Discussion:Équation de Schrödinger

Bonjour, je ...

Bonjour. Je ne suis pas un habitué de Wikipédia et je fais des études en chimie. Au cours, nous venons de voir "la dispersion du paquet d'ondes en fonction du temps". Quelque chose me perturbe et je ne trouve personne pour répondre à ma question, car mon prof est parti 2 semaines aux états unis, c'est pourquoi je poste ma question ici. Comment un système (l'équation de shrodinger) décrivant une particule a priori stable (par exemple un atome)pourrait il varier, c'est a dire être fonction du temps? Je tiens a préciser qu'au cours, nous avons déjà vu la séparation des variables, mais nous n'avons considéré que l'équation de shrodinger stationnaire pour les réflexions sur la signification de Ψ. Cela étant, je ne comprends pas comment un atome stable pourrait varier en fonction du temps, alors qu'il est justement dit "stable".

Merci a celui qui me répondra. Nicolas

L'équation de Schrôdinger [$i\hbar \partial \psi (x,t)/\partial t=\cdots$] comporte un opérateur différentiel où le temps apparaît. Ses solutions sont donc tout à la fois fonction du temps et des variables spatiales. Ceci dit on cherche souvent à exprimer les solutions "stationnaires", fonction d'onde (x,t) séparable en un produit d'une fonction d'espace et d'une fonction temporelle. La fonction d'espace est solution de l'équation aux valeurs propres de l'hamiltonien [par exemple, valeurs propres $E_{n}$ (dite "équation de Schrödinger indépendante du temps") ; la partie temporelle prend la forme simple $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$. il ne faut pas oublier que la fonction d'onde est le produit des deux.

Pour une solution stationnaire la densité de probabilité de présence est bien "stationnaire" ($\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t$ est indépendant du temps) même si la fonction d'onde dépend du temps ; par contre pour un paquet d'onde, somme d'états stationnaires, les différentes fonctions de phase mènent à une densité de probabilité de présence dépendante du temps, par exemple un élargissement du paquet d'onde. Pickwick (d)

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N'étant pas trés callé dans le domaine, je ne me suis pas permis de faire les modifications moi même.Ma question concerne le passage "|Ψ> représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système".N'est-ce pas plutôt la norme de Ψ au carré qui donne cette probabilité. De plus il me semble qu'il manque un membre dans l'équation de Schrodinger l'équation étant HΨ=EΨ avec H opérateur Hamiltonien, Ψ la fonction d'onde et E l'énergie du système.Il en résulte que c'est n'est pas l'hamiltonien qui correspond à l'énergie du système mais plutôt la valeur propre de l'hamiltonien. Encore une fois je ne suis pas sûr de tout cela alors pourriez vous confirmer ou infirmer mes informations. Merci d'avance. Hukadan

bonjour, je viens de découvrir cet article et vous attendez une réponse depuis juillet. J'espère que vous avez la réponse. Dans votre question deux points :

• l'état |Ψ> enferme tout ce que le physicien peut connaître, mais ce contenu ne donne pas directement la probabilité, |Ψ> est directement lié à l'amplitude de probabilité d'obtenir tel ou tel résultat lors d'une mesure de telle ou telle grandeur. Il faut bien prendre son module carré pour obtenir la densité de probabilité de présence...
• l'équation de Schrödinger est bien celle de l'article (même si l'écriture n'en est pas parfaite, je compte y remédier...). HΨ=EΨ n'est pas l'ES, ou du moins on lui donne le nom d'équation d'ES indépendante du temps : c'est tout bonnement l'équation aux valeurs propres de l'énergie (de l'opérateur hamiltonien, en fait). Les solutions de HΨ=EΨ sont solutions de l'ES vraie, mais des combinaisons linéaires de telles solutions sont aussi des solutions de l'ES même si elles ne sont pas solutions de HΨ=EΨ.

--Pickwick 18 déc 2004 à 18:48 (CET)

euh... est-ce que la dernière modif ip-esque est valide ? j'y connais rien ;D Al ☮ 1 mar 2005 à 22:40 (CET)

L'écriture précédente est rétablie... la "correction" qui avait été faite est une erreur classique (utilisation de deux représentations à la fois). Dans l'écriture de Dirac( bras et kets) le seul paramètre apparaissant dans l'état est le temps... Choisir la représentation “r“ nous renvoie à l'écriture de la MQ en termes de fonctions d'ondes (légitime, mais souvent moins pratique). L'article avait été débuté en écriture de Dirac, y rester est assez pratique.

