Discussion:Angle

Nom des angles

J'ai mis en tête d'article le nom des angles. Caroube 30 juin 2006 à 09:04 (CEST)

Astronomie

Un point n'est pas un angle, que ce soit un point à l'infini ou non. J'ai l'impression que la distance zénithale est l'angle correspondant à la direction du zénith, qui ne peut donc être appellé angle. Je vais voir sur la wiki :en si la même chose existe pour le nadir. Bourbaki 20 juillet 2006 à 21:35 (CEST)

Ah non, il s'agit bien de notions distinctes. Mais elles ne sont pas très bien traitées, et mal liées entre elles. En fait, les coordonnées astronomique sont des mal-aimées de wikipédia. Bourbaki 20 juillet 2006 à 21:45 (CEST)

Le zénith est un angle particulier : c'est un angle droit vers le haut vis-à-vis de TOUT l'horizon (c'est un angle spacial); le nadir aussi, mais dans la direction opposée. C'est effectivement un angle astronomique mais connu bien avant l'astronomie : c'est le point au-dessus de nos têtes, bien sûr, que la géométrie a précisé. Caroube 20 juillet 2006 à 22:09 (CEST)

Et c'est deux angles qui a un nom, comme l'angle plat, droit, etc. Je le mettrai donc, dans le nom des angles et pas ailleurs. Caroube 20 juillet 2006 à 22:16 (CEST)

Plus qu'à trouver des noms moins ambigus, un pour les angles nommés par propriété géométriques, un pour les angles nommé par leur définition pratique. Bourbaki 2 août 2006 à 17:57 (CEST)

mesure vs grandeur

Quand vous dites un angle plat est égal à 180°, vous ne faites pas d'abus de langage car 180° est tout comme l'angle plat une grandeur. La mesure de l'angle est 180. C'est un nombre qui n'est donc évidemment pas égal à un angle. On a 180° = pi radians = l'angle plat. En revanche, l'un quelconque de ses représentants, donc ce que vous appellez secteur angulaire est un objet de type figure. On a donc: 1. Les figures (secteurs angulaires) 2. Les grandeurs (angles représentables entre autres par un couple (mesure, unité) ) 3. Les nombres (mesure de l'angle dans une unité choisie préalablement).

Leroy, prof de maths certifié.

remise en ordre

J'ai essayé de remettre un peu les choses en ordre, parce que l'article était complètement décousu avec des tas de redites. A ce stade voici comment je verrais le déroulement

1. le secteur angulaire et sa mesure (angle non orienté mesuré de 0 à 360°), laquelle peut être appelée angle sans faire un trop gros abus (en vertu d'une bijection qui ne sera précisée que plus bas)

   sur ce sujet il y a un petit truc à décider c'est la déf de base du secteur angulaire : par les demi-plans ou par les droites voir Discussion Utilisateur:HB#Angles.

   Sans payer plus cher on traite l'angle diédral de la même façon

2. l'angle géométrique, classe d'équivalence par la relation de "superposabilité" (c'est à dire par action du groupe affine) : il est non orienté. La mesure est encore définie pour l'angle géométrique (sauf 0 et 360°, seule anicroche). Ca marche encore pour l'espace.
3. l'angle orienté dans le plan (deux versions : orientation "version élémentaire" pas très rigoureuse ou utilisation des rotations définies par déterminant=1)
4. retour sur la question des mesures : le "modulo quelque chose", calcul algébrique sur les angles et clarification de la bijection angle <-> R/2pi Z

A la réflexion, l'espace à 3 dimensions serait peut être mieux dans un dernier paragraphe ? Peps 5 avril 2007 à 19:31 (CEST)

autre proposition : Désolée de repasser après toi mais le plan ne me parait pas encore assez net et l'introduction par les droites sécantes me fait grincer des dents car empêche la notion d'angle rentrant. je propose

