Discussion:Anneau des entiers de Q(√5)

Titre

J'ai des problèmes avec cet article car la terminologie 'entier de Dirichlet' n'est pas courante (et ne correspond pas au travail de Dirichlet, ce qui n'est pas grave en soi, mais devrait peut-être être plus clair dans l'article). --Cgolds (d) 19 mai 2008 à 23:31 (CEST)

J'ai ajouté une remarque pour indiquer que la terminologie n'est pas courante. Je n'ai pas de meilleure idée de nom. L'expression arithmétique du nombre d'or me semble beaucoup trop racoleuse pour un article un peu technique, qui risque d'augmenter l'audience et de décevoir la majorité des lecteurs. Le travail précis de Dirichlet sur cet ensemble est indiqué à la fois dans l'histoire et précisément dans le dernier paragraphe. Jean-Luc W (d) 23 mai 2008 à 19:19 (CEST)

Ce problème a été soigneusement examiné et tranché en théorie, mais pas en pratique. Il faudrait au moins, même si ce titre incorrect est conservé faute de mieux, utiliser cette expression le moins souvent possible dans l'article (une remarque en fin d'un très long paragraphe introductif ne dédouane pas), et retitrer tous les liens dans d'autres articles qui pointent vers ici. Anne 2/10/10

Le mieux étant parfois l'ennemi du bien, je propose de renommer suivant la proposition faite dans cette discussion, soit Anneau des entiers de Q(√5). Je retitrerai alors au moins dans les articles qui présentent le problème soulevé ici Discussion:Arithmétique_modulaire#Dirichlet_et_Fermat, mais pas forcément partout. Proz (d) 24 mars 2013 à 11:59 (CET)

J’ai vu que tu avais replongé dans l’article. Il y a vraiment plein de problèmes dedans. Outre le caractère quasi-TI du nom (qui bien sûr est maintenant repris ailleurs, comme il fallait s’y attendre, vive Wikipedia…), l’article n’avait de sens que pour mettre bien en relief le passage de l’usage naif, disons, de √5, dans des démonstrations à la notion d’entier algébrique et d’arithmétique dans les corps de nombres algébriques. Donc tout ce qui précède (en particulier les Indiens, l’équation de Pell-Fermat ramené à ce cas etc…) est plus perturbant qu’autre chose. Je crois que Jean-Luc le voulait à cause de l’article "nombre d’or". Mais il n’y pas de bonne raison pour avoir un article sur un exemple d’anneau d’entiers (sauf ceux de Gauss, évidemment, mais c’est une autre affaire), n’est-ce pas ? Du coup, le changement de titre ne va pas de soi non plus, il me semble surtout mettre en relief qu’il n’y a pas de raison d’avoir cet article. L’article sur l’arithmétique modulaire pose au moins aussi des problèmes de contenu (toujours l’intrusion d’une histoire totalement TI pour le moins dans un sujet assez bien défini actuellement par ailleurs)…Amicalement,--Cgolds (d) 24 mars 2013 à 12:57 (CET)

La question terminologique est quand même assez pénible, outre que c'est hors de toute règle, ça me semble créer un précédent facheux. Je propose justement de ne pas résoudre tous les problèmes à la fois, il n'y a pas de solution simple hors la suppression (inaccessible au vu des moeurs actuelles ama, et d'ailleurs je ne suis moi-même pas convaincu aujourd'hui qu'il faille en arriver là). En renommant on en règle un, et ça n'a rien de définitif. L'article vise je crois une introduction à travers un exemple aux notions d'entier algébrique etc. La partie historique est effectivement assez superflue, pas ou mal sourcée, le lien avec Dirichlet semble finalement relativement ténu, on peut très bien la supprimer.

Pour ce qui est du 3ème problème que tu soulèves : article sur un exemple (il y en d'autres), effectivement c'est assez limite, j'avoue que je n'ai pas d'opinion tranchée (d'un autre côté ça serait sourçable d'après les débats, on voit bien que c'est une mine d'exercices niveau prépa ou L), mais je propose de régler déjà le premier, et pourquoi pas le second.

