Discussion:Centralisateur

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Le texte original étant un copier/coller de http://perso.club-internet.fr/mmathou/commutation.html, je l'ai reformulé. -- Grum 29 nov 2004 à 22:34 (CET)

La section "Propriétés"

La section "Propriétés" consiste en ces deux alinéas :

"Le centralisateur de S rend S central d'une certaine façon : s'il existe un sous-groupe H de G tel que S soit inclus dans le centre de H, alors H est inclus dans le centralisateur de S. Autrement dit, le centralisateur de S est le plus grand (au sens de l'inclusion) sous-groupe de G dont le centre contient S, à condition qu'un tel sous-groupe existe effectivement (c'est toujours le cas si S est un singleton).

Dans le cas général, le centralisateur de S est un sous-groupe distingué du normalisateur de S. On peut donc considérer le groupe quotient N(S)/C(S), dont on montre si S est un groupe qu'il est isomorphe à Int(S), le groupe des automorphismes intérieurs de S."

Le premier alinéa me semble sans grand intérêt (je ne me souviens pas avoir lu quelque part cette explication du mot "centralisateur").

Le second alinéa me semble erroné : prendre pour G le groupe symétrique S_n et pour S le sous-groupe alterné A_n. Si n > 3, le centralisateur C(S) = C(A_n) de A_n dans S_n est réduit à la permutation identité. (Soit f un élément du centralisateur, soit a un élément de l'ensemble sur lequel opère S_n. Nous pouvons choisir dans cet ensemble des éléments b, c et d distincts de a et distincts entre eux. Alors f (a b c) f^-1 = (a b c), d'où, en identifiant les supports, {f(a), f(b), f(c)} = {a, b, c}. De même, {f(b), f(c), f(d)} = {b, c, d}. La comparaison des deux résultats donne f(a) = a, donc f est la permutation identité.) D'autre part, A_n est normal dans S_n, donc N(S) = N(A_n) = S_n. Ainsi, N(S)/C(S) est isomorphe à S_n et a donc strictement plus d'éléments que S = A_n. Il ne peut donc pas être isomorphe à Int(S), qui est un quotient de S = A_n.

Si quelqu'un est d'accord avec mes objections, on pourra peut-être s'entendre sur un remaniement (auquel je pourrais travailler dans la soirée). Marvoir (d) 31 janvier 2011 à 12:42 (CET)

ok pour supprimer le 1er alinéa, et remplacer le 2ème par des résultats corrects, comme sur :en (j'avoue que je ne connais pas leur "N/C theorem", mais il ne dit peut-être rien de plus que ce qu'ils lui font dire là). Anne Bauval (d) 31 janvier 2011 à 19:16 (CET)

Merci de la réponse. J'ai cité le lemme N/C dans l'article Groupe complet. Ce lemme dit que si H est un sous-groupe d'un groupe G, le centralisateur C de H dans G est sous-groupe distingué du normalisateur N de H dans G et que le quotient N/C peut être plongé dans Aut(H). (Voir Rotman 1999, p. 156.) Ce dernier fait est intéressant quand on connaît bien H et Aut(H) et qu'on s'interroge sur N_G(H). Je travaillerai sans doute à l'article mercredi. Marvoir (d) 31 janvier 2011 à 20:40 (CET)

Travail inédit, évidence ou erreur ?

J'ai remanié l'article, comme convenu sur la présente page. Je me suis un peu amusé à tirer des coups de canon pour tuer une mouche (trois démonstrations du fait que le centralisateur d'un élément est un sous-groupe...), j'espère qu'on voudra bien s'en amuser aussi.

Dans la section "Compléments", j'ai énoncé et démontré ceci :

$\ \qquad C_{G}(X)=C_{G}(C_{G}(C_{G}(X))).$

Cela me semble évident, mais, curieusement, Kurzweil et Stellmacher, section 3.1, exerc. 7, p. 62, énoncent seulement

$\ \qquad C_{G}(C_{G}(C_{G}(X)))\subseteq C_{G}(X).$

Me suis-je rendu coupable d'une erreur ? Ou, pis encore, d'un travail inédit ? Marvoir (d) 2 février 2011 à 16:40 (CET)

Pas de probléme, dirait-on. W.R. Scott, Group Theory, exer. 3.2.22, c, p. 52, donne bien

$\ \qquad C_{G}(X)=C_{G}(C_{G}(C_{G}(X))).$

Je vais mettre la référence dans l'article. Marvoir (d) 5 février 2011 à 10:09 (CET)

Commutant et bicommutant

Dans le résumé d'une modification de l'article Centralisateur, Anne Bauval signale qu'une partie de l'article fait double emploi avec les articles Commutant et Bicommutant et suggère de ne pas répéter ici la partie commune.

Tu as raison, Anne ! Dommage que quand j'ai travaillé à l'article Centralisateur, il ne contenait pas de lien vers Commutant et Bicommutant ... On pourrait maintenant se contenter de dire dans Centralisateur, au lieu de la section "Compléments", que le centralisateur est le commutant et qu'il possède donc telle et telle propriété du commutant. On pourrait carrément supprimer la section "Compléments". Qui le fait, toi ou moi ? (Je n'aime pas beaucoup faire grossir mon edit count grâce à une idée qui vient de quelqu'un d'autre...) Note : il serait bon de sourcer les articles Commutant et Bicommutant. On peut le faire en renvoyant à Bourbaki, Algèbre, ch. I, 1970, pp. 7-8. Marvoir (d) 5 février 2011 à 16:50 (CET)