1. Géométrie plane
   1. Plan non orienté
      1. Secteur angulaire (avec demidroites de même origine)
      2. Angle géométrique (il me semble que la mesure doit venir seulement après la remarque que plusieurs secteurs angulaires représentent le même angle et vont avoir la même mesure).
      3. Mesure
      4. Cas du triangle (angle saillant) et trigonométrie
      5. Cas du cercle
      6. Angle entre deux droites (angle aigu) - angle alterne interne - angle entre deux courbes
   2. Plan orienté
      1. Angle orienté de deux vecteurs non nul (version simple et allusion ou groupe des rotations)
      2. Angle orienté entre deux droites
2. Géométrie dans l'espace
   1. Angle se ramenant à la géométrie plane (secteur angulaire, droites non coplanaire, problème de l'orientation)
   2. Angle entre deux plans (angle diédral)
   3. Angle solide
3. Usage des angles

j'attends des réactions avant de mettre en oeuvre ce plan.HB 9 juin 2007 à 09:41 (CEST)

comme tu veux. De toute façon, si j'avais laissé l'introduction par les droites sécantes, c'est parce que c'était elle qui figurait initialement (alors qu'on m'a enseigné l'autre). La présentation par les demi-droites ne me semble pas terrible non plus dans le cas de l'angle plat (comment distinguer les deux moitiés ?).

Pour être plus précis, la notion de "zone du plan entre deux demi-droites" ne me paraît pas nette, même si elle est visuelle. Alors que les intersections / réunions de demi-plan se définissent en termes élémentaires.

tu dis : "la mesure doit venir seulement après la remarque que plusieurs secteurs angulaires représentent le même angle et vont avoir la même mesure". Par analogie avec les segments, les vecteurs et les calculs de longueur (ou de mesure algébrique) je dirais que non, l'identification me paraît plus conceptuelle.

à part ça le plan me va. L'essentiel c'est d'éviter le micmac qu'il y avait initialement Peps 9 juin 2007 à 15:06 (CEST)

Angle entre 2 droites dans l'espace

Il me semble qu'etant donne 2 droites non paralelles et non concourantes, il existe un seul couple de plans paralleles tels que chacune des droites soit incluse dans un des plans (ces 2 plans etant eux meme normaux a l'unique (?) droite normale en meme temps aux 2 droites de depart ?). On peut donc alors definir l'angle des 2 droites par l'angle d'une d'elle (D1) avec la projection orthogonale de l'autre sur le plan de D1. --Chouchoupette 5 juin 2007 à 16:32 (CEST)

Ou plus simplement : cet angle serait celui que font des vecteurs directeurs de ces droites (modulo le souci d'orientation, qui ferait que cet angle est toujours inferieur a Pi/2 si on oriente correctement). Le cosinus de cet angle est donne par le produit scalaire de 2 vecteurs directeurs de norme 1.

--Chouchoupette 5 juin 2007 à 18:06 (CEST)

Certes on pourrait.... Cependant, je ne connais aucun ouvrage qui éprouve le besoin de définir l'angle entre deux droites non sécantes donc je serais d'avis que l'on n'invente pas une notion nouvelle. Je profite de l'occasion pour signalerr mes réticences concernant cet article où se mélangent avec risque de confusion des notions comme l'angle géométrique formé par deux demi-droites de même origine (notion qui a un sens) angle géométrique formé par deux droites sécantes (qui n'a pas de sens car n'est pas univoque), angle orienté formé par deux vecteurs non nul (dont les mesures sont connues à un multiple de 2pi près), angle orienté formé par deux droites coplanaires (dont les mesures sont connues à un multiple de pi près). Ton idée de travailler avec le produit scalaire de deux vecteurs directeurs est intéressante mais que fais tu quand ce produit scalaire est négatif? HB 5 juin 2007 à 19:13 (CEST)

