Discussion:Équation différentielle linéaire d'ordre deux

"deux informations"

je ne suis pas d'accord avec la formulation "il faut deux informations sur f". Par exemple l'équation y ' ' = - y avec les conditions y(0)=y(2*Pi)=0 a une infinité de solutions. Si les deux informations sont une condition initiale (y(t) et y'(t) pour un certain t), pas de problème. Mais pour une condition aux limites, il peut y avoir parfois 0 ou une infinité de solutions. Peps 10 août 2006 à 19:16 (CEST)

En toute théorie, la formulation est juste : il s'agit d'une condition nécessaire (il faut deux informations) mais comme tu le fais remarquer ici, elle n'est pas suffisante. Si tu le juges nécessaire, modifie l'article en conséquence. - HB 11 août 2006 à 08:50 (CEST)

attention cette formulation serait fausse aussi... par exemple voici une seule information $f(0)^{2}+f'(0)^{2}=0\,$, elle donne une unique solution. En fait en employant un mot tel que "information" qui est vague, il faut mettre au moins un bémol en disant "en général deux informations sur f donnent une solution unique", puis préciser les deux types d'"informations" courantes

• s'il s'agit de conditions initiales : CNS
• s'il s'agit de conditions aux limites : non garanti Peps 11 août 2006 à 10:44 (CEST)

Touché coulé ;-) tu modifies ? HB 11 août 2006 à 10:56 (CEST)

tu aurais cependant raison si on choisissait d'appeler "information" une forme linéaire mais je doute que ce soit malin de faire ce genre d'observations dans l'article. J'ai proposé une modif, chamboule à ta guise. Un point qui me gêne un peu, c'est que dans l'article on est sur R et qu'à un omoment, paf on passe sur C. Même si je vois la raison, je trouve cela un peu déconcertant. Peps 11 août 2006 à 13:56 (CEST)

Est-ce plus clair maintenant ? Il y a encore à faire sur cet article : je reste sans idée sur le cas où les coefficients sont non constants HB 11 août 2006 à 14:32 (CEST)

oui c'est bien mieux ! pour les coeff non constants, je me pencherai dessus, il y a plein (trop) de choses à dire, mais on est un peu obligé d'appeler l'algèbre linéaire à la rescousse

par ailleurs tu auras sans doute un avis sur équation différentielle (mathématiques élémentaires) créé récemment, qui pose un problème d'articulation avec cet article-ciPeps 11 août 2006 à 14:54 (CEST)

bon j'en ai fait un brin, faudra relire et faire un exemple. Le cas avec second membre est plus pénible à écrire... pour plus tard ! Peps 11 août 2006 à 15:36 (CEST)

Une remarque : c'est un détail bien sûr, mais il serait bienvenu (je pense) de modifier la variable qui représente l'amplitude pour la solution proposée en "a*cos(vx+phi)", puisque le symbole "a" fait déjà partie des symboles présents dans l'équation différentielle ou dans l'équation caractéristique. Sinon je trouve cet article bien foutu.

En effet, j'ai fait la modif (je n'ai pas tout relu, j'espère avoir fait correctement). N'hésitez pas à faire des modifs vous-même ! Peps 14 mars 2007 à 11:35 (CET)

Delta < 0 , d'ou viens le u dans e^{ux} ?

Merci de bien vouloir pardonner mon ignorance, en section5 (delta < 0), d'où sort le u et le v dans : f_1(x) = e^{ux} (\cos(vx) + i\sin(vx))

quel pourrait être le détail de ces valeurs ?

Désolé si vous trouvez ma question inadaptée ici 82.66.11.136 (d) 5 juillet 2010 à 22:04 (CEST)

si le discriminant est négatif, les racines sont complexes et u et v représentent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire des racines. Dans l'article il est écrit "L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : $\lambda _{1}$ et $\lambda _{2}$ conjuguées l'une de l'autre." et plus loin "On note alors $\lambda _{1}=u+iv$." HB (d) 5 juillet 2010 à 23:17 (CEST)

notation

Équation différentielle homogène À coefficients constants Elles sont de la forme [...] Si Δ > 0, L'équation possède [...] Si Δ = 0, L'équation ne possède qu'une [...] Si Δ < 0, L'équation ne possède pas [...] Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur ℝ et à valeurs dans ℂ. [...] Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans R. [...]

On est passé de la notation ℝ à la notation R. Il s'agit bien des réels dans les deux cas ? C'est un peu loin pour moi. Sauf indication contraire (d'un connaisseur), je modifierai pour mettre ℝ. Francool50 (discuter) 12 janvier 2014 à 21:57 (CET)

Tu as raison, il faut être homogène dans un même article. Il existe en fait deux écoles pour noter l'ensemble des réels (ℝ et R) mais au sein d'un même article il faut éviter de mélanger. J'espère avoir corrigé partout. HB (discuter) 13 janvier 2014 à 09:22 (CET)

Coefficient complexe ?

Bonjour, au début de l'article, dans la section coefficient constant, il est dit que les coefficients a,b,c sont réels ou complexes. Pourtant, il me semble que la suite de l'article ne traite que le cas réel, et induit même en erreur. En effet, les racines d'une équation complexe du second degré à coefficient complexe ne sont pas forcément conjuguées ! Merci de m'éclairer si je suis passée à côté de quelque chose.

Merci du signalement. L'article initial supposait implicitement un travail sur l'équation différentielle à coefficients réels (et constants ) et à solutions parmi les fonctions à valeurs dans R. Mais les ajouts de plusieurs contributeurs ont heureusement élargi la problématique, malheureusement au détriment d'une certaine cohérence. J'ai corrigé, j'espère. HB (discuter) 26 octobre 2016 à 15:49 (CEST)

Cas de Delta négatif

Bonjour.

Si les racines de l'équation caractéristique sont deux racines complexes conjuguées r1 et r2 tel que r1=a+ib et r2=a-ib.

L'ensemble des solutions sont les y = C1 exp(r1)x + C2 exp(r2)

Vous écrivez qu'on peut aussi écrire y = exp(ax)(Acos(bx)+Bsin(bx)) avec A et B réels.

Par contre, en développant la première expression, on obtient exp(a)((c1+c2)cos(bx)+i(c1-c2)sin(bx))

A=c1+c2 et B=i(c1-c2). B est donc ici un complexe et pas un réel ! Athanatophobos (discuter) 2 juin 2022 à 22:06 (CEST)

Question : tu cherches les solutions dans quoi? Dans les fonctions de R dans R ? ou dans les fonctions de R dans C ?

si tu cherches les fonctions à valeurs dans les complexes, les solutions sont f(x)= C1 exp(r1x) + C2 exp(r2x) où C1 et C2 sont des coefficients complexes

si tu cherches les fonctions à valeurs dans les réels, il faut limiter l'ensemble des solutions aux fonctions à valeurs réelles. Comme r2 est le conjugué de r1, pour que f soit à valeurs réelles il faut que C2 soit aussi le conjugué de C1. Dans ce cas, tu peux remarquer que C1 + C2 est un réel (égal au double de la partie réelle de C1) et que i(C1-C2) est aussi un réel (égal au double de la partie imaginaire de C2)

J'espère que mon explication succincte t'aura éclairé. HB (discuter) 2 juin 2022 à 22:31 (CEST)