Discussion:Construction des nombres réels

Il faut ajouter la def de suite de Cauchy ds le corps de l'article Dtcube

Certainement pas! J'ai si tout va bien envoyé vers la page sur les suites (qui n'existe peut-être pas): c'est là que les suites de Cauchy sont sensées être traitées, avec leurs propriétés.

Le but de ces pages, c'est présenter les constructions, donc on fait la construction, et pour chaque outil, on renvoie vers la page où il est défini. Snark 17:13 jan 29, 2003 (CET)

J'ai modifié la page, pour clarifier certains points, et pour virer certaines explications; précisons:

• j'ai clarifié les explications sur les histoires d'inverse pas bien défini, mais que des fois on peut définir: c'est vrai qu'il faut préciser que ça n'existe pas toujours, mais il ne faut pas en faire des tartines, et il faut définir ce pseudo-inverse en toute généralité (pas que pour les inversibles). En effet, il suffit de rajouter un 0 au début de n'importe quelle suite pour qu'elle ne soit pas inversible! Ce qu'il est important de souligner, c'est que quand on passe au quotient, là par contre on est gagnant dès que ce n'est pas zéro!
• j'ai viré tout ce qui trainait en longueur, quand on rentrait trop dans les détails de pourquoi ce qu'on expliquait marchait, que telle ou telle suite était bien de Cauchy, ce genre de chose.
  

A mon sens, le but de ses pages, c'est vraiment de donner la démarche relativement détaillée des constructions, mais pas de tout donner en détail. Par contre, ce qui serait peut-être une bonne idée, c'est en tête de chaque article, faire un petit résumé des outils qui sont employés, genre ici, il faut savoir ce qu'est une suite de Cauchy, et quelques propriétés de base; et ce petit résumé ne doit pas les définir et les expliquer, mais renvoyer directement aux pages où les notions sont réellement traitées.
Je n'aimerais surtout pas que tu te vexes, car depuis quelques jours je me morfondais sur cette série d'articles que j'ai lancée, et je me désolais de manquer de retour: en voilà! Peut-être que je devrais mettre un petit quelque chose dans la page de discussion sur les constructions des objets courants, pour préciser justement ce que j'avais en tête?
Dtcube, je ne refuse ni ton avis ni ton aide, je les exige! :-) Snark 17:53 jan 29, 2003 (CET)

Je ne suis malheureusement pas d'accord. La lecture de l'article doit, a mon sens, être aussi précise que possible sans pour autant rentre trop dans la technique. Sur ce point il semble que nous soyons en desaccord sur le niveau de précisions. Typiquement une phrase du genre "C'est bien un élément de notre espace E" me convient tout a fait, parcontre l'impression de "en effet toute suite non-nulle dans le quotient, provient d'une suite de Cauchy qui ne converge pas vers 0; et pour ces dernière, le presque-inverse devient, lors du passage au quotient, un véritable inverse." ne me satisfait absolument pas. Les suites du quotient sont des suites de classes d'equivalence, donc manifestement tu parles des classes classes d'equivalences pour lesquels il existe un repesentant n ayant qu un nb fini de zero,.... ect. J ai peu être donne trop de details, c est l impression qu j ai eu en redigeant, cependant, je ne pense qu il fallait mieux penche par exces de ce cote. L'avantage de donne un peu de details est justement d'evite ce genre de raccourci qui demande deja a quelqu un qui connait le sujet un effort de reflexion.

