Géométrie hyperbolique

Géométrie non euclidienne, dans laquelle il existe une infinité de droites parallèles passant par un point

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie[1],[2]) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle » (on démontre alors qu'il en existe une infinité).

Deux représentations du plan hyperbolique : il existe une infinité de « droites » qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la « droite » D. À gauche, un des modèles de Beltrami[note 1] (ne représentant que localement le plan hyperbolique[note 2]), où les « droites » sont des géodésiques sur une surface bien choisie ; à droite, un des modèles de Poincaré, où les « droites » sont des arcs de cercles.

En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier on n'a plus le théorème de Pythagore, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°, mais les droites sont toujours les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui permet, dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative, comme les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère.

Klein, Lorentz et Poincaré ont créé ainsi plusieurs modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique.

HistoriqueModifier

L'histoire de la géométrie hyperbolique semble commencer au début du XVIIIe siècle avec les travaux du mathématicien italien Giovanni Girolamo Saccheri[3], qui chercha à démontrer dans l'œuvre de sa vie, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide lavé de toute tache), que les postulats d'Euclide étaient cohérents et nécessaires pour définir la géométrie euclidienne. Il chercha notamment à démontrer par l'absurde le cinquième postulat d'Euclide sur les parallèles, en le supposant faux et en raisonnant jusqu'à obtenir une contradiction.

Il échoua dans cette tentative, obtenant une grande quantité de théorèmes étranges, mais tout à fait cohérents entre eux, et qui appartiennent maintenant à la géométrie hyperbolique. Mais il ne réalisa pas qu'il avait sous les yeux une nouvelle géométrie, et considéra son œuvre et sa vie comme un échec.

Au milieu du XVIIIe siècle, Jean-Henri Lambert étudia également les conséquences de la négation du cinquième postulat d'Euclide, et obtint des théorèmes et des résultats précis appartenant à la géométrie hyperbolique, comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface, en géométrie hyperbolique :

 

  sont les angles des trois sommets du triangle, C un coefficient de proportionnalité, et   la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestaient l'existence d'une authentique géométrie « sur une sphère de rayon imaginaire »[3].

Ce sont, près d'un siècle plus tard, les travaux de Carl Friedrich Gauss qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant. Il formula dans ses notes une théorie structurée, et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne. Il aurait même essayé de mesurer, par des expériences de géodésie, si la géométrie hyperbolique n'était pas à grande échelle la géométrie réelle de l'univers[4].

Au cours du XIXe siècle, la géométrie hyperbolique a été redécouverte et explorée de manière extensive par Nikolaï Lobatchevski en 1830 et indépendamment par János Bolyai en 1832.

Eugenio Beltrami proposa en 1868 plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique, dont les représentations conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par Henri Poincaré et Felix Klein, ainsi que le modèle de la pseudosphère. Il démontra, à l’aide de ces représentations, que si la géométrie euclidienne est mathématiquement cohérente, alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement, et donc que l’axiome des parallèles est indépendant des autres.

Géométrie du plan hyperboliqueModifier

Cette section ne détaille que les propriétés des figures planes[5], en effet la géométrie de l’espace hyperbolique en dimension supérieure peut se déduire de celle du plan comme dans le cas euclidien, et il n’apparaît pas de phénomènes essentiellement nouveaux.

Géométrie absolueModifier

 
Un triangle hyperbolique sans cercle circonscrit (les trois médiatrices sont parallèles).

Les propriétés du plan qu'on peut démontrer à partir des axiomes d'Euclide (ou d'une formulation plus rigoureuse et moderne, telle que celle de Hilbert), à l'exception de l'axiome des parallèles, sont dites appartenir à la géométrie absolue (en). Ainsi, par exemple, on montre que deux perpendiculaires à une même droite n'ont pas de points communs, et donc qu'il existe toujours des parallèles (c'est pourquoi la géométrie elliptique n'est pas une géométrie absolue). De nombreuses propriétés de la géométrie hyperbolique coïncident ainsi avec celles de la géométrie euclidienne, parfois au prix d'une reformulation : on vérifie aisément que les bissectrices intérieures d'un triangle quelconque sont concourantes (la démonstration n'utilise pas la notion de parallèles), et donc qu'il existe un cercle inscrit à ce triangle ; les propriétés des médiatrices amèneraient à penser qu'elles sont également concourantes et donc qu'il existe également un cercle circonscrit, mais ce résultat est faux en général dans le plan hyperbolique, car deux perpendiculaires à deux droites concourantes peuvent être parallèles ; ce qui reste vrai, c'est que si deux médiatrices d'un triangle se coupent, les trois médiatrices sont concourantes (le même résultat est également vrai pour les hauteurs du triangle).