Alors a vrai dire, je n'interviens pas sur les articles de math, et si je suis venu rafraichir mes vieilles etudes sur le sujet, c'est que je suis tombe sur un test d'entree dans les universites chinoises (qui etait mis en parallele avec un test dans les universites anglaises), et que ce probleme demandait entre autre de determiner un angle entre 2 droites de l'espace non concourrantes. J'ai eu les memes interrogations que vous, je suis donc venu me renseigner sur cette notion, et ne trouvant pas de reponse, j'ai reetudie rapidement la question. Definir l'angle de droites revient a definir l'angle que font leur vecteurs directeurs respectifs, modulo la question de l'orientation de ces vecteurs. La formule vecteurU.vecteurV=||u||.||v||.cos(angleU_V) est vraie aussi dans l'espace (voire c'est ainsi qu'on peut definir le produit scalaire dans l'espace) cf. ce lien, definition 3. Si le PS est negatif, ca ne pose pas de probleme, l'angle des vecteurs est simplement superieur a Pi/2. L'angle en valeur absolue (donc modulo l'orientation qu'on pourrait donner du plan forme par ces 2 vecteurs) est toujours compris entre 0 et Pi. Enfin, modulo une orientation correcte des vecteurs directeurs, cet angle (en valeur absolue toujours) peut toujours etre ramene entre 0 et Pi/2.

Pour avoir ete posee lors d'un test d'entree en universite, cette notion n'est pas anectodique, ni le fruit de mon imagination :) Et c'est justement car elle ne semble pas evidente au commun des mortels a premiere vue qu'il serait bon de preciser qu'elle a un sens.

--Chouchoupette 6 juin 2007 à 22:12 (CEST)

Intéressant ton histoire de test. As-tu un lien vers une version en caractère latin ? (c'est pour ma culture personnelle). Merci. HB 6 juin 2007 à 22:20 (CEST)

C'est extrait d'une revue politique, je l'ai scanne et uploade ici. Quel crétin je fais : ils en parlent ici (voir les 2 Downloadable Files en bas de l'article). A vrai dire j'ai quelques doutes sur l'equite de la comparaison (peu probable que ca s'adresse aux meme sections d'etudiants), et d'autre part il est possible qu'en Chine on accorde une bien plus grande importance a la geometrie que sous nos longitudes.

--Chouchoupette 7 juin 2007 à 23:24 (CEST)

Tu as raison sur l'équité : la difficulté d'un exercice dépend de la formation reçue. Merci pour le lien (l'exercice est intéressant): il justifie l'allusion à l'angle formé par deux droites non coplanaires et une reférence à la cristallographie dans les applications. HB 9 juin 2007 à 09:15 (CEST)

Dès lors qu'on définit un invariant pour deux sous-espaces vectoriels, on le transporte pour des sous-espaces affines sans difficulté. On peut en conséquence définir l'angle entre deux droites affines d'un espace réel de dimension n sans difficulté. Le plus simple est de déplacer une droite parallèlement à elle-même pour la rendre concurrente à la seconde (cela revient soit à linéariser l'espace au point de concurrence, soit à projeter orthogonalement comme Chouchoupette l'a proposé). Le fait qu'un angle ne dépende pas de la position d'une droite à parallélisme près est un principe intuitif qui s'appuie sur la proposition selon laquelle c'est vrai en dimension 2. On démontre sans difficulté que le résultat ne dépend pas de la manière dont la droite a été déplacée parallèlement à elle-même.

Du même genre d'esprit : comment peut-on définir une distance entre les droites affines de l'espace environnant ?

Une question plus intéressante est de savoir comment on peut axiomatiser la notion d'angle.

En pratique, le produit scalaire ne se définit pas à partir de l'angle des vecteurs ; c'est l'angle des vecteurs qui se définit en fonction du produit scalaire. Mais quelles propriétés doit vérifier une fonction $\theta$ de vecteurs non tous deux nuls pour effectivement mériter d'être appelée mesure angulaire ? Attention, étant donné que le produit scalaire n'est pas encore défini, il est illégitime de faire agir le groupe orthogonal, qui n'existe pas. C'est ce genre de questions qu'on peut vouloir se poser pour introduire des nouvelles structures et transporter des résultats par généralisation et respécialisation. Ekto - Plastor 9 juin 2007 à 20:44 (CEST)

Plan orienté par un vecteur normal

Pour orienter le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base $({\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})$ dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal ${\vec {\imath }}\wedge {\vec {\jmath }}$.