En resume, seulement les idees oui, mais pas au prix de la rigueur ni de la clarte, voila mon opinion.
Quoiqu'il en soit, il me semble que nous ayons des opinions trop differentes pour cooperer directement sur la page de l'article, je me contenterai donc de quelques remarques dans les pages de discutions. Clarifions tout de meme je ne suis en rien vexe. Dtcube

Je m'insère dans vos discussions en vous demandant si l'utilité des liens hypertexte ne serait pas de renvoyer vers d'autres pages qui peuvent elles même être plus fournies (comme les suites de Cauchy). Partialement je pense que toute la connaissance même précise devrait être dans une encyclopédie, mais aussi qu'elle ne devrait pas forcément être dans un seul article. Pour l'argument technique, je tiens à rappeler que dans l'Encyclopédia Universalis on y trouve des sujets très techniques et fouillés. Jul 30/1/2002 12:45 CET

tu fais bien Jul, je suis partiellement d accord avec toi, la notion de suite de Cauchy peut tout a fait se trouver defini ailleurs typiquement dans un article sur les suites, ect... Mais, si on continue sur l Universalis, je serais tres etonne d apprendre qu un article specifique y est consacre. Il faudrait eviter d'eparpiller l information un peu partout, si on se met a faire une page par notion ou definition mathematique on ne fait plus un article, on fait du patchwork.

Donc typiquement, je ne serai pas choquer de trouver une def des suites de cauchy ici dans la construction des reels, de retouver cette def dans un article sur la convergence, ...

Parcontre des notions phares comme la structure d'anneau doit avoir une page clairement defini a laquel on peut renvoyer pour des proprietes usuelles

En fait, le probleme est simplement le suivant, soit l'ensemble des articles est vu comme un tout coherent et alors on se lance dans un vaste plan proche de ce qu'un certain groupe a voulu (et veut tjs) faire ... Clairement, je n'ai pas l'ambition, le temps, ni la pretention de me lancer dans ce genre d'entreprise. Ou bien, on fait une serie d'article, aussi complet que possible, tout en supposant que les notions fondamentales ont deja (ou work in progress oblige feront l'objet) un article. Mais la encore point de gourmandise ou d envie de refonder les maths, si les articles doivent vise a une certaine completude, il ne faut pas non plus tomber dans l'exces du details. Si article de specialiste il doit y avoir, ils doivent être separer.

Dtcube

Hum... je dois avouer que la phrase que tu cites est d'une clarté embarassante... Si tu veux la reprendre... sinon, je le ferais demain.

Il se trouve qu'une suite de Cauchy qui ne converge pas vers zéro, ne peut avoir qu'un nombre fini de zéros!!! J'ai deux craintes: la première, c'est que des définitions de ce qu'est une suite de Cauchy se retrouvent éparpillées de partout! Et ça poserait problème, car si on n'a pas tous la même, ça peut gêner. Exemple: une suite de Cauchy est une suite telle que:

• $lim_{m,n\rightarrow \infty }a_{m}-a_{n}=0$;
• $\forall \varepsilon >0,\exists N>0/\forall m,n\geq N,|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$;

la première définition est la bonne; la seconde montre ses défauts justement quand on n'a pas les réels à disposition, ou tout simplement quand on n'a pas de notion de distance!
La seconde crainte: si on n'est pas clair sur le niveau qu'on attend du lecteur dans chaque article, on va se retrouver avec la partie mathématique de l'encyclopédie dans tous les articles de maths! J'exagère un peu, mais je pense que l'idée est à peu près claire... J'aimerais que tu reconsidères ta décision de ne plus toucher à la page! J'ai parfois l'occasion d'être sur irc, si à l'occasion on pouvait discuter plus en intéractif... Snark 18:38 jan 29, 2003 (CET)

Pour la difference entre les deux notions, je ne suis pas d'accord avec toi. La premiere est une notation pour la seconde. A chaque fois qu'il est necessaire d utiliser des $\varepsilon$ il suffit de les prendre rationnels. D'autre part et je reprends un commentaire de FdvP, une certaine redondance est la bien venu, de meme qu'il est preferable de fournir des articles qui se suffisent a eu meme autant que possible. Les liens sont une tres bonne chose, mais il ne faut pas faire des renvois systematiques, de temps en temps des rappels sont les bienvenus. Dtcube

