Tipi de Cantor
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En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski[1], est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.
Définition modifier
Soient
- C l'ensemble de Cantor,
- p le point (1/2, 1/2) du plan ℝ2 et
- pour tout élément c de C, X(c) l'ensemble des points situés sur le segment de droite qui relie (c, 0) à p et dont l'ordonnée est
- rationnelle si c est une extrémité de l'un des intervalles supprimés lors de la construction de l'ensemble de Cantor,
- irrationnelle sinon.
L'éventail de Knaster-Kuratowski, de sommet p, est la réunion Y des X(c) quand c parcourt C (vue comme partie du plan munie de la topologie induite).
Le sous-espace Y\{p} est totalement discontinu, mais pas « totalement séparé » : deux points situés sur un même X(c) ne sont pas séparés par un ouvert-fermé[2],[3]. Sa dimension topologique est 1[4].
Notes et références modifier
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski fan » (voir la liste des auteurs).
- Bronisław Knaster et Kazimierz Kuratowski, « Sur les ensembles connexes », Fundamenta Mathematicae, vol. 2, 1921, p. 206-255 : p. 233
- (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, (1re éd. Springer, 1978) (ISBN 978-0-486-68735-3), contre-exemples 128 et 129.
- (en) Dennis Pixton, Totally disconnected and zero dimensional metric spaces, Math 479 - Spring 2011, Real Analysis II, Binghamton University.
- (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press, , 256 p. (ISBN 978-0-12-513650-1, lire en ligne), p. 54, exemple 9.12.