La première phrase et l'illustration semblent faire référence à un "espace physique" et la seconde à un "espace abstrait" dont on a (implicitement) choisi une orientation (en plus de la structure euclidienne). Comment rendre ça plus rigoureux sans l'obscurcir ? D'autre part, pourquoi parler de ça dans cet article ? Anne 25/11/2010

Réécrit puis transféré dans « Orientation (mathématiques) ». Anne 11/07/2017

Millième d'artillerie

Bien le bonjour aux wikiGéomètres ! J'ai un souci au sujet du millième... Vous savez évidemment que cette unité (a priori absurde et inutile puisqu'elle ne diffère qu'à 10^–11 du milliradian avec lequel elle est d'ailleurs souvent confondue) n'a de sens qu'à cause de l'usage cavalier qu'en font les artilleurs : ils appliquent "L’angle de X[ma] est celui sous lequel on voit un segment de X[m] à 1[km] de son pied", càd qu'ils considèrent la mesure en [ma] comme proportionnelle à la hauteur de l'objet observé (à tg(α)) plutôt qu'à l'arc du cercle centré sur l'observateur (à α). Cette approximation, tolérable pour les petits angles qu'ils fréquentent exclusivement, simplifie grandement les divers calculs de visée (plus besoin de trigo, c'est nos ptits zélèves qui seraient contents !). C'est le même genre d'erreur négligeable que celle des "pentes" indiquées sur les panneaux de circulation où la tg est remplacée par un sin facile à évaluer sur le terrain.

Il est certainement inutile d'entrer dans les détails mais il me semble fâcheux de présenter le [ma] comme une unité "normale" (l'invention de Charles-Marc Dapples est quand même plus finaude qu'une division par 1000…).

Je laisse les (excellents !) rédacteurs de cet article juger.

Portez-vous bien et bonne année ! MuPiKa 4 janvier 2013 à 20:22 (CET)

Notation pour l'angle rentrant

Je découvre ça et là qu'il se note avec un \widehat à l'envers (pour le distinguer du saillant), mais je ne trouve pas le symbole en LaTeX pour l'écrire dans l'article. Anne 11/07/2017

Normalement, c'est \widecheck mais c'est dans un package spécial qui n'est pas activé sur WP (normal, c'est une notation uniquement pour le premier cycle en France, donc très marginale). J'ai bricolé çà :

${\overset {\scriptscriptstyle {\diagdown \diagup }}{ABC}}$

mais ça n'est pas génial. HB (discuter) 11 juillet 2017 à 19:44 (CEST)

Merci, je ne sais pas si ça vaut le coup de l'utiliser. J'ai une autre question : j'ai croisé hier ceci :

${\widehat {({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}})}}=\pm ({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}})$

ce bouquin ne me plait pas trop parce qu'il identifie les angles à leur mesure (donc j'ai transformé en « en tant que classe d'équivalence, l'angle géométrique ${\widehat {(u,v)}}$ est la réunion des deux angles orientés $(u,v)$ et $(v,u)$ ») mais cette formule m'interpelle à propos du symbole ${\widehat {\quad }}$ : j'avais pris l'habitude de le mettre aussi sur les angles orientés mais en consultant les bouquins, il me semble réservé aux angles géométriques (ce qui s'avère bien commode ici). Me gourje ? Anne, 18/7, 11 h 47

Identifier l'angle à sa mesure est extrêmement courant. Pour ma part, je n'utilise jamais ${\widehat {\quad }}$ pour l'angle orienté et utilise exclusivement la notation très lourde $\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right)$. Mais WP a ébranlé beaucoup de mes certitudes. Quand je t'ai vu accepter sans broncher les notations de l'illustration, j'ai cru qu'il s'agissait d'une tolérance que j'ignorais. Du coup j'ai un peu cherché. Au niveau lycée, il est clair que ${\widehat {\quad }}$ semble réservé à l'angle géométrique (je n'ai pas consulté tous les livres mais une tendance nette se dessine). Dans le supérieur, c'est moins sur. Berger, géométrie T.2 note ${\widehat {\Delta ,\Delta '}}$ l'angle orienté de deux demi-droites et ${\overline {\Delta ,\Delta '}}$ sa mesure principale. Lelong Ferrand Arnaudiès (T.3) utilisent ${\widehat {\quad }}$ uniquement pour la mesure de l'angle non orienté qu'ils nomment «écart angulaire». Tauvel définit les angles par les orbites sous l'action d'isométrie ou d'isométrie directe et rapidement confond lui aussi angle et mesure. L'angle non orienté de demi droite est donc confondu avec se mesure et est noté ${\overline {\Delta ,\Delta '}}$, l'angle orienté est noté $a(\Delta ,\Delta ')$. Bref, notation variable mais rareté semble-t-il de ${\widehat {\quad }}$ pour l'angle orienté. On peut décider de s'en passer. Dans ce cas, je serai obligée de modifier le dessin. HB (discuter) 18 juillet 2017 à 14:17