ParallèlesModifier

 
Droites passant par P et asymptotes à la droite R.

Partant de l'axiome des parallèles modifié (par exemple sous la forme : «  il existe au moins deux droites concourantes parallèles à une même troisième »), on démontre que pour toute droite D et pour tout point P non sur D, il existe une infinité de droites passant par P et ne rencontrant pas D, situées entre deux droites limites formant un angle 2θ ne dépendant que de la distance de P à D ; θ est appelé angle de parallélisme (le calcul de cet angle en fonction de la distance sera fait dans la section consacré aux propriétés métriques). Les deux droites limites sont dites parallèles asymptotes à D. On démontre que si deux droites (du plan) sont non sécantes (parallèles au sens euclidien usuel), elles sont asymptotes, ou il existe une et une seule droite perpendiculaire aux deux ; le segment découpé sur cette perpendiculaire commune correspond à la distance minimale entre ces deux droites (laquelle est nulle pour deux droites asymptotes). Certains auteurs réservent le terme de parallèles aux parallèles asymptotes ; les autres droites non sécantes sont alors dites hyperparallèles (ou parfois ultraparallèles).

Cercles et pseudo-cerclesModifier

 
Un horocycle (en bleu) dans le modèle du disque de Poincaré et des normales, convergeant asymptotiquement vers un point à l'infini.
 
Pavage du disque de Poincaré par des apeirogones réguliers.

Les propriétés métriques d'un cercle de rayon   diffèrent de celles du plan euclidien : son périmètre et son aire sont respectivement supérieurs à   et à  . Mais de plus, des propriétés caractéristiques des droites euclidiennes définissent de nouvelles courbes du plan hyperbolique, qui par certains côtés peuvent s'interpréter comme des cercles généralisés : les points situés à une distance fixe d d'une droite donnée D forment une courbe appelée un hypercycle (en); les courbes dont les normales en tout point forment une famille de droites asymptotiquement parallèles sont appelées des horocycles (en). Dans le modèle du disque de Poincaré, les cercles, les horocycles et les hypercycles (ainsi que les droites) sont tous représentés par des cercles ou des arcs de cercles. Par trois points formant triangle passe une courbe unique de cette famille (un cercle, un horocycle ou un hypercycle), qui généralise donc la notion de cercle circonscrit à ce triangle. Enfin, une suite de points   tels que les segments   sont tous de même longueur et que  , où θ est l'angle de parallélisme à   en   (et donc les perpendiculaires à ces segments sont toutes asymptotiquement parallèles) forme un polygone régulier infini, appelé un apeirogone (en) régulier, inscrit dans un horocycle.

Polygones réguliers et pavagesModifier

 
Pavage du disque de Poincaré par des pentagones réguliers.

L’angle au sommet d’un polygone régulier à n côtés (qui vaut   dans le plan euclidien) dépend de la longueur a du côté en géométrie hyperbolique et peut être rendu aussi petit que l’on veut[note 3]. C’est pourquoi on peut paver de manière uniforme le plan hyperbolique avec des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés, et avec n'importe quel nombre de polygones ayant un sommet commun[6] (alors qu'il n'existe dans le plan euclidien que trois pavages uniformes). L'exemple ci-contre représente (dans le modèle du disque de Poincaré) un pavage par des pentagones réguliers ayant cinq angles droits.

Propriétés métriquesModifier

Contrairement au plan euclidien, il existe une échelle absolue des longueurs dans le plan hyperbolique, analogue au rayon de la sphère en géométrie sphérique. Il est d'ailleurs possible de considérer le plan hyperbolique comme une variété riemanienne, de courbure constante négative K. En choisissant convenablement l'unité de longueur, on peut prendre K égal à -1 ; c'est cette convention qui sera utilisée dans la suite (pour des formules plus générales, il faudrait multiplier par -K toutes les longueurs y apparaissant ; ainsi, dans le cas général, la relation entre les côtés d’un triangle rectangle devient  , et l'aire d'un disque de rayon r est  ).

