Wikipédia:Lumière sur/Loi normale

Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le mardi 19 mars 2013.

---

Courbes de quatre densités de lois normales.

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs évènements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss, des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée.

Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté $\scriptstyle \mu$, et son écart type, un nombre réel positif noté $\scriptstyle \sigma$. La densité de probabilité de la loi normale est donnée par :

$f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.$

La courbe de cette densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche, entre autres. C'est la représentation la plus connue de cette loi. La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard.

Lorsqu'une variable aléatoire $\scriptstyle X$ suit la loi normale, elle est dite gaussienne ou normale et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance $\scriptstyle \sigma ^{2}$ :

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$

Parmi les lois de probabilité, la loi normale prend une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elle correspond au comportement de toute suite d'expériences aléatoires lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale.

• Lire la suite