Discussion:Congruence sur les entiers

Suggestion : je verrais bien le déplacement d'une partie de cette page vers Congruence pour un meilleur équilibre. Je pense notamment au § Congruence modulo n. Cham 1 nov 2004 à 18:16 (CET)

On pourrait effectivement faire comme ça. Ça se discute, tant qu'on ne retombe pas avec des doublons. Ceci dit, discuter des propriétés de la congruence modulo n dans arithmétique modulaire permet de mieux suivre le raisonnement qui mène à la construction de cette arithmétique.

Et si ce n'est qu'une question d'équilibre, il y a pas mal d'autres choses à ajouter dans la page congruence, complètement indépendantes de ces histoires d'arithmétique sur les entiers. Je vois déjà un gros exemple : les congruences sur un langage formel (informatique théorique), permettant de définir une sémantique, ou permettant par exemple de définir un monoïde de traces à partir d'un monoïde libre (tenez, d'ailleurs, à propos des ajouts dans congruence : si je ne dis pas de bêtises, le concept de congruence au niveau le plus général sort du cadre de la théorie des groupes ... notion catégorique ?).

Bon contrairement aux intervenants de cette page de discussion, je ne suis pas professeur de mathématiques mais étudiant en informatique. Chacun sa spécialité ! Mais je pense que l'informaticien a aussi son mot à dire en matière de congruences ;-) --Ąļḋøø 1 nov 2004 à 20:06 (CET)

Dédoublonnage

• création de deux pages d'homonymies (ou redirection) :congruence et modulo
• Suppression de tout ce qui n'est pas arithmétique modulaire dans l'article en question
• Création d'un article modulo (informatique)

Problème au niveau de la définition

Je n'ai pas réellement les compétences requises pour tout comprendre sur cette page, mais il y a quand même un truc qui me gêne : au niveau de la définition, il est écrit : "Deux entiers a et b sont dits congruents modulo n, où n est un entier non nul et différent de 1 et -1". Soit, mais par la suite : "si n est non nul, le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n ;" . Ceci ne sous-entendrait pas que n peut être égal à 0 ? D'ailleurs, peut-on trouver mod 0 ? (merci pour vos éclaircissements)

tu as raison, la précaution n non nul n'est pas à écrire deux fois. je l'ai supprimée là où elle était inutile. HB 2 février 2007 à 16:01 (CET)

Salut ! je perçois un problème logique au niveau de cette définition de la congruence des entiers : Définition équivalente si n > 0 — Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont dits congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. En fait, ça me semble vrai quand les entiers comparés ont le même signe ( soit dans le positif ou dans le négatif ) et faux quand les signes sont contraires ( un entier positif est comparé à un entier négatif ). Prenons des exemples : 4 et -1 sont congrus modulo 5, car ils ont une différence de 5 entre eux. Pourtant leur reste n'est pas le même car pour 4 le reste est 4, et pour -1 le reste est -1. Par contre en prenant des exemples de même signes les restes restent les mêmes. Par exemple 4 et 9 ont le même reste modulo 5, c'est-à-dire 4 ; et -1 et -6 ont le même reste modulo 5, c'est-à-dire -1... Je voulais voir avec vous si je ne me trompe pas dans mon raisonnement avant d'apporter des correctifs.

Les nombres négatifs réservent toujours certains pièges...

l'entier 1 a pour quotient 0 et pour reste 1 dans la division par 5 mais -1 n'a pas pour quotient 0 et pour reste -1, il a pour quotient -1 et pour reste 4 dans la division euclidienne par 5. En effet, on étendant la division euclidienne aux dividandes négatifs, on a conservé la définition du quotient et du reste : pour le quotient, le plus grand nombre entier q tels que dq soit inférieur ou égal à n, et pour le reste, un entier r toujours supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à d.

Donc surtout ne rien changer, il n'y a pas de problème logique. HB (discuter) 30 mai 2019 à 11:49 (CEST)

Resalut merci pour l’explication ! En effet il s’agit d’une erreur de compréhension de la définition. Je fais maintenant la différence entre la partie entière (correspondant à une partie décimale) de la réponse d’une division et le reste tel que définit en division euclidienne. Pour les personnes qui auraient besoin de plus d’explications et de mieux situer le tout, voici 2 liens wikipédia: -Lien sur la division euclidienne avec une terminologie spécifique (comme le quotient et le reste) et qui définit bien les règles de formulation d’un reste : https://fr.wikipedia.org/wiki/Division_euclidienne -Lien sur la partie entière et fractionnaire (la mantisse), notions intéressantes avec lesquelles on peut faire certains parallèles avec le quotient et le reste de la division euclidienne, même si la partie fractionnaire n’est pas une valeur entière, et peut peut-être laisser suggérer à tort que la réponse découle nécessairement d’une fraction (la désignation mantisse est peut-être plus appropriée) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_enti%C3%A8re_et_partie_fractionnaire#Fonction_partie_fractionnaire