Pour arithmétique modulaire (autre sujet) : pour moi le problème n° 1 est que, de ce que je constate, c'est employé par les informaticiens pour l'arithmétique (au sens opérations arithmétiques) modulo un entier, avec pas mal d'aspects algorithmiques, peut-être un peu plus largement par les mathématiciens en anglais, mais certainement pas au sens étendu de l'article (par exemple déjà les entiers de Gauss sont hors sujet). Il est clair que la partie historique n'est pas sourcée et que ça peut être inquiétant (quel est le "sujet assez bien défini" ?). Proz (d) 24 mars 2013 à 15:21 (CET)

D’accord sur toute la ligne ! Je suppose que les entiers de Gauss ne sont dans l’article que parce qu’ils sont introduits par Gauss pour démontrer des lois de réciprocité (ce qui concerne l’arithmétique modulaire), mais cela ne devrait être au plus qu’une incise ici. Eventuellement, quand tu auras résolu les problèmes principaux, je pourrais intervenir sous la forme qu’un court paragraphe historique (sourcé) (ou non, selon l’orientation de l’article : c’est un exemple qui est souvent donné dans les introductions à la théorie algébrique des nombres, mais ce n’est pas un exemple qui a d’abord été étudié pour lui-même avant qu’on le généralise, comme l’article semble le suggérer actuellement). Bon courage ! Amicalement, --Cgolds (d) 24 mars 2013 à 17:37 (CET)

Que cet exemple apparaisse comme cas particulier, après qu'une théorie plus générale ait été établie, est en soi tout à fait intéressant, et ce serait bien que quelque chose soit dans l'article. Proz (d) 25 mars 2013 à 13:09 (CET)

La notation pour une extension de corps n'est-elle pas d'utiliser des crochets, plutôt que des parenthèses ? Ambigraphe, le 25 mars 2013 à 16:35 (CET)

Il me semble que, extension d'anneau : crochets, extension de corps : parenthèses, comme racine de 5 est algébrique c'est pareil. Les crochets ne passent pas dans les titres d'article (j'avais d'abord essayé avec). Proz (d) 25 mars 2013 à 16:41 (CET)

Oui, c’est correct comme cela ! Cordialement, --Cgolds (d) 25 mars 2013 à 17:15 (CET)

Nombre premier

Bonjour, je ne veux pas intervenir directement alors que tu es en plein travail (et très efficace !), mais la section "nombre premier" est à problème. Il y a un mélange entre la définition de premier/irréductible sur les éléments de l’anneau et la notion de ramification d’un idéal premier entre Z et l’anneau (avec les p décomposé, inerte, etc). Amicalement, --Cgolds (d) 25 mars 2013 à 08:09 (CET)

Ah oui ... l'article donne l'impression qu'il y aurait des irréductibles non premiers dans cet anneau. On peut en profiter pour faire disparaître "premier de Dirichlet", par exemple remplacer par "irréductible dans Z[omega]" (utiliser irréductible dans Z[omega] et premier dans Z) ? Je peux m'y coller, mais pour le reste (inerte etc.) je te laisserai faire, tu vois manifestement bien mieux de quoi il retourne. N'hésite pas à intervenir. Proz (d) 25 mars 2013 à 12:59 (CET)

Fait pour irréductible, je reprendrai un peu de relecture, au moins de ce que j'ai modifié, après (pas avant demain ou après-demain). Il faudra également justifier le titre quelque part (renvoyer sur anneau quadratique par ex.) car le sujet pour le moment c'est Z[(1 + √5)/2] ... Par ailleurs en regardant la preuve du petit théorème de Fermat, je m'aperçois que ça n'a jamais été relu, je n'ai pas terminé (et ce serait plus sérieux de donner une source). Proz (d) 25 mars 2013 à 23:10 (CET)

Léger désespoir

Il y a de nombreux problèmes amha :

1) l’article se veut un exemple de choses compliquées expliquées simplement, mais pour l’instant, je le trouve à peu près incompréhensible, car à tout bout de champ, il est fait appel à des théories dont on dit au début qu’on n’en a pas besoin (ex: Galois) ;

1bis) les commentaires sur le fait qu’il faut faire attention à quelque chose ou non (ex: le petit théorème de Fermat dans l’anneau, je ne vois pas du tout le problème)

2) difficile parfois de savoir ce qui est TI ou non ;

3) l’ordre n’aide pas ;

4) il y a des choses dont on se demande ce qu’elles font là : cela me semble bizarre de discuter en détail du corps de fractions, dont on ne se sert pas à vue de nez, et de commencer par dire qu’un nombre n’est pas inversible (qui commencerait l’article sur Z en disant que 5 n’est pas inversible, et ceci d’autant plus que √5 a ici un rôle un peu particulier et que du coup on ne sait pas si c’est à cause de cela que ce n’est pas inversible.

4 bis) Par ailleurs, je n’arrive pas à comprendre la partie résidu quadratique et le lien avec le nombre d’or.

5) Il y a une confusion permanente entre ce qui relève de l’anneau lui-même et ce qui relève du rapport arithmétique entre Z et l’anneau (typique, le mélange entre irréductible et décomposition des premiers, que tu as corrigée, mais l’usage de la loi de réciprocité me laisse perplexe).

Je crois que si on fixait un ordre plus logique, cela aiderait beaucoup. On pourrait continuer le nettoyage après et sourcer à ce moment là. Je fais donc une proposition, mais comme tu es en train de travailler sur l’article, je ne veux pas essayer de la mettre en action sans ton aval (surtout que ce sont les grandes manoeuvres, on va se gêner mutuellement). Donc a)intro plus courte b) structure d’anneau, avec juste un mot sur le corps des fractions, et directement le calcul des puissances de omega pour la suite de Fibonacci, cela ne repose que sur cela, il me semble c) unités, équation de Pell-Fermat d) conjugé, norme, division euclidienne e) irréductible, premier, décomposition en facteurs f) application au grand théorème de Fermat

On doit peut-être inverser c et d, je ne sais pas ce qui est le plus naturel. Reste à caser le petit théorème de Fermat (ou non ?) et l’affaire des résidus : celles-ci ne semble servir qu’à la décomposition de Z à l’anneau, donc si c’est le cas, on peut insérer entre e et f. Mais il y a les phrases sur le pentagone et le nombre d’or que je comprends pas (cela concerne (Z/5Z)* éventuellement, mais ici on est sur le corps quadratique, pas sur le corps des racines 5-ièmes de l’unité, j’ai l’impression qu’il y a aussi de la confusion là-dessus).

Quel est ton avis sur le plan ? Et sur le reste ? , Amitiés, --Cgolds (d) 27 mars 2013 à 15:21 (CET) PS: J’ai oublié un problème: est-ce qu’on parle d’« entier de Dirichlet » finalement, ou pas du tout ?

Je vais détailler, mais je suis pour des raisons connexes dans la même humeur que celle indiquée par ton titre de section. Il y a pour moi aussi un problème de plan, les irréductibles et la décomposition sont introduits trop tôt, rien pour l'existence qui ne demande pas que l'anneau soit euclidien, et qui peut se faire assez facilement ... J'ai voulu aller voir ce que faisaient les sources en prenant celles indiquées par Jean-Luc Projet:Mathématiques/Le_Thé/Archives_4#Nom_Dirichlet et ... le sujet n'y est pas traité. D'avoir un ouvrage comme Ireland-Rosen où l'exemple est traité comme exemple introductif me semblait une garantie de sécurité, et la certitude d'y trouver au moins certaines démo. directes avec des méthodes plus élémentaires, or ce n'est pas cet exemple qui est traité mais beaucoup plus usuellement Z[(-1+√-3)/2] en plus de Z[i]. Le livre de Stark traite (ch 8), avec une approche introductive d'ailleurs très intéressante à première vue, les corps quadratiques et leurs entiers en général, il ne traite pas cet anneau à part, par exemple la démonstration de ce qu'il est euclidien est faite simultanément pour -11, -7, -3 et 5 (et je n'ai pas trouvé le propos attribué à L. Freeman sur son blog ...). Une demi-page allusive dans Ribenboim. Edwards (cité par Freeman) a l'air de traiter le th. de Fermat pour n = 5 à la façon de Dirichlet. Bref, je suis assez estomaqué (je m'attendais vraiment à avoir du solide). Hélas un peu tard, je suis maintenant convaincu, à la lumière de ce que je lis, même en survolant, et dont les choses sont présentées, que tu avais raison et que le sujet n'est pas admissible. Tout présenter à partir d'un seul exemple complique aussi certaines choses. Ca pourrait probablement se renommer en Corps quadratique euclidien (pas sûr qu'il faille distinguer réel, on se prive d'exemples plus simples). Il y a deux solutions : i) renommer et reprendre très vigoureusement, ii) barder l'article de bandeaux dans le style de l'interwiki en: (l'article a été supprimé sur de:). Dans le cas de i) il me semble y avoir quand même des choses à récupérer mais en les replaçant dans un contexte plus général et en modifiant drastiquement le plan. Dans le cas de ii) ce n'est pas la peine de trop se fatiguer. Pour répondre à tes questions :

1) je ne vois pas où la théorie de Galois est réellement utilisée, les allusions ne sont pas très compréhensibles mais je suppose que c'est le résultat à la fin de corps de rupture (mais il n'y a que 2 racines, dont on sait facilement qu'elles sont distinctes) inutile de parler de théorie de Galois pour un corps quadratique.

