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Cercle d'Euler

cercle passant par neuf points remarquables d'un triangle
Cercle et droite d'Euler d'un triangle

En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants :

  • Les trois milieux des trois côtés du triangle ;
  • Le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ;
  • Le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.

Sommaire

DécouverteModifier

En 1821, les mathématiciens français Brianchon et Poncelet démontrent ensemble que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques : ils mettent ainsi en évidence l'existence d'un cercle passant par ces six points remarquables. L'année suivante, le résultat fut redécouvert par le géomètre allemand Feuerbach. Le cercle d'Euler est aussi appelé cercle de Feuerbach. De plus, toujours en 1822, il démontra que le cercle des neuf points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach et ajoute quatre nouveaux points remarquables : les points de contact, appelés points de Feuerbach.

Par la suite, Terquem mit en évidence que trois autres points appartiennent à ce cercle : les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre. En 1842, Terquem apporta une deuxième preuve au théorème de Feuerbach. Une troisième preuve géométrique fut apportée en 1854.

Depuis, quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle ont été ajoutés à la liste des points sur le cercle.

Définition et propriétés élémentairesModifier

C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle quelconque (ABC) le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit Ω et l'orthocentre H sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre G et de rapport 1/2 transforme H en Ω.)

IndicationsModifier

Le cercle des neuf points d'Euler est homothétique du cercle circonscrit au triangle dans deux homothéties :

  • l'homothétie de centre G et de rapport 1/2 : elle permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler.
  • l'homothétie de centre H et de rapport 1/2 : elle permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.

L'homothétie de centre GModifier

Notons I1 le milieu de [BC], I2 le milieu de [AC] et I3 le milieu de [AB]. L'homothétie de centre G et de rapport 1/2 transforme le triangle ABC en le triangle médian I1I2I3 et le cercle circonscrit de ABC en cercle circonscrit à I1I2I3 : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.

Soit H le point aligné avec G et Ω, que l'homothétie de centre G et de rapport 1/2 transforme en Ω : alors H est l'orthocentre du triangle ABC. En effet, soit A1 le symétrique de A par rapport à Ω et considérons le triangle AHA1 : G en est le centre de gravité puisqu'au 2/3 de la droite joignant le sommet H au point Ω, milieu du côté AA1; AG en est une autre médiane; I1 est ainsi milieu de HA1, les droites (ΩI1) et (AH) sont donc parallèles, et  . Puisque (ΩI1) est orthogonale à (BC) par construction du cercle circonscrit au triangle ABC, la droite (AH) en est une hauteur de même que (BH) et (CH) par un raisonnement identique.

L'homothétie de centre HModifier

L'homothétie de centre H et de rapport 1/2, transforme A1 en I1, de même les points I2 et I3 sont les images de deux points du cercle circonscrit. Le cercle d'Euler circonscrit au triangle I1I2I3 est l'image du cercle circonscrit à ABC, dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.

On note K1, le point d'intersection (autre que A) de la hauteur (AH1) avec le cercle circonscrit. Le segment [AA1] étant un diamètre, le triangle AK1A1, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. Les droites (BC) et (K1A1), perpendiculaires à la hauteur (AH1), sont parallèles. La droite (I1H1) passe par le milieu I1 de [HA1], c'est la droite des milieux de HA1K1, H1 est donc milieu de [HK1]. La droite (HK1) étant perpendiculaire à (BC), K1 est le symétrique de H par rapport à (BC).

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

Le point H1 est le milieu de [HK1], c'est donc l'image de K1 par l'homothétie de centre H. Comme K1 est situé sur le cercle circonscrit, H1 est sur le cercle d'Euler.

Les pieds des hauteurs sont situés sur le cercle d'Euler.

L'homothétie de centre H transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont les trois points d'Euler K1, K2, K3 situés sur le cercle.


Quelques propriétésModifier

On montre, en utilisant l'homothétie introduite au premier paragraphe, que :

  • Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.

       et       

ce dont on déduit que dans un triangle, le centre du cercle d'Euler E, est le milieu de [HΩ], segment joignant l'orthocentre H au centre du cercle circonscrit Ω.

 

  • le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle médian (formé par les milieux des côtés) et au triangle orthique (formé par les pieds des hauteurs).
  • toute hyperbole équilatère passant par les trois sommets a son centre sur le cercle d'Euler, en particulier l'hyperbole de Kiepert, de Jeřábek et de Feuerbach. C'est le théorème conique de Feuerbach.
  • le cercle d'Euler est tangent intérieurement au cercle inscrit à ABC et tangent extérieurement à ses cercles exinscrits. C'est le théorème de Feuerbach.

Hexagramme de PascalModifier

Article détaillé : Hexagramme de Pascal.

Théorème — Dans un hexagramme inscriptible, les côtés opposés se coupent en P, Q et R. Les points P, Q et R sont alignés sur la droite de Pascal (PQ).

 
Hexagramme de Pascal


Les côtés opposés de l'hexagone croisé H1I2H2I3H3I2H1, inscrit dans le cercle d'Euler, se coupent en P, Q et R.

Une propriété projective que n'avait pas vue Euler :

La droite de Pascal de l'hexagramme est la droite d'Euler du triangle.

GénéralisationModifier

Le cercle d'Euler est un cas particulier de section conique, où l'on a considéré les trois sommets du triangle A, B et C et son orthocentre H. Ces quatre points forment un quadrilatère complet mais surtout un système orthocentrique. Si on considère un quadrilatère complet qui ne soit pas orthocentrique, on retrouve une propriété similaire en montrant qu'il existe une courbe conique passant par les intersections des diagonales et les milieux des six côtés du quadrilatère. La courbe est une ellipse si H est intérieur à ABC, et une hyperbole sinon (elle est même équilatère si H est sur le cercle circonscrit de ABC).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier