Opérateur de position

En physique quantique, l'opérateur de position ou opérateur de localisation est l'opérateur qui formalise l'observable position de l'état quantique d'une particule.

Dans une dimension, le carré du module de la fonction d'onde représente la densité de probabilité de trouver la particule à la position . La valeur moyenne ou l'espérance mathématique d'une mesure de la position de la particule est alors

En conséquence, l'opérateur qui correspond à la position est , où

L'accent circonflexe au-dessus du x à gauche indique un opérateur, de sorte que cette équation peut être lue comme Le résultat de l'action de l'opérateur x sur une fonction quelconque ψ(x) égale x multiplié par ψ(x). Ou tout simplement, l'opérateur x multiplie une fonction quelconque par x.

États quantiquesModifier

Les fonctions propres de l'opérateur de position sont les fonctions delta de Dirac. Pour ce démontrer, supposer que   est fonction propre de l'opérateur de position avec valeur propre  . L'équation des valeurs propres est écrite en fonction des coordonnées de position,

 

vu que   ne fait que multiplier la fonction par x. Étant donné que   est une variable tandis que   est constant,   doit être nul partout sauf à  . La solution normalisée de cette équation est

 

Cet état est physiquement irréalisable et n'est pas strictement une fonction, mais il peut être conçu comme un état idéalisé dont la position est connue exactement de sorte que toute mesure détermine la valeur propre  . Alors selon le principe d'incertitude, rien ne peut être connu au sujet de la quantité de mouvement d'un tel état.

Trois dimensionsModifier

La généralisation au cas de trois dimensions est directe. La fonction d'onde est maintenant   et la valeur moyenne de la position est

 

Ici l'intégrale s'étend sur toute l'espace. L'opérateur de position est

 

Espace de quantité de mouvementModifier

Dans l'espace de quantité de mouvement, l'opérateur de position dans une dimension est

 

ContexteModifier

Les états quantiques sont modélisés par un espace vectoriel topologique, l'espace de Hilbert.

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