1bis) je ne suis pas sûr de voir de quel commentaire il s'agit, d'accord sur le principe

2) hélas oui, et je pense qu'il va falloir nettoyer (sachant que là dessus tu es plus compétente pour discerner ce qui est vraiement problématique, et qe tu le verras plus rapidement)

3) même avis (cf. ci dessus)

4) je me suis fait la même réflexion, alors qu'on ne montre pas que ce sont les entiers du corps

4bis) pas lu encore,

5) ok

Fibonacci : ça pourrait se faire dans le cas général d'un racine réelle, récurrence linéaire, rien de particulièrement plus simple pour Fibonacci

Plan : il me semble qu'il faut parler de conjugué et norme avant c), je parlerai d'irréductible et d'existence de la décomposition avant la division euclidienne (et après la norme), ceci aussi dans une perspective corps quadratique euclidien ;

Mon idée était qu'à terme plus ou moins long on ne parle plus d'entier de Dirichlet, qui n'a de justification ni d'usage, ni historique. J'ai déjà essayé autant que possible de le supprimer là où je relisais, et dans les énoncés, en essayant de faire que l'article reste lisible même en cours de transformation (le terme est très très utilisé dans l'article).

Je ne sais plus trop quoi faire dans l'immédiat ... Reprendre déjà le plan avec en perspective le renommage en corps quadratique euclidien ? Continuer de nettoyer a minima (th. de Galois) ? Laisser tomber lâchement ... Proz (d) 27 mars 2013 à 18:05 (CET)

Moi qui étais bien contente que quelqu’un s’y colle…Harvey Cohn, Advanced Number Theory, a plusieurs preuves qu’il fait marcher dans ce cas (et parfois dans d’autres, parfois non) (je dis cela pour te remonter le moral). Disons que je suis prête à faire un nettoyage à partir du plan plus haut (avec tes préférences), et une fois que c’est fait, tu regardes vraiment si cela a du sens de le garder (moi, euh, …). Ou bien ? --Cgolds (d) 27 mars 2013 à 19:23 (CET)

Vas-y sans hésiter bien-sûr. Merci pour la référence. On garde de toute façon, pas la peine de travailler pour rien, il faut juste voir comment. Un détail : j'ai bien l'impression que personne dans les livres de th. des nombres ne parle de "nombre d'or" (pas très surprenant). Proz (d) 27 mars 2013 à 19:51 (CET)

Ménage

J’ai donc fait un brin de réarrangement. Attention, j’ai maintenu la division euclidienne avant les nombres premiers, principalement parce que pour l’instant la preuve de la décomposition part de la division euclidienne (démarche : euclidien=>principal=> factoriel). Tu as raison que si on renomme sur quadratique en général, cela ne marchera pas, mais les preuves données ici non plus… J’ai laissé Pell-Fermat à la fin, mais la logique voudrait sans doute qu’on le rapporhce de la section sur les unités. En revanche, il me semble que le blog de Friedman fait une partie du travail.

Il y a un autre problème… Je viens de découvrir les dessins. Je ne suis pas sûre de comprendre (est-ce qu’on est encore TI ?). Si tu as les livres mentionnés sous la main, tu peux peut-être vérifier, ce que j’ai donne une représentation… différente (évidemment sur les corps complexes, c’est plus facile).

Amicalement, --Cgolds (d) 28 mars 2013 à 01:29 (CET)

Ok, si l'article vise juste l'exemple, autant aller tout de suite à la division euclidienne (par ailleurs l'article sur corps quadratique est à créer, c'est un lien sur extension quadratique). Pour les dessins (celui qui justifie la division euclidienne c'est-bien ça ?), je ne les ai pas vu dans les livres que j'ai consulté. Pour la division euclidienne ce serait quand même mieux de faire la démonstration explicitement. Ca ne parait pas très long, et s'appuyer uniquement sur le dessin pour la majoration ne simplifie pas. Je ne sais pas à quelle genre de représentation tu penses.

Est-on d'accord qu'il faudrait un paragraphe (par exemple après la partie sur la suite de Fibonnaccci) qui définit Q(√5) les entiers de Q(√5) (le plus simplement possible) et montre que c'est Z[(1+√5)/2] avec démonstration ou renvoi à entier quadratique ? Ou suffit-il de le dire ?

Par ailleurs la partie résidu quadratique (4 bis ci-dessous) : je n'ai pas lu en détail, mais je ne comprends pas l'usage de la géométrie. Il y a des choses précises sur les irréductibles dans Hardy and Wright (avec la loi de réciprocité quadratique, quoique le résultat l'utilisant soit proposé à démontrer sans), qui sont utilisées ensuite pour le petit th. de Fermat (dans Z[(1+√5)/2]). Proz (d) 28 mars 2013 à 21:11 (CET)

Un de mes pbs avec les dessins est par exemple qu’ils représentent √5 de la même longueur que, ce qui pour un article élémentaire ne me semble pas indiqué (ou alors il faut le dire ?). D’accord tout à fait pour le reste. L’intro te va pour le moment, je l’ai un peu réécrite ?