--Pickwick 2 mar 2005 à 19:57 (CET)

Réorganisation

J'ai essayé de polir un peu la page (reformulation, réorganisation, etc.) Espère n'avoir pas fait de conneries ;-)
— Régis Lachaume 23 mar 2005 à 23:32 (CET)

Standing Wave Math Expression

It seems being a paradox. For

${\mathcal {\mid }}\Psi (x,t){\mid }^{2}=A^{2}sin^{2}(kx)*cos^{2}({\omega }t)=0{\neq }1$

which means that it does not equal to 1. Thus caused not coresponse Normalization. Known a standing wave is expressed as

${\mathcal {,}}\Psi (x,t)=Asin(kx)*cos({\omega }t),$.

Can anyone talk about your thoughts? Thanks.

• One more question that what's difference between phase velocity and group velocity? My opinions and thoughts:

By their math expression we can clearly find angular frequency of ${\mathcal {V}}_{p},$ ${\mathcal {\omega }}$ which keeps constant when a wave vibrates up and down localized. That may because of energy transports into a wave is conservative,just like a particel moves up and down in a Y axis,localizedly(which keeps energy conservative).

But for another one,it travels in an X axis,that hints its phase-angular is the function of time. By time changes,then ${\mathcal {\omega }}$ naturely changes either.

I'm a little not sure above. Could anyone discuss with me? --59.113.195.205 25 janvier 2006 à 12:50 (CET)I'm taiwanese.

Réorganiser l'article pour le rendre plus accessible

questions I

Bonjour

Je ne veux pas modifier moi même l'article.

Mais je pense que deux trois détails seraient de nature à le rendre plus accessibles aux novices ou aux non - spécialistes.

1°)A coté de la formule ci-dessous, est-il possible de définir ce qu'est une impulsion?

$\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p=h/\lambda \end{matrix}}\right.$

2°)Est-il possible que, pour l'équation de Schrodinger:

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$

la formule soit accompagnée d'une légende précisant ce que sont p, m, V(r)? Cela ne manquera pas d'être plus clair pour les non specialistes, merci!

3°)Selon le plan actuel de l'article, il existe deux formulations de l'equation de Schrodinger:

$\mathbf {H} \left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\psi (t)\right\rangle ={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\left|\psi (t)\right\rangle +V({\hat {\mathbf {r} }},t)\left|\psi (t)\right\rangle$

et

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$

Existe-t-il pour chacune de ces formulations une denomination distincte?

Cela rendrait l'exposé plus clair

Merci par avance à la personne qui apportera ces modifications

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Bonsoir, je veux bien m'essayer à modifier (ce qui ne sera que très léger, je ne crois pas que les critiques ci-dessus mènent à une réorganisation). Mais ce n'est pas très simple pour diverses raisons. Tout d'abord, l'encyclopédie n'est pas parfaite ni complète... cela se voit ici. Votre remarque 2 (je ne recopie pas l'équation) ne comporte pas l'équation de Schrödinger, mais l'expression classique (l'énergie - non relativiste - de la particule de masse m, dans un potentiel décrit par l'énergie V(r)). L'ES [première formule de votre remarque 3] s'en déduit par le principe de correspondance qui ne semble pas être une entrée de l'encyclopédie... peut-être est-ce un paragraphe de l'article Mécanique quantique ? ou un autre... Il faudra alors le créer, parce que son importance est plus générale que son application à l'ES. Définir l'impulsion... (remarque 1)... oui, mais un renvoi à l'article impulsion montre la nécessité d'une refonte de celui-ci... la différence entre la quantité de mouvement et l'impulsion que les mécaniciens (et physiciens) utilisent n'est pas encore présentée... l'impulsion y apparaît comme liée à une force... ce qui est trop restrictif. Je m'y mets, par petites touches (je n'aurais pas beaucoup de temps avant les vacances de printemps. Pickwick 3 avril 2006 à 20:08 (CEST)

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questions II

Bonjour,

Merci pour votre réponse;

Ce n'étaient pas des critiques;

1°)Accepteriez-vous de relire le projet ci-dessous et de le corriger?

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Naissance de l'équation

Au début du XX^e siècle, il était devenu clair que la lumière présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie $E$ et d'impulsion $p$ une frequence $\nu$ et une longueur d'onde $\lambda$ :

$\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p=h/\lambda \end{matrix}}\right.$.

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien éponyme Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules en présence d'un potentiel.

L'expression classique (non relativiste) de l'énergie totale de particules en présence d'un potentiel est :

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$.

où

• E est l'énergie - non relativiste - de la particule de masse m, dans un potentiel d'écrit par l'énergie V(r))
• p est l'impulsion de la particule.

L'extension de l'équation ci-dessus par utilisation du principe de correspondance a abouti à la découverte de l'équation de Schrödinger.

Le succès de l'ES fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc. Toutefois, elle suscita également beaucoup de méfiance en raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait.

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2°)Dans l'équation:

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$

E est-elle l'énergie d'une seule particule, ou d'un ensemble de particules?