Angle de parallélismeModifier

Si P est un point hors de la droite D et H son projeté orthogonal sur D (avec   la distance de P à D), les formules données ci-dessous pour un triangle rectangle PHM, avec M sur D s'éloignant à l'infini, aboutissent à la formule donnant le sinus de l'angle de parallélisme θ :

 .

Cet angle tend très rapidement vers 0 lorsque P s'éloigne de D, c'est-à-dire que la plupart des droites passant par P sont parallèles à D.

AiresModifier

 
Triangle hyperbolique (représenté dans le disque de Poincaré).

Le périmètre d'un cercle de rayon r est   et l'aire du disque correspondant est   ; ainsi, l'aire d'un disque croit beaucoup plus vite avec son rayon que dans le plan euclidien[7]. Il en va tout autrement de l'aire Δ d'un triangle (dont les angles α, β et γ sont d'autant plus petits que les côtés sont grands) : Lambert a démontré que  , formule identique au signe près à la formule de Girard en trigonométrie sphérique, et qui montre au passage que la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à  .

Trigonométrie du triangle hyperboliqueModifier

Formellement, on peut obtenir les résultats correspondant au plan hyperbolique en supposant le triangle tracé sur une sphère de rayon imaginaire   (c'est-à-dire que  ) ; en d'autres termes, en remplaçant dans les formules classiques de la trigonométrie sphérique les sinus et les cosinus des arcs (et non ceux des angles) par les sinus et cosinus hyperboliques (et en corrigeant certains signes). Ainsi, pour un triangle ABC, avec les mêmes conventions que dans le cas sphérique (côtés notés a=BC, b=AC et c=AB ; angles correspondants notés α, β et γ) on a une loi des cosinus :  , une loi des cosinus duale :  , et une loi des sinus :  . En particulier, pour un triangle rectangle en C, on a   ; comme   pour x suffisamment petit, on retrouve à la limite le théorème de Pythagore[8].

Géométrie hyperbolique en dimension nModifier

 
Représentation en perspective d'un pavage de H3 par des dodécaèdres réguliers.

Bien qu'il soit possible de reprendre l'approche axiomatique, la définition moderne de l'espace hyperbolique de dimension n, Hn, s'appuie sur la notion de variété riemannienne : Hn est une variété riemannienne de dimension n, simplement connexe maximale, ayant une courbure sectionnelle constante et négative (toutes les variétés vérifiant ces propriétés sont isomorphes, et même isométriques[note 4]). Les « droites » sont les géodésiques, et par chaque point passe au moins une sous-variété isomorphe au plan hyperbolique étudié précédemment[9].

Représentations de la géométrie hyperboliqueModifier

Une représentation d'une géométrie est un modèle, construit dans l'espace euclidien usuel (ou plus généralement dans l'espace  ), et permettant de représenter graphiquement et de manière cohérente une géométrie et ses propriétés. Par exemple, le diagramme de Minkowski est une représentation de la géométrie minkowskienne.

Il existe plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique. Aucune n'est plus « vraie » ou plus « réelle » qu'une autre. Elles sont équivalentes sur le plan mathématique. Il existe d'ailleurs des isomorphismes permettant de passer d'une représentation à une autre.

Pour s'assurer de ce que les différentes représentations données ci-dessous sont bien des modèles de la géométrie hyperbolique (autrement dit qu'ils en vérifient tous les axiomes), il ne suffit pas de dire ce qu'en sont les « droites » ; il faut aussi y définir une notion de congruence (des segments), ou, ce qui revient au même, une distance entre les points (qui sera nécessairement différente de la distance ordinaire de l'espace). On trouvera les formules définissant ces distances pour chaque modèle dans les articles détaillés correspondants.

Représentation de Klein-Beltrami ou représentation projectiveModifier

 
Parallèles et hyperparallèles dans le modèle de Klein-Beltrami.