La seconde est l'écriture de la première dans un cadre particulier... On peut définir la notion de limite sans distance! Donc dans l'article sur les suites, il est primordial de donner la première... quitte à ce que dans d'autres articles, on renvoie à la définition principale, et on raconte: "ici, ça veut dire: ..."...
D'accord pour une certaine redondance, mais il ne faut pas trop pousser non plus... Cet article a pour but de montrer comment on construit les réels avec leurs propriétés (au passage: il manque les preuves de choses aussi importantes que: "$\mathbb {R}$ est archimédien", ou l'existence de bornes supérieures aux parties bornées...); ce n'est pas l'endroit pour redéfinir en détail ce qu'est un anneau, une suite de Cauchy, pour raconter qu'une suite de Cauchy en général ça fait ceci ou cela... Cette série d'articles est sur la construction des objets, c'est leur sujet. Trop de détails dans chaque article, ça signifie que si un truc n'est pas satisfaisant, il y aura plein de pages à corriger.
Par exemple, dans la construction (à faire) des entiers naturels, il faudra discuter des ensembles bien proprement, parce que c'est un point important. Ici, pour les nombres réels, ce n'est pas la place de parler des ensembles... A chaque article son niveau, et donc aussi son niveau de détail. Snark 13:59 jan 30, 2003 (CET)

Le notion de suite de Cauchy est tellement au coeur de la construction de R par suites de Cauchy (la répétition est significative !) qu'il me semble qu'il faudrait la rappeler dans cet article-ci, quitte à renvoyer le lecteur à l'article sur les suites de Cauchy pour une démonstration des propriétés utilisées. D'accord pour éviter trop de répétitions, mais il ne faut pas atomiser la lecture non plus. FvdP 21:24 jan 30, 2003 (CET)

Vous n'avez pas donné votre avis sur ma proposition, à savoir: avant chacune des constructions, faire la liste des choses extérieures que l'on va utiliser, en donnant des liens, et en en racontant un peu... Mais le moins possible.
J'ai l'impression que vous raisonnez en termes d'encyclopédie classique et papier, où un renvoi signifie aller se chercher un autre pavé de 10kg... Ici, un clic milieu et l'autre page s'affiche! Snark 07:52 jan 31, 2003 (CET)

Bien que ne connaissant pas grand-chose aux maths, je m'interroge sur le titre « Construction nombres réels » ; « Construction des nombres réels » ne serait-il pas mieux ? Vincent Ramos 12 jun 2003 ・17:40 (CEST)

Nombre réel et Construction des nombres réels

Le premier n'adresse que quelques mots abstrus à un mathématicien déjà chevronné et laisse toute sa substance au second dont l'approche n'est d'ailleurs pas plus didactique. Roby 18 septembre 2005 à 07:24 (CEST)

J'ai rajouté les bandeaux de fusion. Je ne pense pas que la fusion soit pertinente, car on peut dire beaucoup de chose sur les nombres réel sans parler de leur construction. Epommate 18 septembre 2005 à 11:11 (CEST)

l'article nombre réel avait été vandalisé le 8 septembre. J'ai remis sa version d'origine et j'ai laissé provisoirement le bandeau de fusion. Je ne suis personnellement pas favorable à une fusion et je partage l'avis d'Epommate : il faut compléter l'article sur nombre réel (parler de la "découverte" des nombres irrationels, clarifier le plan...) Un vrai boulot pour un courageux. HB 18 septembre 2005 à 22:09 (CEST)

J'ai été étonné des bandeaux "Page à fusionner" sur ces pages. C'est seulement ensuite que j'ai vu le vandalisme dans l'historique de Nombre réel. Je pense qu'un Nombre réel peut exister en dehors de toute construction mathématique (une définition axiomatique suffit), parce que c'est avant tout une notion intuitive à qui sait manipuler correctement un double-décimètre. Évidement, le fait que l'on puisse les construire à partir d'ensembles plus simples est plaisant pour le mathématicien, mais à mon goût anectotique, et la construction, complexe, ne doit pas être fusionner avec la notion beaucoup plus simple de ce que représente le nombre. En terme de cible, Contruction des nombres réels est à destination des mathématiciens, et Nombre réel est à destination de tout public, et doit contenir un lien vers l'autre (elle le contient déjà). La fusion n'a pas à se faire à mon avis. AGiss 8 octobre 2005 à 19:05 (CEST)

