Théorème d'Erdős-Kaplansky

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe à son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe à son dual. Cela résulte du théorème d'Erdős-Kaplansky suivant :

Théorème — Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension :

En remarquant que card(E*) est, lui aussi, égal à card (KI), on peut encore reformuler le théorème ainsi :

Soit E un espace vectoriel de dimension infinie. Alors la dimension et le cardinal de son espace dual sont égaux, c'est-à-dire dim (E*) = card (E*).

Bibliographie

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  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre Chapitre II (ISBN 9783540338499) page A.II.193
  • B. Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales, volume 1 : Algèbre (ISBN 9782130458357) 6.113 page 221
  • Théorème d'Erdös-Kaplansky Démonstration du théorème d'Erdős-Kaplansky et du corollaire sur la non-isomorphie d'un espace vectoriel de dimension infinie et de son espace dual.
  • (en) N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol. II, Linear Algebra, van Nostrand Company (1953) Chapter IX, § 5