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une boule ouverte euclidienne. En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un disque ouvert. Les droites de l'espace hyperbolique sont des segments dont les extrémités appartiennent au bord de la boule ; la distance est donné par la métrique de Cayley-Klein (en). La représentation des droites hyperboliques est aisée dans ce modèle, mais les angles ne sont pas conservés et les cercles sont représentés par des ellipses.

La sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Disque de Poincaré, ou représentation conformeModifier

 
Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du disque de Poincaré.

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule ; la distance est définie par la métrique de Poincaré. L'intérêt de cette représentation est que, localement, la métrique de l'espace est, à un facteur près, la métrique euclidienne du modèle. En particulier, l'angle entre deux droites de l'espace hyperbolique est égal à l'angle de la géométrie euclidienne formé par les deux arcs de cercles du modèle représentant ces deux droites. On dit que la représentation de l'espace hyperbolique est conforme.

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, la sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Demi-plan de PoincaréModifier

 
Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du demi-plan de Poincaré.

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est un demi-espace ouvert de  . En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un demi-plan euclidien. Les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires à l'hyperplan (ou à la droite en dimension 2) limitant le demi-espace ; la distance est définie à l'aide de la métrique   La représentation est là aussi conforme.

Dans ce modèle, l'hyperplan (ou la droite en dimension 2) limitant le domaine correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche de cet hyperplan et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Représentation de Lorentz, ou représentation hyperboloïdeModifier

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une nappe d'un hyperboloïde muni d'une métrique particulière. Plus précisément, dans l'espace  , muni de la pseudo-métrique   (espace de Minkowski) c'est la nappe de l'hyperboloïde d'équation   telle que  , munie de la pseudo-métrique induite, qui est en fait une métrique riemannienne homogène.

Représentation de BeltramiModifier

 
La pseudosphère (ou tractricoïde) utilisée par Beltrami comme modèle du plan hyperbolique

Eugenio Beltrami a proposé en 1868 de prendre une surface de courbure constante négative comme modèle du plan hyperbolique (et d'appeler « droites » les géodésiques de cette surface)[10]. Il est impossible (d'après un théorème de Hilbert (en)) d'obtenir ainsi un modèle du plan hyperbolique tout entier qui ne présente pas de singularités, mais la pseudosphère en est la meilleure représentation ; elle présente de plus l'avantage de conserver la métrique usuelle, en mesurant les distances le long des géodésiques.

ApplicationsModifier

Théorie de la complexitéModifier

La théorie de la complexité, sous sa forme usuelle, suppose un monde où les signaux se propagent instantanément, et où, par conséquent, la lecture d'une donnée prend toujours le même temps. Mais des analyses plus fines ont été proposées ; il a alors été remarqué que dans un monde hyperbolique, on peut stocker beaucoup plus d'informations à distance donnée, ce qui permet d'accélérer certains calculs ; en particulier, on peut alors démontrer que P = NP (résultat qui n'a malheureusement aucune application pratique)[11].

Dynamique chaotiqueModifier

Le flot géodésique sur une variété riemannienne compacte à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard[12]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités[13],[14] :

  • ergodique ;
  • mélangeant (« mixing ») ;
  • K-système (Anosov) ;
  • C-système = bernoullien[15].

De nombreuses études détaillées de ce flot et de ses applications ont été publiées (en anglais) à partir de la fin des années 1980, par exemple Chaos on the pseudosphere[16], Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas[17], ou encore Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane[18].

Dans la cultureModifier

LittératureModifier

Si beaucoup de textes de science-fiction et de fantastique font référence à des géométries non-euclidiennes (Lovecraft mentionnant à plusieurs reprises que leur utilisation dans l'architecture des Grands Anciens rend fou ceux qui essaient de la comprendre[19]), il semble que seul le roman de Christopher Priest, Le Monde inverti, se déroule dans un univers (la surface d'une caténoïde) à géométrie hyperbolique. On peut cependant également citer le Géométricon, une bande dessinée racontant les aventures d'Anselme Lanturlu dans des espaces courbes, parmi lesquels figure le plan hyperbolique[20].

ArtModifier

 
Une collection de plans hyperboliques réalisés au crochet, imitant un récif corallien, à l'Institute For Figuring (en).

