle générale, en français, veut que le "non" précédant un adjectif soit placé simplement devant tandis que le "non" placé devant un nom prenne un trait d'union

On dira géométrie non euclidienne et réel non nul, mais un non-sens, un non-spécialiste. Le titre de l'article n'est donc pas tout-à-fait correct. HB 16 sep 2004 à 13:29 (CEST)

Hors sujet

Je reproduis ici les sections que j'ai supprimées et qui n'ont absolument rien à faire dans cet article. LeYaYa 5 juin 2006 à 20:00 (CEST)

DEBUT

L'espace visuel pur

C'est l'impression purement visuelle due à une image qui se forme sur le fond de la rétine. C'est une image continue à deux dimensions dans un espace limité et non homogène (différence bord / centre). La troisième dimension nous étant révélée par l'accommodation et la convergence, "Ce sont là des sensations musculaires tout à fait différentes des sensations visuelles qui nous ont donné la notion des deux premières dimensions... Ce que l'on peut appeler l'espace visuel complet n'est donc pas un espace isotrope. »

L'espace tactil

Poincaré ne s'étend guère sur l'espace tactile: "L'espace tactile est plus compliqué encore que l'espace visuel et s'éloigne davantage de l'espace géométrique."

L'espace moteur

Les sensations qui accompagnent tous nos mouvements et que l'on appelle ordinairement musculaires contribuent autant et plus à la genèse de la notion d'espace.

"Chaque muscle donne naissance à une sensation spéciale susceptible d'augmenter ou de diminuer , de sorte que l'ensemble de nos sensations musculaires dépendra d'autant de variables que nous avons de muscles. A ce point de vue, l'espace moteur aurait autant de dimensions que nous avons de muscles." "Les sensations qui correspondent à des mouvements de même direction sont liées dans mon esprit par une simple association d'idées.".

FIN

Quel intérêt ?

Serait-il possible d'inclure dans cet article l'intérêt (ou les intérêts) qu'il y a à utiliser un espace non euclidien ?

En effet, puisque nous vivons dans un univers où semblent s'appliquer correctement les lois de la géométrie euclidienne, pourquoi a-t-on imaginé d'autres géométries ?

Par ailleurs, sont-elles toutes vraiment valides ? Par exemple : les parallèles sur l'hyperbole... Je ne les trouve pas vraiment parallèles, moi. N'est-ce pas alors une redéfinition de ce qu'on appelle une parallèle ? Et dans ce cas, je peux dire moi aussi que 2 courbes qui ne se touchent jamais sont parallèles; que deux ivrognes qui déambulent sur le troittoir ont des trajectoires parallèles du moment qu'ils ne s'écrasent pas le nez l'un sur l'autre... :-)

Bon, plus sérieusement : à quoi ça sert tout ça ? i pour vos futurs éclaircissements.

Je pense que le Cinquième Postulat consiste simplement à dire que deux droites quelconques données sont soit parallèles soit sécantes . Tout le Génie d Euclide consistait alors à susciter un questionnement long de plus de deux milles ans : Comment passe t- on d un état à l un autre ? La solution fut trouvée à travers l introduction des espaces courbes ( Gauss , Bolyai et Lobatchevski) . Ce sont ces espaces courbes qui ont permis à Einstein de développer la Théorie de la Relativité . Mohwali Awamar

Bonjour à toi ô Anonyme :),

Merci pour tes commentaires sur l'article. Le feedback des utilisateurs est important. En attendant de l'améliorer pédagogiquement je te présente quelques éléments de réponse à tes interrogations qui éclaireront un peu ta lanterne je l'espère.

• Pour justifier l'introduction de géométries non-eculidiennes en physique je ne suivrai pas l'ordre historique de l'introduction de ces idées (car le cheminement des idées mathématiques est parfois très indépendant des nécessités imposées par le monde physique meme si au final les deux finissent souvent par se rejoindre): tu as raison de dire que dans les situations courantes, le monde que nous observons semble parfaitement euclidien. C'est la raison pour laquelle cette géométrie s'est appliquée avec grand succès pendant des siècles. Néanmoins, avec la découverte que notre univers est en expansion, avec la découverte que la lumière peut etre déviée par les corps très massifs, avec la découverte que la gravitation possède des effets tout à fait mesurables sur l'écoulement du temps, nous possédons aujourd'hui de nombreuses preuves qu'une géométrie purement euclidienne de l'espace-temps est tout simplement insuffisante à rendre compte de certains phénomènes naturels.
• sur la notion de parallèle: tu as raison de préciser que dans le contexte d'une géométrie non-euclidienne il est nécessaire de redéfinir ce qu'on entend par la notion de droite. Pour autant, l'extension de ce concept n'est pas arbitraire mais porte le nom de géodésique. Pour définir ceci il faut avant tout se souvenir que ce qui distingue un espace euclidien (comme le plan euclidien par exemple) d'un espace non-euclidien (comme le plan hyperbolique) c'est l'existence d'une métrique non-triviale (la métrique euclidienne étant par définition la métrique triviale, autrement dit l'étalon de longueur est dans ce cas partout le même). Cette structure te dit comment mesurer localement les distances au voisinage de chaque point de ton espace. Une fois que l'on a expliqué comment mesurer les distances on définit alors les géodésiques comme le (ou les) chemin(s) le(s) plus court (ou le plus long) pour se rendre d'un point A à un point B. Ta sensation que les géodésiques ne sont pas droites lorsqu'elles sont dessinées sur une sphère par exemple est lié au fait que ton esprit en réalité cherche toujours à ramener les choses dans un espace de représentation plan et euclidien (quand tu fais un dessin sur une feuille de papier par exemple). Nous sommes *codés* pour penser euclidien d'une certaine manière car cela correspond à notre expérience sensible. Dès lors que tu projette une géodésique d'un espace non-euclidien vers l'espace euclidien de représentation le résultat obtenu n'est plus géodésique sur ta feuille de papier ce qui te donne cette sensation. Mais encore une fois la notion de géodésique est très naturelle du point de vue de l'espace non-euclidien sur lequel elle est définie.

voilà voilà, n'hésite pas si tu as d'autres questions ou si je n'ai pas été assez clair. Bien cordialement, LeYaYa 28 octobre 2006 à 14:26 (CEST)

Aspects ludiques

J'ai supprimé la portion rayé de ce texte, j'ai beau chercher je ne vois pas le rapport avec avec les géométries non euclidiennes. Pour le premier lien j'ai un doute sur la pertinence mais je ne connais pas cette BD,

• PETIT, Jean-Pierre, Le géométricon, bande dessinée de la collection Les aventures d'Anselme Lanturlu, , éd. Belin,

énoncé faux

L'énoncé "par un point extérieur à une droite passe une parallèle et une seule" est faux tel quel. L'énoncé n'est vrai que dans un plan !Claudeh5 (d) 29 novembre 2007 à 18:28 (CET)

• site de Jean-Pierre Petit — noter que Jean-Pierre Petit est actuellement mis à l'écart de la communauté scientifique et selon ses propres mots : "interdit de médias", pour sa théorie des univers gemellaires et ses prises de positions controversées sur (1)des messages laissé par des visiteurs extraterrestres (les lettres Ummites) qui lui auraient inspiré nombre de ses travaux de recherche et (2)sur l'avance technologique considérable qu'auraient pris (principalement) les états-unis en développant (entre autres) la magnétohydrodynamique alors que de nombreux autres pays (dont la France) abandonnaient les recherches. Ses bandes dessinées possèdent des qualités pédagogiques remarquables.

- phe 14 décembre 2006 à 20:21 (CET)

Salut Phe, ok pour le commentaire rayé ca n'a rien à voir en effet, par contre la bd est une bonne introduction aux idées de la géométrie non-euclidienne, donc on peut le laisser. Bien cordialement, LeYaYa 15 décembre 2006 à 11:57 (CET)

Considérations d'ordre mathématique

"la géométrie euclidienne était à trois dimensions" (paragraphe 2) Je ne suis pas moi même mathématicien, mais je crois me souvenir que la définition d'une géométrie euclidienne n'est pas liée au nombre de dimensions : Ce que l'on appelle communément "géométrie plane" (celle enseignée aux enfants) n'est jamais qu'une géométrie euclidienne a 2 dimensions. Rien n'empêche de définir une géométrie a n dimensions, avec des propriétés euclidienne. Est-ce qu'un homme de science peut nous éclairer ?