Pour les entiers, je pense qu’on peut effectivement dire qu’ils vérifient tous une équation normalisée (il faut vraiment faire la démonstration ou se contenter de celle pour le nombre d’or ?) Et quant à la la preuve de la réciproque (ce sont bien tous les entiers du corps), je ne l’ai pas regardée, cela dépend vraiment de sa technicité, on ne fait pas un cours, quand même. J’avoue que les preuves dans les articles ne m’ont jamais vraiment inspirée. Eventuellement commenter en une phrase ou deux que c’est un exemple des phénomènes un peu compliqués qui tombent sur nous quand on passe de Q à autre chose, même aussi simple que celui-là ? On peut peut-être se répartir les morceaux (mais je te laisse faire le tout TRES volontiers ). Amitiés, --Cgolds (d) 28 mars 2013 à 23:03 (CET)

Aie, mon intention était départ seulement de renommer ... Je me suis pris au jeu en comptant sur des sources qui se sont avérées bidon ... Et je n'ai pas regardé Cohn encore.

intro : je crois que c'est bien, tu renvoies aux bonnes notions, le statut de l'article est beaucoup plus clair (le portrait de Dirichlet se justifie-t-il malgré tout, au fait ?)

Démonstrations : certaines aident à comprendre et font partie de l'exposition (dans ce cas précis peut-être pas évident, ok), on peut donner les arguments pour que ce ne soit pas mystérieux. Je ne parle pas de boîtes déroulantes (qui devraient être exceptionnelles). Je proposerai quelque chose dans un paragraphe introductif sur le corps Q(rac 5) (en éliminant le § corps des fractions), et tu pourras critiquer et reprendre.

Dessins : il s'agit de justifier que le point du réseau le plus proche au sens euclidien convient, donc ça manque de mise en garde et d'explications (la représentation sur le plan déjà), mais la représentation n'est pas absurde (dans le détail on peut discuter, le carré pertube plutôt, l'élément de Q(rac 5) est en lettres latines contrairement à la convention affichée). Maintenant je suis d'accord qu'il faudrait une source (et si tu en as avec des représentations différentes ...). Mais après tout si aucun bouquin ne se soucie de faire un dessin ...

Répartition : je n'interviendrais pour le moment a priori que sur les sections 1 et éventuellement 2 (cf. ci-dessus). N'hésite pas sur le reste, par exemple en choisissant une section (et même si on ne fait pas "tout" ...). Proz (d) 29 mars 2013 à 10:51 (CET)

J'ai proposé une section (améliorable si accord) pour expliquer "anneau des entiers ...", ça me semble utile pour justifier le nouveau titre. Maintenant on peut trouver que le faire sur un exemple est limite. Par ailleurs petit problème de cohérence dans la suite : la norme est utilisée sur le corps (dans division euclidienne) mais définie sur l'anneau. Faut-il détailler les expressions polynomiale pour Z[omega] dans la section 1 ? C'est tellement simple dans ce cas. Proz (d) 30 mars 2013 à 12:28 (CET)

Norme et al

La norme est multiplicative. On peut soit dire comment l’étendre aux fractions, soit rédiger la section sur la division euclidienne entièrement sur les entiers (c’est ce que je pensais faire, à vrai dire, mais je n’ai pas vérifié que tout marche bien ensuite). De toute façon, cela me semble plus clair : c’est bien joli de dire qu'on fait comme dans les entiers de Gauss, mais quand on peut faire comme dans Z, c’est mieux, non, vu l’objectif initial de cet article ?

Un détail : au début de la section sur la structure, il est (toujours) dit que les puissances de omega s’expriment à partir de omega seul et des entiers, mais c’est seulement après que ceci est établi pour le carré, le cube etc. Il faut inverser, non ?