Pourquoi, la preuve que R est un corps tourne-t-elle autour du pot ? Il suffit de démontrer que l'idéal des suites de Cauchy de Q convergeant vers 0 est un idéal maximal et le tour est joué. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 22 mai 2016 à 04:57 (CEST)

Pourquoi vouloir utiliser un outil puissant qui ferme l'accès à la démonstration à tous ceux (bien nombreux) qui ne connaissent pas la théorie des idéaux alors que la construction des réels est normalement accessible à ceux dont le bagage ne contient que la notion d'anneau et celle de relation d'équivalence ? La version de 2009 ne comportait pas d'ailleurs le terme d'idéal. La démarche pédestre sans l'outil de l'idéal était une démonstration que l'on pouvait faire en terminale C en 1971. Combien de lignes de démonstration économiserait-on en réalité en démontrant que l'idéal est maximal plutôt qu'en trouvant un inverse ? HB (discuter) 22 mai 2016 à 07:59 (CEST)

Pour les nombres hyperréels, c'est la manière que j'ai utilisée pour démontrer que c'est un corps dans l'article correspondant. Un (ancien) élève de Terminale C n'avait pas le bagage suffisant pour construire l'ensemble des nombres réels. Il faut introduire la notion de suite de Cauchy. Si l'on couvrait l'ancien programme de maths sup en terminale C (complètement hors-programme) alors c'est autre chose. La fainéantise est une caractéristique de tout mathématicien qui se respecte. La notion d'anneau quotient est extrêmement puissante et il faudrait qu'elle fût utilisée. J'ai le regret de dire que je suis toujours assez mal à l'aise avec cette notion de relation d'équivalence où pour me simplifier la vie j'utilise l'axiome du choix (je sais je sais...). De plus, la preuve qu'une suite de Cauchy ne convergeant pas vers 0 peut être inversée assez loin, ce qui prouve que l'idéal en question est maximal, est triviale. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 22 mai 2016 à 17:44 (CEST)

euh... si tu prouves que toute suite ne convergeant pas vers 0 possède un «inverse» tu prouves directement que l'anneau est un corps, et tu n'as pas besoin de parler d'idéal maximal . Enfin, on n'écrit pas un bouquin de maths pour des mathématiciens mais une encyclopédie qu'il faut essayer de rendre simple. Bref, pas trop d'accord pour élever inutilement le niveau des outils utilisés même s'ils sont plus puissants. D'autres avis ? HB (discuter) 22 mai 2016 à 17:58 (CEST)

J'ai dit assez loin. Je n'ai pas dit que la suite était inversible dans son entièreté. Il y a une grosse nuance. Je ne suis pas rentré dans les détails techniques. S'il le faut je peux donner une démonstration rigoureuse. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 22 mai 2016 à 18:19 (CEST)

j'avais bien compris (d'où mes guillemets) mais c'est peu ou prou la dem actuelle alors pourquoi faire la même dem en concluant par «donc l'idéal est maximal» au lieu de conclure «donc la classe de la suite admet un inverse » ? HB (discuter) 22 mai 2016 à 18:26 (CEST)

Dans ce cas, il faut expliciter une suite candidate inverse et démontrer que le produit appartient à la classe d'équivalence de 1. Cela revient à redémontrer par la petite porte le théorème de l'idéal maximal. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 22 mai 2016 à 18:43 (CEST)

Je vois pas où tu veux en venir quand tu dis :