Causes des Géométries Non-Euclidiennes.

Je pense que le Cinquième Postulat consiste simplement à dire que deux droites quelconques données sont soit parallèles soit sécantes . Tout le Génie d Euclide consistait alors à susciter un questionnement long de plus de deux milles ans : Comment passe t- on d un état à l un autre ? La solution fut apportée à travers l introduction des espaces courbes ( Gauss , Bolyai et Lobatchevski) . Ce sont ces espaces courbes qui ont permis à Einstein de développer la Théorie de la Relativité . Mohwali Awamar

Origine Des Géometries Non-Euclidiennes.

Je pense que le Cinquième Postulat consiste simplement à dire que deux droites quelconques données sont soit parallèles soit sécantes . Tout le Génie d Euclide consistait alors à susciter un questionnement long de plus de deux milles ans : Comment passe t- on d un état à l un autre ? La solution fut trouvée à travers l introduction des espaces courbes ( Gauss , Bolyai et Lobatchevski) . Ce sont ces espaces courbes qui ont permis à Einstein de développer la Théorie de la Relativité . Mohwali Awamar

Ces espaces courbes sont des espaces métriques, ce que ne sont ni l'espace "plat" de Minkowski, ni l'espace "courbe" de la RG (dans lesquels la notion de courbure n'a en fait aucun sens). 92.161.20.65 (discuter) 30 mai 2014 à 16:54 (CEST)

erreur

Omar Khayyam était perse, et non pas arabe ...

On comprend un texte qui parle de droites comme si ledit texte parlait de points !?

Postulat 1 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits

et qu'on peut comprendre comme :

Postulat 2 Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Comment peut-on expliciter le premier postulat avec les mots du second !!?

--Keller 977 (d) 6 mai 2011 à 01:00 (CEST) Il s'agit du même axiome, effectivement : si une droite coupe 2 parallèles, elle forme 2 angles dont la somme est égale à 180°. Si donc cette somme est inférieure à 180°, les droites coupées ne sont pas parallèles, c.à-d. : elles se rejoindront à un moment ou à un autre si on les prolonge. Et ce sera du coté où les angles formés avec la droite qui les coupe sont les plus petits. --Yceal (discuter) 21 mai 2014 à 08:42 (CEST)Yceal

Histoire

La section historique mériterait du travail, à coordonner avec la section «Historique» de Géométrie hyperbolique. Et pourquoi pas un article à part comme Histoire de la relativité restreinte. Je n'en n'ai pas très envie, et je ne connais pas le sujet, donc je ne m'y colle pas. Je laisse par contre une bonne ref à une bonne âme passant par là : Rossana Tazzioli, « Les géométries non euclidiennes. Histoire et historiographie », sur Images des maths, 28 décembre 2015. --Roll-Morton (discuter) 23 février 2016 à 18:45 (CET)

A propos de l'illustration de géométrie sphérique

Bonjour, Petite observation qui me chagrine quelque peu, mais pas forcément problématique pour cet article (puisqu'elle ne concerne qu'une illustration et donc n'a peut-être pas vocation a être "rigoureuse") : un cercle de la sphère (et donc la "droite riemanienne" D représentée en trait continu sur la partie visible de la sphère et en pointillé sur la face cachée) ne devrait-elle pas apparaître en perspective comme une ellipse de par sa projection sur un plan, et quoiqu'il en soit comme une figure de classe C^∞ quel que soit le mode de perspective choisi (la représentation de D n'est même pas C¹ : elle a deux "brisures") ?

Tout à fait... mais en fait il y a trois "droites" sur ce dessin (dont deux dessinées en pointillés), ou plus précisément trois portions de grands cercles), les demi-grands cercles que l'on voit sur la demi-sphère face à nous. Mais en effet, ce dessin est horriblement trompeur, et même en le sachant, il m'a fallu du temps pour "voir" ce qui était dessiné. Merci de votre vigilance.--Dfeldmann (discuter) 6 mai 2019 à 20:05 (CEST)