Je n’ai pas essayé d’intervenir maintenant, parce qu’on risque des conflits d’édition, etc., c’est embêtant au possible. Pour l’instant, j’ai créé géométrie des nombres, réclamé et inexistant en français (Jean-LucW a en revanche créé un très joli article sur un des théorèmes principaux, le Théorème de Minkowski, avec des dessins très colorés que je m’en vais intégrer), donc j’ai de quoi m’occuper (et j’aurai moins de temps en avril). Bon courage ! Amitiés, --Cgolds (d) 30 mars 2013 à 13:36 (CET)

Il me semble, et je viens de faire un essai qui le confirme (avec un seul compte), que quand on intervient sur des sections indépendantes il n'y a pas de conflit d'édition. Mais pas de problème, pour plus de sûreté, je te laisse la main pour la division euclidienne donc. Puissances de omega : c'est annoncé pour justifier la notation Z[om] puis démontré, mais je ne pense pas que ce soit la peine (c'est ce que je voulais dire au dessus). Proz (d) 30 mars 2013 à 14:07 (CET)

Menon, menon, vas-y, vas-y . Je serai occupée ailleurs pendant quelques heures de toute façon. Amitiés, --Cgolds (d) 30 mars 2013 à 14:57 (CET)

Groupe des unités

Je propose de reprendre cette section en s'inspirant de Hardy and Wright : la démonstration est faite pour Q(sqrt 2) §14.5 mais ils précisent explicitement que c'est la même chose pour Q(sqrt 5) § 15.4. Elle me parait plus simple : il s'agit de montrer qu'il n'y a pas d'unité entre 1 et omega, par un calcul rapide utilisant le conjugué. Cela rend inutile la représentation géométrique (c'est l'ordre sur R qui est clairement utilisé).

Par ailleurs je suis embêté par les indications historiques : le résultat général invoqué ne l'est pas clairement, stricto sensu ça ne peut pas être exact. Tout ça aurait un sens à propos de l'équation de Pell-Fermat mais c'est trop imprécis, la référence à Lagrange porte sur 175 pages. Que démontre-t-il exactement ? J'ai jeté un coup d'oeil (trop rapide) à Dickson vol 2 : rien d'évident. Bref ça n'a l'air guère récupérable et je propose de simplement supprimer dans ce paragraphe toute la partie historique et de se contenter de faire le rapport avec Pell-Fermat. Proz (d) 1 mai 2013 à 23:55 (CEST)

Sur la partie historique, il s’agit bien de Pell-Fermat (plus généralement de la question de savoir si toutes les unités s’obtiennent à partir d’un nombre fini d’entre elles, une en l’occurrence, au signe près, pour les corps quadratiques réels). On peut le dire correctement comme cela, et donner les références, c’est ce que je m’apprêtais à faire demain matin. Tu peux refaire la section comme tu voulais et je rajouterai les réfs historiques si cela t’arrange, par exemple, je les ai sous la main. Amicalement, --Cgolds (d) 2 mai 2013 à 01:16 (CEST)

J’ai entré mes corrections sur le début. Je te laisse faire ce que tu voulais sur les unités etc., dis-moi quand tu as fini, je complèterai si nécessaire (je pense à la partie historique). Amicalement, --Cgolds (d) 2 mai 2013 à 15:53 (CEST)

Ok, j'ai fini sur les unités, et n'ai rien dit (et tout supprimé) sur la partie historique. Pour le début (définition d'entier d'un corps quadratique), je proposerai d'ajouter que l'équation qui est donnée (comment l'appelle-t-on caractéristique ? le polynôme minimal = 0) est l'équation candidate. Je suppose que tu comptes lever le suspense ("Une remarque sur Z[√5]") et dire quand ces anneaux ont été identifiés (Dedekind ?). Proz (d) 3 mai 2013 à 01:55 (CEST)

Irréductibles etc.

Pour la suite tu as peut-être déjà ton idée (auquel cas très bien). Sinon de ce que j'ai lu, Hardy and Wright 15.4 et 15.5 sont ce qu'il y a de plus complet sur le sujet (l'exemple seulement), mais les irréductibles sont traités avant Fermat. Proz (d) 3 mai 2013 à 01:55 (CEST)