Petite précision

Qin Jiushao (1202 - 1261) (que Confucius le protège), résolvait déjà un système linéaire d'équations aux congruences non premières entre elles, ce que ne savait pas faire Leonhard Euler, Brahmagupta (598 - 668) (que Vishnou le garde en sa sainte garde) connaissant la solution de l'équation 61x ² + 1 = y ², ce que Lagrange traitait avec des méthodes moins efficaces. Enfin même notre grand Fermat national (que Jesus Christ le bénisse) connaissait tout le contenu de l'article. Prétendre que la première étude du contenu de l'article est l'oeuvre de Gauss me semble osé non?

Détail technique, Z/0Z possède un intérêt, chaque élément est sa propre classe d'équivalence et l'on peut définir le caractère de Dirichlet trivial avec tous les autres. Je reconnais que l'intérêt n'est pas majeur, mais pourquoi retier 0 et 1 ? Il existe peut-être un obstacle, mais je ne l'ai pas vu.

J'ai conscience que mes deux remarques sont du pinaillage, mais la précision ne nuit pas. Jean-Luc W 17 août 2007 à 03:15 (CEST)

Renommage

Le renommage fait suite à la discussion Titre. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 11:56 (CEST)

Refonte de la section Z/nZ

Suite à une discussion sur la page de discussion de Anneau et une proposition faite sur la page Discuter:Anneau Z/nZ, je viens proposer une refonte de la section anneau Z/nZ dans cet article car pour l'instant cette section fait doublon (en moins riche et tout aussi compliqué) avec l'article Anneau Z/nZ. Il est possible de présenter Z/nZ de manière moins théorique que de passer par un ensemble quotienté par une relation d'équivalence. Il suffit de le présenter comme l'ensemble des restes dans la division euclidienne des entiers relatifs par un entier naturel n non nul. L'anneau quotient Z/nZ porte d'ailleurs aussi le nom d'anneau résiduel et l'introduction de l'article laisse supposer que l'on va travailler sur les restes.

Cette nouvelle version permettra de conserver à l'article son caractère abordable pour des néophytes ignorant le concept des classes d'équivalence et évitera tout doublon entre cet article et sa version plus formelle Anneau Z/nZ. Y-a-t-il des remarques ? HB (d) 29 février 2008 à 21:33 (CET)

Une remarque: le terme anneau résiduel me semble ambigu. Il désigne en général un localisé. C'est à dire, dans notre exemple, le plus grand anneau de Q ne contenant pas 1/p. L'expression corps résiduel désigne le quotient de cet anneau par l'unique idéal maximal de l'anneau résiduel (engendré par p). Jean-Luc W (d) 6 avril 2008 à 15:17 (CEST)

Le terme d'anneau résiduel est un vieux terme qui est encore employé pour Z/nZ (petite encyclopédie de mathématiques 1977), le terme de classe résiduelle modulo n est aussi employé. Le terme d'anneau quotient est plus associé à un quotient de classe d'équivalence et ne me semble pas adapté au niveau que vous avez voulu donner à l'article. Le fait qu'il existe un autre sens au terme de corps résiduel ne devrait pas empêcher de signaler le sens d'anneau résiduel, surtout quand le terme est éclairant. HB (d) 6 avril 2008 à 19:35 (CEST)

Oups : je suis alors totalement convaincu par les arguments d'HB. D'autant plus que la référence à la congruence est inutilement complexe. Jean-Luc W (d) 7 avril 2008 à 08:40 (CEST)

redondance dans la définition

Je lis dans la définition, que a est congru à b modulo n si l'une des conditions suivantes est vérifiée.

1 leur différence est divisible par n ;

2...

3...

4 il existe un entier k tel que a − b = kn

Il me semble que les points 1 et 4 sont identiques quoique exprimés différements. Je me suis donc permis de modifier et de mettre :

1 leur différence est divisible par n ; (il existe un entier k tel que a − b = kn )

2...

...

ce qui devrait éviter de conduire à de facheuses confusions. J'éspère que nul n'y verra d'inconvénients.

Au contraire, tu as bien fait. Merci. HB (d) 20 novembre 2008 à 20:42 (CET)

La démonstration dans propriétés algébriques

On dirait plus un théorème qu'une démonstration, ce n'est pas assez explicite. Si quelqu'un s'y connaît, merci...