• « De plus, la preuve qu'une suite de Cauchy ne convergeant pas vers 0 peut être inversée assez loin, ce qui prouve que l'idéal en question est maximal, est triviale » +
• « S'il le faut je peux donner une démonstration rigoureuse » +
• « il faut expliciter une suite candidate inverse et démontrer que le produit appartient à la classe d'équivalence de 1 »,

puisque c'est ce qui est fait actuellement dans l'article, et je pense comme HB que parler en plus d'idéal maximal n'apporte rien. Anne (discuter), 19 h

Un article qui devient intéressant

Cet article devient enfin vraiment quelque chose. Jean-Luc W 16 décembre 2005 à 14:20 (CET)

Construction intuitive

Le 13 mars, Vatekor a rajouté "ni de par une infinité de 0". Or, comment définir un entier sans cette infinité de 0 ? Erreur de sa part ou de ma compréhension ? Une explication d'exclure l'infinité de 9 pourrait également être utile (-> 0.9999.. = 1). Jarod

En réalité, pour l'unicité, il faut exclure l'infinité de 9 ou l'infinité de 0 pas pas les deux. J'ai corrigé l'article. HB 8 janvier 2007 à 20:40 (CET)

Suites de Cauchy

Il m'a semblé relever une erreur dans la section "Définition en tant que corps" : "l'addition et la multiplication héritées de la structure de corps des suites". N'ayant pas un niveau exceptionnel en maths, je me suis rien permis de modifier, mais si quelqu'un de qualifié peut confirmer que l'anneau des suites n'est pas un corps (n'est même pas intègre), alors qu'il édite la page. Le Yaude 22 novembre 2008 12h45

Oui bien sûr ce n'est pas un corps. J'ai corrigé l'article. Merci! Valvino ^(discuter) 22 novembre 2008 à 13:26 (CET)

Merci pour avoir repéré une coquille datant de 3 ans, mais il me semble que Jean-Luc W voulait probablement parler de la structure de corps de Q. J'ai donc réparé différentemment. Qu'en penses-tu Valvino? HB (d) 22 novembre 2008 à 13:29 (CET)

Construction à partir des nombres décimaux

La construction est faite rigoureusement dans le livre de Barbara et John Hubbard, Vector Calculus, linear algebra and differential forms, a unified approach, chapitre 0, section 0.4. Définir les opérations arithmétiques rigoureusement est un peu pénible mais pas difficile, et cette approche, outre le fait qu'elle correspond à l'idée intuitive et pratique des nombres réels, a l'avantage de donner presque gratuitement la propriété de la borne supérieure. Il est vraiment dommage de laisser entendre que personne ne l'a écrite rigoureusement !

Cordialement, Frédéric Le Roux

Renommage

Quelqu'un verrait-il un argument à opposer au renommage de cet article en « Construction de l'ensemble des nombres réels » ? L'une ou l'autre construction ne présente pas les objets construits comme des nombres, mais c'est l'ensemble produit qui met en évidence la structure voulue. Ambigraphe, le 16 octobre 2011 à 10:21 (CEST)

ok mais plutôt « construction du corps des nombres réels » car la structure est construite simultanément à l'ensemble Anne Bauval (d) 16 octobre 2011 à 10:41 (CEST)

Plutôt pas d'accord : 1) cela fait un titre plus long donc moins accessible 2) en toute logique il faudrait alors changer aussi construction des entiers relatifs et construction des nombres rationnels 3)enfin un google fight montre que "construction des nombres réels" est plus usité que "construction de l'ensemble des nombres réels" (9600 contre 5600 sur google et 179 contre 34 dans googlebook et 24 seulement pour construction du corps des nombres réels). Il me semble qu'il vaut mieux ici privilégier la simplicité à la précision. Cependant, je n'en ferai pas une maladie si on change le titre.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par HB (discuter)

Bof aussi, comme HB : R, c'est plus qu'un corps, l'aspect topologique est très important aussi. Les constructions sont d'ailleurs topologiques. Si on veut être précis dans le titre, on risque de l'être "trop", avec un titre à rallonge, c'est sans doute pour ça que les auteurs utilisent "construction des nombres réels" comme montré par HB. ---- El Caro ^bla 16 octobre 2011 à 13:23 (CEST)

En fait, c'est même plus qu'important, c'est essentiel (sinon, au mieux, on se retrouve avec un corps réel clos). Bref, je plussoie pour rien changer--Dfeldmann (d) 16 octobre 2011 à 14:18 (CEST)

Dans l'Universalis, le titre choisi est bien « construction de l'ensemble des nombres réels ». Cela dit je suis bien d'accord avec HB pour ne parler ni de corps ni de topologie dans le titre, et le renommage des deux autres articles ne devrait pas poser de problèmes. Enfin le google fight montre certes une prédominance du raccourci mais probablement appuyé en partie par Wikipédia et du reste le rapport reste raisonnable. Bon, si je n'ai que l'accord d'Anne Bauval, je vais me contenter d'un redirect. Si j'ai un soutien de plus, je ferai le renommage. Ambigraphe, le 16 octobre 2011 à 15:02 (CEST)

Pour les raisons déjà évoquées je suis plutôt pour le statu quo. Le pluriel me semble suffisant, peut-être même un peu plus adéquat : on a vraiment besoin de théorie des ensembles (pas seulement d'arithmétique) car les réels eux-mêmes sont des ensembles. De plus les interwikis ont l'air tous du même type. Proz (d) 16 octobre 2011 à 15:58 (CEST)

Les réels sont représentés par des ensembles, mais on ne les manipule pas comme tels. Cela dit, je m'incline devant l'avis général. Ambigraphe, le 16 octobre 2011 à 18:14 (CEST)

Au sujet d'une ancienne version

Bonjour,

Avant de tomber sur cette version de l'article , j'ai consulté une page sur techno-science ou est y affichée une ancienne version, c'est ce que je viens de découvrir.

La démonstration de la complétude de R via les suites de Cauchy y était certes plus longue et moins élégante mais c'est elle qui m'a enfin permis d'y voir plus clair grâce notamment la précision que la suite de réels était une suite de suites, c'est ce qu'on appelle un déclic je crois.

Je dois dire également que je connais la source en pdf référencée en bas de l'article et qu'elle ne m'avait pas aidé sur ce point.

Du coup ce message qui avait pour but premier de poser des questions sur l'ancienne version (avec les 2^-n )n'est là que vous remercier pour le travail effectué !

Maintenant si une bonne âme veut se pencher sur mon cas , je ne lui en serais que d'autant plus reconnaissant !Nenessh (d) 17 février 2012 à 11:58 (CET)

Sur la définition de relation d'équivalence

Dans le texte, il est écrit :

"deux suites de Cauchy de rationnels seront dites équivalentes si leur différence converge vers 0 (...) : $(u_{n}){\mathcal {R}}(v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})=0.$"

Ce qui n'est pas vraiment équivalent, en ce sens que la lecture du mot "lim" énoncerait faussement que la différence de deux suites de Cauchy converge toujours.

Pour s'en convaincre, il suffit de nier :

"Deux suites de Cauchy de rationnels ne sont pas équivalentes si et seulement si $\lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})$ n'est pas 0."

Il faudrait plutôt écrire :

"Deux suites de Cauchy de rationnels seront dites équivalentes si et seulement si $\lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})$ existe et vaut 0."

Il me semble que la première formule est parfaitement juste «Deux suites de Cauchy de rationnels seront dites équivalentes si leur différence converge vers 0». Quant à la mathématisation «$(u_{n}){\mathcal {R}}(v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})=0.$», elle dépend du sens que l'on donne à l'égalité « $\lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})=0$ (le fait d'écrire $\lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})$ ne présuppose-t-elle pas l'existence d'icelle ? dans ce cas, le contraire de «$\lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})=0$« est «$(u_{n}-v_{n})$ n'admet pas de limite ou admet une limite non nulle») . Mais, il est plus simple effectivement de préciser «$(u_{n}){\mathcal {R}}(v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(u_{n}-v_{n})$ existe et vaut 0»