Tu as raison, on peut donner un nom au polynôme dès la section sur le corps. J’ai essayé d’éclairer cela assez tôt, parce que je pense que c’était déconcertant : Z[√5] était introduit aussi comme anneau d’entiers avec le même corps de fractions, donc il me semble que c’est utile de dire tôt que si on prend l’autre, c’est à cause de l’arithmétique. Justement : je pense que c’est utile de donner là un exemple de non factorisation unique (par exemple 4=2.2=(1+√5)(1-√5) doit faire l’affaire si je ne m’abuse), j’hésitais entre le mettre tout de suite ou attendre la section sur la factorisation. L’inconvénient d’attendre la section qui semble la plus appropriée, c’est que du coup cela mélange aussi à cet endroit les deux anneaux (au lieu de ne parler de Z[√5] qu’à un seul endroit). Tu as un avis ? Sinon, oui Hardy and Wright est très bien (j’utilise Cohn pour l’aspect « corps de nombres » parce qu’il traite assez bien les corps quadratiques euclidiens, en donnant l’exemple qu’on veut presque toujours). Je suppose que par Fermat, tu veux dire « petit théorème de ». Franchement, la preuve actuelle est très compliquée, je me demande pourquoi. Et surtout : elle ne vient pas vraiment avant les irréductibles, elle les utilise. Ce qui vient après, c’est la décomposition depuis le corps des rationnels, autrement dit, le début des corps de classes, très élémentairement, je vais y re-réfléchir maintenant qu’on est sur l’obstacle ! Une dernière question : est-ce qu’il y a une bonne raison d’utiliser la version anglaise de HW ? Sinon, je vais rapatrier la version en français et mettre les numéros de page correspondants. Amicalement, --Cgolds (d) 3 mai 2013 à 09:16 (CEST)

PS (après avoir regardé l’obstacle) : HW utilise la loi de réciprocité pour 5. Elle arrive aussi dans le texte actuel (résidu quadratique, mais je n’arrive pas trop à décider si elle est vraiment prouvée ou non dedans, j’ai le sentiment que non). J’ai l’impression qu’en fait le texte suivait un peu HW avant que je n’échange les sections, mais comme plus ou moins les mêmes choses intervenaient à plusieurs endroits, je ne suis pas sûre. Glurps. J’avoue que je suis très tentée de suivre HW (ou Cohn, d’ailleurs), d’admettre la loi de réciprocité pour 5 et de continuer tranquillement. Je ne suis pas sûre d’avoir une preuve simple de la loi pour 5 (ce qui du coup montre les limites de notre exemple élémentaire…). Qu’est-ce que tu penses ? Cgolds (d) 4 mai 2013 à 00:01 (CEST)PS: En plus, j’ai perdu la plus grande partie de mes boutons (y inclus signatures, etc…) apparemment à la suite de grandes manoeuvres annoncées sur le bistro. Cela devient baroque ici.

Aucune bonne raison, c'est juste que je ne l'ai pas (et ne l'ai jamais eu entre les mains). La version française serait préférable bien-sûr (de plus peut-être les notations et le vocabulaire ont-ils été modernisés ?). Si les numéros de paragraphe sont respectés dans la vf (j'ai l'impression qu'ils l'ont été à travers les éditions successives anglaises, au moins à partir de la 4ème), on s'y retrouve de toute façon. J'ai l'impression que le niveau visé est vraiment celui du HW, qui en plus a deux sections sur cet anneau (le mieux que j'ai pu trouver jusqu'à présent), et une application intéressante (test de Lucas).

Tout à fait d'accord pour mentionner dès le début la double décomposition de 4=2.2=(1+√5)(-1+√5) dans Z[√5] (on peut signaler alors plus tard comment le problème est réglé dans Z[omega]).

Le plus simple est peut-être de parler de polynome minimal, Stark parle de "defining equation".

Pour le petit théorème de Fermat : ok, c'est la décomposition, c'est fait dans HW du point de vue de la caractérisation des irréductibles, mais il me semble que tout y est (sauf le rapport avec la suite de Fibonacci qui devrait probablement être ailleurs). La section "Résidu quadratique" n'est de toute façon pas très claire. Une caractérisation des irréductibles analogue à celle de HW serait utile avant le petit th. de Fermat.

Peut-être la complication vient elle de ce que la loi de réciprocité quadratique n'est pas utilisée (mais je n'ai pas encore lu assez attentivement). Proz (d) 4 mai 2013 à 00:08 (CEST)

Réponse à la seconde rép. : assez d'accord, on a vaguement l'impression d'après la note de HW au th. 97 que l'on doit pouvoir avoir une démonstration dans ce cas particulier, mais je n'ai pas réfléchi. Je serais aussi pour suivre HW (ou pourquoi pas Cohn, que je n'ai pas regardé vraiment). Pour l'échange des sections : à dire vrai j'aurais volontiers parlé d'unité, d'irréductible (et même éventuellement d'existence de la décomposition en irréductibles, par la norme) avant de montrer que l'anneau est euclidien, car toutes ces choses se généralisent aux anneaux d'entiers de corps quadratique réel (mais pour la même raison on peut trouver que c'est inutile). Proz (d) 4 mai 2013 à 00:24 (CEST)

Page correspondante en anglais supprimée

05:34, 23 September 2013 Legoktm (talk | contribs) deleted page en:Dirichlet integer (Expired PROD, concern was: Unsourced, and I could not find sources for this concept. The phrases "Dirichlet integer" and "entiers de Dirichlet" do not appear in Google Scholar, and appear in MathSciNet only in some obscure papers by Con... suite ici)

Anne 29 septembre 2013 à 23:23

Vu le commentaire, je ne crois pas que ça remette en cause l'existence de l'article sur fr:, étant donné qu'il est renommé, même si c'est limite. Proz (discuter) 30 septembre 2013 à 18:58 (CEST)

« Étant donné qu'il est renommé » ? si je comprends bien cet « argument », il me semble complètement « hors des clous » des principes de WP. Anne 15 octobre 2013 à 21:32

Ce n'est pas un argument. Je veux juste dire que, comme la quasi totalité de la justification pour la suppression donnée par ton lien argumente sur le titre, elle ne s'applique pas ici directement, rien d'autre. On pourrait d'ailleurs supprimer toute mention des "entiers de Dirichlet" (mais la note ajoutée parait claire). Il n'y a rien de neuf au sujet de l'admissibilité. J'aurais probablement dû écrire, "même si par ailleurs celle-ci est limite". Si tu as une proposition précise en tête, n'hésite pas à être explicite. Proz (discuter) 16 octobre 2013 à 19:00 (CEST)

Oups, j'avais compris complètement de travers le « renommé » ! je croyais que tu voulais dire : comme cet article, qui existe depuis longtemps sur WP.fr, est devenu célèbre, il est désormais admissible. Je suis sûre qu'il ne l'est pas, pourtant (tiens, je vieillis ?) je ne proposerai pas sa suppression et ne participerai pas à la discussion si quelqu'un d'autre le fait. Anne 16 octobre 2013 à 19:48

Ah, je n'y avais pas du tout pensé, oui c'était effectivement ambigu, c'est bien utile d'être explicite finalement. Pour ce qui est de l'admissibilité : je suppose que tu as suivi que les 3 sources données pour emporter le morceau en 2008, cf. Projet:Mathématiques/Le_Thé/Archives_4#Nom_Dirichlet, sont toutes les 3 bidons (voir ci-dessus Discussion:Anneau_des_entiers_de_Q(√5)#Léger_désespoir, au début de ma première réponse), mais il y a quand même Hardy & Wright 15-4 et 15-5. Si tu veux braver le vieillissement, il y aurait peut-être possibilité de faire évoluer vers un article anneau quadratique réel euclidien qui te poserait peut-être moins de soucis, et permettrait de garder ce qui est utile (ça a été fortement réécrit quand même, par exemple plus de partie historique "inédite", un ménage qui reste à faire sur beaucoup des articles d'algèbre). Proz (discuter) 16 octobre 2013 à 20:41 (CEST) PS. Ou les proposition de Cgolds en 2008 : corps quadratique euclidien ou corps quadratique euclidien réel ?

Je préfère assumer mon âge, et profiter du reste de ma vie pour m'amuser à des choses plus neuves pour moi. Merci à toi et à CGolds pour vos efforts sur cet article. Anne 16 octobre 2013 à 21:04

J'ai effacé cette résurgence de l'ancien titre inventé de toutes pièces. Anne 17/4/17 10 h 24

Equation de Pell-Fermat

Saur erreur, avec la suite de Fibonacci f(n-1)+f(n)=f(n+1) d'où f(n-1)+f(n)/2 = f(n+1)-f(n)/2, ce qui devrait beaucoup simplifier l'énoncé des ensembles de solution S(1) et S(-1)  ??? Lf69100 (discuter) 1 juillet 2014 à 15:28 (CEST)

Outre le manque de références, c'est un peu cryptique, là ; vous pouvez préciser votre pensée?--Dfeldmann (discuter) 1 juillet 2014 à 18:22 (CEST)

Citation Ribenboim

J'avais mis cette citation pour donner le contenu utile de la page 49, mais je ne suis pas sûr qu'elle doive rester in extenso, voire rester tout court (ça peut se résumer). Mon impression est que Edwards a vraiment regardé soigneusement les choses (vu les commentaires sur la preuve de Legendre qui sont plus précis, celui de Ribenboim, "preuve indépendante", n'est soit pas très pertinent si c'est pour la preuve complète, soit ambigu sinon). Proz (discuter) 24 mars 2015 à 17:49

Je l'ai juste masquée, pour en garder trace. Anne 24/3/15 18h48

Visibilité du sujet

Si le but est la théorie des entiers dans les corps de nombres, n'y aurait-il pas lieu de fusionner ? Cdlt Michel421 (discuter) 16 décembre 2021 à 12:52 (CET)