3°)J'ai $\nu =1/\lambda$

$\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p=h/\lambda \end{matrix}}\right.$

Une application directe donnerait E=p, j'imagine que ce n'est pas le cas. Accepteriez-vous d'éclaircir ce point ou sinon de corriger l'erreur dans ma question?

Cordialement

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Bonjour,

Tout d'abord, les critiques ne sont pas toujours à comprendre dans un sens dévalorisateur. Il y a ici un aspect constructif. Cf, par exemple le problème de la particule ou du système de particules).

Vous devriez peut-être envisager de vous créer un compte utilisateur, ce qui permettrait de porter les réponses sur la page de discussion de cet utilisateur. De même vous pouvez poser vos questions sur la mienne, éventuellement.

réponses dans l'ordre aux questions d'hier soir.

1) oui, cela va (corriger le d'écrit en décrit et il s'agit d'une particule : énergie totale d'une particule). Attention toutefois à ne pas trop développer l'article (reconnu comme de qualité). Dans l'encyclopédie collaborative, on est toujours tenté de modifier des bouts de phrases (qui ne sont pas du son propre cru) parce que c'est trop lourd, ou trop succint... Si on n'y touche pas on risque de laisser passer des imprécisions.

______ L'expression classique (non relativiste) de l'énergie totale d'une particule en présence d'un potentiel est :

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$.

______ Pourriez-vous corriger votre texte dans ce sens et procéder à la sauvegarde dans l'article?

2) L'équation de Schrödinger introduite ici porte sur un système unique (particule). Bien sûr on peut envisager de compléter en passant aux systèmes de plusieurs particules, de particule dans un champ... Cela grossirait l'article, qui actuellement forme un tout assez cohérent. Il faut néanmoins penser à cette extension.

3)« J'ai $\nu =1/\lambda$ ». Non, il ne s'agit pas de photons (avec c=1), la thèse de de Broglie (limitée ici au cas non-relativiste) est :

$E=h\nu =p^{2}/2m\quad ;\quad \lambda =h/p=h/mv$

ce qui donne une onde plane associée:

$\exp[i(px-Et)/\hbar ]=\exp[2\pi i(x/\lambda -\nu t$)].

Bonne continuation Pickwick 5 avril 2006 à 13:11 (CEST)

Remarques pédagogiques

- il faudrait mettre des liens à chaque occurrence des termes pouvant paraître obscur aux non-initiés, et non seulement la première fois qu'ils apparaissent.

- La notion d'opérateur n'est ni expliquée, ni liée (et de toute façon, je doute que la définition sur Wikipedia, "application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même", soit d'une grande utilité pour le non initié : il faut qqch de plus intuitif).

- Il y a un risque de confusion entre l'expression de E et l'ES à la fin du paragraphe sur la naissance de l'équation.

- le passage entre de Broglie et Schrôdinger est loin d'être évident. Peut-être faudrait-il ajouter qqch sur la notion de fonction d'onde et mieux expliquer l'analogie entre l'ES et l'équation d'onde classique.

- L'article introduit tout de suite la notation de Dirac (braket), sans fournir d'explication. Je crois à nouveau qu'il vaudrait mieux commencer avec la fonction d'onde (comme dans le Cohen-Tannoudji, qui est tout de même un modèle de pédago!).

- Un exemple est toujours parlant : peut-être faudrait-il présenter une exemple de résolution de l'ES. Je pense en particulier à la particule dans un puits de potentiel rectangulaire, qui est intuitive, et facilement illustrable et commentable.

--EL 15 septembre 2006 à 08:54 (CEST)

cas d'un champ central

Je crois qu'il manque le cas très important de la résolution de l'équation de schrödinger dans un champ central (et plus particulièrement un champ coulombien). On peut peut-être en faire un article séparé137.129.13.90 2 octobre 2006 à 16:36 (CEST)

Formulations vectorielle et scalaire

Il me semblerait utile de décrire le passage entre les deux expressions de l'ES des chapitres Formulation moderne et Résolution de l'équation, ceci d'autant plus que l'article représentation de position a été supprimé.--Jaccard (d) 23 avril 2013 à 08:56 (CEST)

La version espagnole dit que | > représente la probabilité de mesure au lieu du carré de la probabilité de mesure, il y a une grosse erreur alors ?

La version espagnole dit que | > représente la probabilité de mesure au lieu du carré de la probabilité de mesure, il y a une grosse erreur alors ?

V() n'est jamais défini (utilisé 2x)

V() est utilisé 2 fois ( cas classique, puis formulation moderne ) , mais n'est jamais défini. Quelqu'un peut s'en occuper SVP ? La version anglaise dit que c'est un potentiel ambient V(r,t). Merci ! --194.199.26.79 (discuter) 1 octobre 2019 à 18:45 (CEST)