Pi-système

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En mathématiques, un π-système (ou pi-système) sur un ensemble est un ensemble de parties de stable par intersection[1]. Les π-systèmes font partie des familles d'ensembles que l'on rencontre en théorie de la mesure et théorie des probabilités. On sait par exemple grâce au lemme de classe monotone que deux mesures finies, et en particulier deux mesures de probabilités, dont les valeurs coïncident sur un π-système, coïncident également sur la tribu engendrée par le dit π-système[2]. Les π-systèmes offrent donc une famille d'ensembles de prédilection, et relativement simple[3], pour vérifier l'égalité de deux mesures ou bien l'unicité de la construction d'une mesure.

Définition modifier

Définition[1],[4] — Soit   un ensemble. On appelle π-système sur  , un ensemble   de parties de   qui vérifie la propriété suivante :

 

Il est important de remarquer que certains auteurs requièrent dans la définition la condition supplémentaire que   ne soit pas vide [3], ou bien encore que   appartienne à   [2]. Ceci évitant la manipulation du π-système vide dans les preuves. On peut faire remonter l'usage du terme π-système au moins jusqu'au mathématicien Eugene Dynkin en 1961[1].

Exemples modifier

  • Une algèbre d'ensembles est un π-système, et par conséquent une tribu l'est aussi.
  • Une topologie est un π-système.
  • L'ensemble des intervalles semi-ouverts à droite,  (en y adjoignant l’intervalle vide) est un π-système. Il en va de même pour les autres familles d'intervalles même non bornés.

Propriétés modifier

Dans cette section établissons quelques propriétés des π-systèmes qui ne sont pas étrangères à celle des tribus.

Propriété — L'intersection d'une famille quelconque de π-systèmes sur un même ensemble est un π-système.

Comme conséquence directe de cette propriété, on obtient que pour toute famille   de parties d'un ensemble   il existe un plus petit π-système qui la contient, au sens de l'inclusion des ensembles. On pourrait l'appeler le π-système engendré par   par analogie avec les tribus engendrées. Il est unique et se construit comme l'intersection de tous les π-systèmes qui contiennent  .

Propriété — L'image réciproque d'un π-système sur un ensemble   par une fonction d'un ensemble   dans   est un π-système sur  .

Dans le cas remarquable d'une variable aléatoire réelle   définie sur un espace de probabilité  , les ensembles   pour   réel est un π-système. Par ailleurs on obtient la fonction de répartition   de   comme les probabilités des ensembles de ce π-système en posant   pour tout   réel où   désigne la mesure de probabilité considérée sur  . Celle-ci permet de caractériser la loi de la variable aléatoire  .

Propriété — Soit   une famille d'ensembles indexée par un ensemble  . Si l'on se donne pour chaque   dans   un π-système   sur   alors, sur le produit cartésien  , la famille de tous les ensembles cylindriques[4]

 

  est un entier,   sont éléments de   et pour chaque entier   jusqu'à  ,   est un élément de  , forme un π-système.

En particulier, lorsque   est fini, respectivement.  , on obtient une construction plus simple de telle manière que l'on peut écrire le π-système comme suit :  , respectivement  . On remarque aisément en supposant   dans   pour chaque   que l'on peut simplifier encore ces expressions.

De tels systèmes se rencontrent bien souvent lorsque   est en fait une tribu sur  , et donc en particulier un π-système. Dans ce cas la famille des cylindres est génératrice de la tribu cylindrique sur l'espace produit qui est une tribu d'usage classique dans l'étude des processus stochastiques [6].

Notes et références modifier

  1. a b et c Eugene Dynkin (trad. D. E. Brown), Theory of Markov processes, Prentice Hall, Inc., , p.1.
  2. a et b Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert, 2006 (4ème edition), p. 81.
  3. a et b Lawrence Evans et Ronald Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, 2015 (revised edition), p.7.
  4. a et b Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer, 2002 (2nd edition), p.2
  5. Voir la section Famille indexée de parties d'un ensemble de la page Tribu.
  6. E. Dynkin (1961), Op. cit., p.6.