Signe d'un angle orienté

L'actuelle « Première approche » et son illustration sont très confuses parce qu'elles mélangent trois choses :

• le fait qu'un angle orienté est représenté par un couple de demi-droites donc par l'un (saillant) ou l'autre (rentrant) des deux secteurs angulaires qu'elles délimitent, plus le sens dans lequel ce secteur est balayé, c'est-à-dire la simple précision de quelle demi-droite est la première. Pour cela, nul besoin d'orienter le plan donc le symbole + entouré d'une flèche au centre de la figure est à supprimer impérativement, et la légende à remplacer ;
• le fait, également illustré par la figure, que les angles orientés $({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})$ et $({\widehat {{\vec {v}},{\vec {u}}}})$ sont opposés dans le groupe des angles. Là aussi, l'orientation du plan est absolument hors-sujet ;
• la glose sur « modulo 2π », dont la place est plutôt dans « Enfin une vraie mesure d'angles », seule sous-section de la section « Angles orientés de vecteurs » nécessitant d'orienter le plan, et qui devrait donc venir en dernier dans cette section, après « Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs ».

Je propose donc de remplacer ce § « Première approche » par les explications ci-dessus, à mettre chacune à sa juste place dans « Angles orientés de vecteurs ». Si je ne le fais pas moi-même, c'est parce que je ne sais pas modifier la figure en enlevant le zigouigoui central.

Anne, 16/7/2017, 16 h 45

Entièrement d'accord avec toi. Des fiches de l'APMEP de 1970 mettent d'ailleurs bien en garde sur le fait qu'il est inutile d'orienter le plan pour parler d'angle orienté. Elles vont même plus loin et évitent le terme d'angle orienté pour privilégier le terme «angle de couple de demi-droites ou de vecteurs» (purisme qui n'a pas résisté au temps).

Concernant le zigouigoui central, je peux recréer la même image, cette fois-ci en svg et sans l'orientation (si les autres éléments de la figure te conviennent). Donne moi le feu vert.

Concernant la réécriture, je préfère te laisser faire, je trouve la notion d'angle trop multiforme pour être satisfaite de mes modifications ni de l'état actuel de l'article. HB (discuter) 16 juillet 2017 à 16:56 (CEST)

Merci pour cette refonte indéniablement plus rigoureuse. Un remord cependant : l'article est devenu moins accessible. L'ensemble des angles orientés vu comme un ensemble quotient isomorphe au groupe des rotations, sa mesure vue à travers l'exponentielle complexe, quelle bagage culturel cela demande ? A mon avis quand on en est à parler de matrice et d'exponentielle c'est qu'on a compris depuis longtemps ce qu'était un angle orienté et sa mesure et qu'on a seulement besoin d'un cadre rigoureux pour les présenter. Mais si on cherche à savoir ce que c'est, je crains que notre article laisse le non matheux un peu sur sa faim.

En classe de seconde (programme 1994), la présentation des angles orientés passait par les mesures d'arcs orientés sur un cercle de rayon 1. On faisait correspondre alors chaque couple de vecteurs unitaires à un couple de points sur ce cercle. On pouvait dons associer à ce couple de vecteur unitaires, l'ensemble des mesures de l'arc de cercle associé, on appelait cela les mesures de l'angle orienté (u, v). Deux angles étaient égaux s'ils avaient mêmes mesures. Bref, on mélangeait effectivement tout mais on était compréhensible.

