Dérivation itérée

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En mathématiques, le concept de dérivation itérée étend le concept de dérivée en le répétant plusieurs fois.

DéfinitionModifier

Soit   une fonction de   vers   définie sur un intervalle   (non vide et non réduit à un point). On s'intéresse dans cet article aux dérivées successives de cette fonction.

Dérivée première sur un intervalleModifier

Lorsque la dérivée   existe pour tout  , on dit que   est « dérivable sur   ».

On définit dans ce cas la fonction   :

 .

Cette fonction   s'appelle la « fonction dérivée de   sur   » ou « fonction dérivée première de   sur   » et se note également  .

Dérivée seconde sur un intervalleModifier

Lorsque   est dérivable sur   et que la fonction   est elle-même dérivable sur  , sa fonction dérivée sur  ,  , s'appelle la fonction « dérivée seconde de   sur   » et se note   ou  . On dit alors que   est « dérivable deux fois sur   ».

Dérivée n-ième sur un intervalleModifier

On définit (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de   sur   » par l'initialisation   et la formule de récurrence

 

Pour tout entier naturel n, la fonction   est appelée fonction « dérivée n-ième (ou d'ordre n) de   sur   ».

Lorsque   existe, on dit que   est « dérivable n fois sur   ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de   d'ordre strictement inférieur à n sont continues sur  , puisqu'elles y sont dérivables ; mais   n'est pas nécessairement continue sur   : c'est ce qui motive la définition, donnée ci-dessous, des fonctions de classe Cn.

Classe CnModifier

Soit   un entier naturel non nul. On dit que la fonction   est de classe   (ou   fois continûment dérivable) sur   si elle est   fois dérivable sur   et si la fonction   est continue sur  .

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction   est dite de classe   sur   si elle est continue sur  .

Si on note de manière abusive   l'ensemble des fonctions de classe   sur  , on remarque que les   sont des ensembles emboîtés.

La fonction   est dite de classe   (ou indéfiniment dérivable) sur   si, pour tout  ,   est de classe   sur  . En fait :

 

Dérivée d'ordre non entierModifier

Toutes les définitions données ci-dessus se rapportent à une dérivation à un ordre   entier. Il peut être intéressant d'étudier le cas des dérivations à des ordres non entiers. Ceci fait l'objet d'une discipline appelée l'analyse fractionnaire et trouve de nombreuses applications dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'acoustique, la thermodynamique ou l'électromagnétisme.

Formule de LeibnizModifier

Le produit de deux fonctions d'une variable réelle   et   définies et dérivables jusqu'à l'ordre   sur un intervalle   est dérivable jusqu'à l'ordre  . La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre   donnée par :

 

où les nombres entiers   sont les coefficients binomiaux.

Formule de Faà di BrunoModifier

La composée   de deux fonctions   et   respectivement définies et dérivables jusqu'à l'ordre   sur un intervalle   pour g et g(I) pour f est dérivable jusqu'à l'ordre   sur I; la formule de Faà di Bruno fournit sa dérivée d'ordre   donnée par :

 

où la somme parcourt tous les n-uples (m1, ..., mn) vérifiant la contrainte  : 

Articles connexesModifier