Contraction du symbole de Christoffel

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2\det {g}}}\partial _{j}\left(\det g\right)={\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\partial _{j}{\sqrt {\det {g}}}=\partial _{j}\left(\ln {\sqrt {\det {g}}}\right)$

Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)$,

et profitant de la symétrie du tenseur métrique

$g_{li}=g_{il}~$

on a

$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}\left(g^{il}g_{lj,i}+g^{il}g_{il,j}-g^{il}g_{ij,l}\right)$.

Échangeant $i$ et $l$ des produits internes du dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient

$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}g_{il,j}$.

D'autre part la différentielle du déterminant $\det {g}$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle $\mathrm {d} g_{ij}$ d'un élément de matrice $g_{ij}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$, les mineurs cherchés sont $(\det {g})g^{ij}$. Ainsi $\mathrm {d} (\det {g})=(\det {g})g^{ij}\mathrm {d} g_{ij}$ et donc

$g^{ij}\partial _{k}\left(g_{ij}\right)={\frac {1}{g}}\partial _{k}\left(\det {g}\right)$

On a donc

$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}\left(\det {g}\right)$.

∎

Remarques

• Le symbole de Christoffel étant symétrique, on a $\Gamma ^{i}{}_{ij}=\Gamma ^{i}{}_{ji}$

• Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs.