Wikipédia:Détente/Jeux mathématiques

Sudoku

Puzzles générés par QQwing 1.3.4.

Difficulté facile

Facile - 1

	5		1		2
		9		4		2		6
	1				8		4
4		1		5				7
	3		9		4		2
5				3		1		4
	6		5				7
1		8		6		3
			7		1		6

Facile - 1 - Solution

2	5	4	1	9	6	7	8	3
7	8	9	3	4	5	2	1	6
6	1	3	2	7	8	5	4	9
4	9	1	6	5	2	8	3	7
8	3	7	9	1	4	6	2	5
5	2	6	8	3	7	1	9	4
9	6	2	5	8	3	4	7	1
1	7	8	4	6	9	3	5	2
3	4	5	7	2	1	9	6	8

Anciennes grilles de Sudoku

Sudoku : grilles de la semaine

Énigmes

Continuez cette suite :

1 ; 2 ; 8 ; 64 ; 1 024 ; ...

Réponse

Ces nombres sont des puissances de $2$ : $2^{n}$, avec $n=0,1,3,6,10$. Les écarts entre les exposants augmentent de $1$ à chaque fois. Le prochain exposant vaudra donc $5$ de plus que le dernier, soit $15$, d'où le nombre $2^{15}$ = $32768$. De la même manière le suivant sera $2^{21}$ = $2097152$, et ainsi de suite.

 

Équations

Résoudre le système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ :

$x^{2}=y$
$y^{2}=-y$

Réponse

Solution triviale : $x=y=0$.

Solutions non triviales : $y$ doit vérifier $y^{2}+y=0$, qui a pour solutions $y=0$ (d'où $x=0$, solution triviale, déjà vue) et $y=-1$ ; $x^{2}=-1$ donne alors $x=i$ ou $x=-i$).

Il y a donc 3 solutions au problème.

 

Énigmes étendues

Je suis le nombre qui est égal à l’inverse de son carré. Qui suis-je ?

Réponse

$1$. En effet, $1^{2}=1$, et l’inverse de $1$ est $1$. Une autre manière de répondre est de considérer que la réponse est une solution de l'équation $z^{3}=1$, qui a deux autres solutions que 1 si on accepte les nombres complexes.

 

Facile :

Une boite contient un certain nombre de billes. En retirant une bille, la boîte ne contient plus que la moitié du nombre initial de billes. Combien y en avait-il au départ ? 

Réponse

On appelle $a$ le nombre recherché. On a à résoudre l'équation : $a-1={\frac {a}{2}}$, qui équivaut à $2.(a-1)=a$, ou $2a-2=a$, ou encore $2a=a+2$, donc $a=2$. Il y avait donc au départ 2 billes dans la boite.

On pourrait aussi raisonner ainsi : si la boîte ne contient plus que la moitié du nombre initial, c'est qu'on en a enlevé la moitié. Cette moitié vaut 1. Donc le nombre initial est 2.

 

Difficile :

J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, nous aurons ensemble 112 ans. Quel âge ai-je ?

Réponse

Mon âge ($A$, comme grand âge) est inconnu ; le vôtre ($a$, comme petit âge) aussi.

Pour faciliter les écritures, nous appellerons :

• $d$ la différence entre nos âges : $d=A-a$ , ou $a=A-d$
• $e$ (comme enfant) l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. C'était il y a $d$ années, vous aviez $a-d$ ans. Donc $e=a-d=A-d-d=A-2.d$, ou $A=e+2.d$.

J'en ai aujourd'hui le triple : $A=3.e$. Par comparaison, il vient $e+2.d=3.e$, donc $d=e$ (surprise !).

Quand vous aurez l'âge que j'ai ($A=3.e$), dans $d=e$ années, j'aurai $A+d=4.e$ ans, donc nous aurons ensemble $3.e+4.e=7.e=112$ ans.

$e=112/7=16$. J'ai donc $3*16=48$ ans.

Et vous ?