Escher, grâce aux outils que lui a fourni Coxeter en 1952, a utilisé à plusieurs reprises des pavages du plan hyperbolique en en transformant les motifs pour en faire des figures anthropomorphiques ou des animaux, comme dans Anges et Démons[21], ou dans la série des Limites circulaires[22].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. En réalité, cette illustration ne correspond pas à la pseudosphère étudiée par Beltrami, mais à une autre surface à courbure négative constante.
  2. Un théorème de Hilbert (en) montre d’ailleurs qu'il est impossible de représenter globalement le plan hyperbolique par une surface de l'espace usuel.
  3. Plus précisément, cet angle vaut  , qui tend très rapidement vers 0 quand a devient grand.
  4. Plus exactement, entre deux de ces variétés, il existe une bijection f et une constante k telle que la distance d (mesurée le long des géodésiques) vérifie   pour tout couple de points A et B.

RéférencesModifier

  1. Nikolaï I. Lobatchevski, Géométrie imaginaire, dans Journal für die reine und angewandte Mathematik 17 (1837), 295-320, [lire en ligne].
  2. (en) Nikolaï I. Lobatchevski, Pangeometry (), éd. et trad. Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Zürich, EMS, xii, 310~p., 2010 (ISBN 978-3-03719-087-6).
  3. a et b Roger Penrose, À la découverte des lois de l'univers, Odile Jacob, 2007, chap 2.4.
  4. (en) Jeremy Gray, Ideas of Space : Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic [détail des éditions].
  5. L'ensemble des formules et des résultats de cette section (avec leurs démonstrations) figure sur le site interactif de géométrie hyperbolique de l'université de Glasgow.
  6. Voir (en)cette liste (et le tableau l'illustrant) sur la Wikipédia anglophone
  7. (en) Circonférence et aire des cercles hyperboliques.
  8. Trigonométrie du triangle hyperbolique (en), sur le site de l'université de Glasgow.
  9. Norbert A'Campo et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry (en), in : Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich, 2012, (ISBN 978-3-03719-105-7), DOI 10.4171/105.
  10. (it) Eugenio Beltrami, « Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea », Gior. Mat., vol. 6,‎ , p. 248–312. Voir également, du même auteur : (it) Opere Matematiche, vol. 1, 374–405 p. (ISBN 978-1-4181-8434-6 et 1-4181-8434-9) et « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », Ann. École Norm. Sup. 6,‎ , p. 251–288 (lire en ligne).
  11. Jean-Paul Delahaye, « Calculer dans un monde hyperbolique », Pour la science,‎ (lire en ligne)
  12. Jacques Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », dans Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 4, 1898, p. 27.
  13. (en) Vladimir Arnold et André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988.
  14. Pierre Pansu, « Le flot géodésique des variétés riemanniennes à courbure négative », dans Séminaire Bourbaki, vol. 738, 1991, publié dans Astérisque, vol. 201-203, 1991, p. 269-298.
  15. (en) Donald S. Ornstein et Benjamin Weiss, « Geodesic flows are Bernouillians », dans Israel Journal of Mathematics, vol. 14, 1973, p. 184.
  16. (en) Nandor Balazs (en) et André Voros, « Chaos on the pseudosphere », dans Physics Report, vol. 143, 1986, p. 109.
  17. (en) Yves Colin de Verdière, « Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas », dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros et Jean Zinn-Justin (éditeurs), Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'été de physique théorique des Houches de 1989, session LII, North-Holland, 1991 (ISBN 0-444-89277-X).
  18. (en) Charles Schmit, « Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane », dans Chaos & Quantum Physics, op. cit.
  19. (en) Thomas Hull, « H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions », Math Horizons, vol. 13, no 3,‎ , p. 10–12 (ISSN 1072-4117, lire en ligne, consulté le 14 novembre 2020).
  20. Jean-Pierre Petit, Le géometricon, Belin, Paris, 1979, 1980 (ISBN 2-7011-0372-X).
  21. Voir sur ce blog
  22. Récit de cette rencontre, avec quelques illustrations.

AnnexesModifier

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Articles connexesModifier

Bibliographie complémentaireModifier

Liens externesModifier