Densité sur une variété

En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.

Densité sur un espace vectoriel

Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel $V$ de dimension $n$ est une application $f:\otimes ^{n}V\to \mathbb {R}$ telle que :

$f(Av_{1},...,Av_{n})=|\det(A)|f(v_{1},...,v_{n}),\quad \forall A\in \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} ),\;\forall v_{1},...,v_{n}\in V$

Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir.

Densité sur une variété

Considérons une variété différentielle $M$ de dimension $n$ et soit $\pi :\mathrm {Fr} (M)\to M$ son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :

$\rho :\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )\to (\mathbb {R} _{+},\cdot )\;;\;\lambda \mapsto |\det(\lambda )|^{-1}$

De cette représentation $\rho$ on peut définir sur la variété $M$ le $\mathbb {R}$-fibré vectoriel associé suivant :

$E:=\mathrm {Fr} (M)\times _{\rho }\mathbb {R}$

Définition : Une densité sur une variété $M$ est une section du fibré $E$.

Remarque : Point par point, une densité sur une variété $M$ est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent $TM$.

Exemples

Exemple 1 : Soit $\Omega$ une forme volume sur $M$. Alors, la valeur absolue $|\Omega |$ définie en tout point $x\in M$ par :

$|\Omega |(v_{1},...,v_{n}):=|\Omega (v_{1},...,v_{n})|,\quad \forall v_{1},...,v_{n}\in T_{x}M$

est une densité sur $M$.

Exemple 2 : Soit $(M,\omega )$ une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville $\Omega =\omega ^{n}/n!$ est la densité de Liouville $|\Omega |$.

Applications

Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :

• intégration sur une variété différentielle non orientable ;
• intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :

$\mu (U)=\int _{U}|\Omega |$

Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.