Il n'y a en fait pas grand chose de plus à dire. J'ai rajouté le lien entre congruence et différence multiple de n. HB (discuter) 24 mars 2016 à 07:36 (CET)

Merci d'avoir répondu.
En fait, 2 choses me chagrinent :
1) c'est l'ordre dans les égalités : j'aurais écrit

• (a₁ – b₁) + (a₂ – b₂) = (a₁ + a₂) – (b₁ + b₂) ;

Car on passe de a₁ – b₁ et a₂ – b₂, qui est la donnée de départ, à l'autre membre de l'égalité (par simple addition de multiples de n, comme tu l'as dit ), ce qui me semble plus ordonné pour déduire la conclusion a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (n).

Et de même pour

• a₁(a₂ – b₂) + (a₁ – b₁)b₂ = a₁a₂ – b₁b₂.
  

2) Mais dans ce deuxième cas, c'est le passage de a₁ – b₁ et a₂ – b₂ à a₁(a₂ – b₂) + (a₁ – b₁)b₂ qui me semble un peu trop rapide.

Il n'y a aucune obligation (bien au contraire) à présenter une démonstration en passant de la donnée de départ à la conclusion. La source donnée dans l'article montre d'ailleurs que les ouvrages pédagogiques procèdent souvent à l'inverse. En effet, à partir d'une même donnée de départ, on peut aboutir à plusieurs conclusions, cela dépend du chemin que l'on décide de prendre. Ce chemin est imposé souvent par le but qu'on s'est fixé. Autant présenter honnêtement la réflexion : je voudrais prouver cela, mais cela peut s'écrire encore comme ceci et ceci se déduit facilement des données de départ. <début réflexion perso> Il fut un temps où les profs se faisaient un point d'honneur de travailler comme vous le dites et présentaient des démonstration magiques qui forçaient l'admiration et l'incompréhension des élèves - on est heureusement revenu à des choses plus pragmatiques et plus proche de la réelle démarche de pensée dans une démonstration<fin réflexion personnelle>

Merci à Anne d'avoir éclairci le passage a1a2-b1b2=a1(a2-b2) + b2(a1-b1). HB (discuter) 25 mars 2016 à 07:29 (CET)

Merci pour ces précisions :)
J'admets volontiers ce que vous me dites, ça justifie l'ordre de la première équation. Mais dans la deuxième, le lien entre a1(a2–b2)+(a1–b1)b2 et a1≡b1(n) et a2≡b2 (n), ne se déduit quand même pas ipso facto.

Puissances et petit théorème de Fermat

Sous les tableaux, il est écrit " il y a 8 entiers premiers avec 15". J'en compte 11 : 2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14. Ou alors je n'ai pas compris, je ne sais pas...

Et si c'est "il y a 8 entiers premiers AVANT 15" qui devait être écrit, je n'en compte que 6, ou 7 si l'on compte 1 : 1,2,3,5,7,11,13.

Il y aussi ce bout de phrase "les seules suites passant par 1 correspondent à des entiers premiers avec 15", alors que je crois que l'on veut dire "les multiples des facteurs premiers de 15", si j'ai bien compris, mais peut-être que "premiers avec 15" veut dire "multiples des facteurs premiers de 15", mais à ce moment là, c'est ambigu...

Vous semblez confondre la notion «est premier avec» avec la notion «n'est pas diviseur de ». En effet 6, 9, 10, 15 ne sont pas premiers avec 15 car ils possèdent un diviseur commun avec 15 plus grand que 1. Il existe donc bien exactement 8 entiers premiers avec 15 : 1(que vous avez oublié), 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

cependant, un article de wikipedia (ni même sa page de discussion) ne peut remplacer un cours de mathématiques. En prenant un vrai livre (ou un professeur) vous pourrez bénéficier d'une progression pédagogique dans l'introduction des notions. Cette page de discussion a davantage pour vocation de corriger des erreurs éventuelles dans l'article et pas de remplacer un cours. HB (discuter) 25 mars 2016 à 07:41 (CET)

Il m'arrive donc d'être le boulet qui fait redescendre sur terre mes camarades contributeurs, matheux enthousiastes et éminents, qui oublieraient que 99% des lecteurs ne possèdent pas une maîtrise des mathématiques. Merci quand même. Ça me fait penser à : http://529.karmaos.com/post/300

Touché. Pardon pour ma maladresse. Cependant le fond de ma pensée reste le même, on ne peut pas tout expliquer dans un article, ni dans sa page de discussion. Merci cependant pour votre intervention qui a permis de rajouter le bon lien pour premier avec. HB (discuter) 25 mars 2016 à 09:02 (CET)

Merci beaucoup à vous.