Ce remord peut sembler contradictoire car je t'ai moins même encouragée à aller vers plus de rigueur. Mais cela explique mon insatisfaction permanente sur le traitement de cet article. Grand écart impossible ? HB (discuter) 18 juillet 2017 à 08:45 (CEST)

Je ne crois pas avoir rendu l'article moins accessible mais c'est vrai qu'il l'est resté, parce que j'ai conservé le plus possible l'existant : je n'ai fait, en gros (mais ça m'a pris une journée) que supprimer des absurdités, permuter des paragraphes, et ajouter une transition entre les angles géométriques "à l'ancienne" et les angles orientés de vecteurs. On pourrait, tout en restant rigoureux donc en ne parlant de mesure d'angles orientés de vecteurs qu'à la fin de cette section — ce qui ne devrait pas trop frustrer le lecteur car on parle déjà, de façon simple, de mesure d'angles géométriques en début d'article — se dispenser :

• de l'exponentielle complexe pour définir la mesure (présente depuis le 9/7/2009 mais les matrices de rotation avec cos et sin suffisent) et
• des classes d'équivalence pour définir l'angle (présentes depuis avril 2007), en choisissant d'emblée un représentant pour chacun de ces angles : un vecteur unitaire ou un point, sur le cercle unité non orienté mais pointé. Ça correspond un peu à ce que tu suggères, tout en ménageant la rigueur donc en n'identifiant pas un angle à sa mesure : ce n'est qu'à la toute fin, dans « Enfin une vraie mesure d'angle » qu'on constate le lien entre mesure(s !) d'angle orienté et mesure d'angle géométrique.

Anne, 18/7, 10 h 37

Non, tu ne l'as pas rendu plus inaccessible. En le rendant plus clair (et je reconnais que c'était du boulot) tu as mis en évidence son inaccessibilité. Je ne crois pas que se limiter aux matrices pour les mesures , ou à un représentant sur un cercle pointé pour l'angle rendra les choses plus accessibles (d'autant plus que je n'ai jamais vu la seconde approche - mon approche par les arcs correspond grosso-modo à la présentation que l'on trouve ici). Le passage par des classes d'équivalence ou des orbites est une présentation tout à fait légitime et abondamment sourcée. Elle a vocation à figurer ici. Berger remarque que le passage par l'exponentielle complexe pour définir les mesure d'angle est couteux mais selon lui, il n'existe pas de théorie bon marché permettant de s'en passer (Berger, T.2, p.32). La présentation à l'aide des longueurs d'arcs orientés sur un cercle est une présentation du secondaire, court-circuitant les classes d'équivalence mais mélangeant allègrement angle et mesure. Ces deux présentations me semblent non miscibles. Comme je regrette la présentation «simple», j'en ai parlé au cas où quelqu'un aurait une idée géniale pour harmoniser le tout.HB (discuter) 18 juillet 2017 à 14:49 (CEST)

Qu'est-ce que l'on peut faire avec ce genre de trucs ?

La question "qu'est-ce que l'on peut bien faire avec ce genre d'objets" devrait être la question principale dans un exposé encyclopédique. C'est justement pour cela que les "fiches de l'APMEP de 1970" constituent la pire source possible sur le sujet: leur leit-motiv était "c'est encore plus beau lorsque c'est inutile". Le bilan de tout ce bouzin à coup de bi-droites équi-truc a été de stériliser l'enseignement des différentes notions d'angle. Au point que ces notions ont pratiquement disparu de l'enseignement, en France, à tous les niveaux. Evidemment, le reste du monde a survécu, ce n'est donc pas si terrible, vu de Sirius. Au passage: mesurer les angles est une activité amusante, surtout si l'on procède à coup d'exponentielles complexes. Il se trouve simplement que, presque toujours, cela est totalement inutile: la trigonométrie permet de conduire les calculs uniquement avec des outils rationnels. Par exemple, l'angle orienté entre deux droites se caractérise par sa tangente. Et l'on sait combiner des tangentes entre elles.

Cordialement. Pldx1 (discuter) 16 novembre 2017 à 12:19 (CET)