On appelle comoment le produit de deux torseurs . Cette opération est commutative .
Le comoment est un scalaire égal à la somme des produits scalaires de la résultante d'un torseur par le moment de l'autre. Pour pouvoir calculer le comoment de deux torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point de réduction.
Expression générale
modifier
L'expression générale du comoment de deux torseurs M1 et M2 est :
M
→
1
⊙
M
→
2
=
{
R
→
1
M
→
1
(
A
)
}
⊙
{
R
→
2
M
→
2
(
A
)
}
=
R
→
1
⋅
M
→
2
(
A
)
+
M
→
1
(
A
)
⋅
R
→
2
{\displaystyle {\vec {M}}_{1}\odot {\vec {M}}_{2}={\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{1}\\\ {\vec {M}}_{1}(A)\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{2}\\\ {\vec {M}}_{2}(A)\end{Bmatrix}}={\vec {R}}_{1}\cdot {\vec {M}}_{2}(A)+{\vec {M}}_{1}(A)\cdot {\vec {R}}_{2}}
Il est fréquent de rencontrer la notation
{
T
1
}
⊗
{
T
2
}
{\displaystyle \{T_{1}\}\otimes \{T_{2}\}}
pour le comoment de deux torseurs {T1 } et {T2 }. Cependant la notation avec un point cerclé (
⊙
{\displaystyle \odot }
) est à préférer pour éviter toute confusion avec le produit tensoriel .
Exemples d'utilisation
modifier
Le comoment est notamment utilisé dans le calcul de[ 1] :
l'énergie cinétique de solides indéformables. On fait la moitié du comoment du torseur cinétique et du torseur cinématique :
E
c
=
1
2
{
C
}
⊙
{
V
}
=
1
2
{
m
V
→
σ
→
}
A
⊙
{
Ω
→
V
→
}
A
=
1
2
m
V
→
2
+
1
2
σ
→
⋅
Ω
→
{\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\mathcal {C}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}m\,{\vec {V}}\\{\vec {\sigma }}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\frac {1}{2}}\,m\,{\vec {V}}^{2}+{\frac {1}{2}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\Omega }}}
;
la puissance instantanée. On fait le comoment du torseur d'effort et du torseur cinématique :
P
=
{
F
}
⊙
{
V
}
=
{
R
→
M
→
}
A
⊙
{
Ω
→
V
→
}
A
=
R
→
⋅
V
→
+
M
→
⋅
Ω
→
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\begin{Bmatrix}{\mathcal {F}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {M}}\cdot {\vec {\Omega }}}
.
Lien avec l'automoment
modifier
L'automoment du torseur {T}, noté A{T} , est la moitié du comoment de ce torseur par lui-même, soit :
A
{
T
}
=
1
2
{
R
→
M
→
}
A
⊙
{
R
→
M
→
}
A
=
R
→
⋅
M
→
{\displaystyle A_{\left\{T\right\}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {M}}}
Remarques :
l'automoment est nul si et seulement si le torseur est un torseur spécial : un glisseur, un torseur couple ou un torseur nul ;
l'automoment est invariant dans l'espace.
↑ Bertrand Hauchecorne, Formulaire : Mathématiques - Physique-Chimie -SII : MPSI-PCSI-PTSI / PSI , Paris, Ellipses, coll. « Prépas sciences », 2015 , 393 p. (ISBN 978-2-340-00663-8 ) , p. 359-361