Variété de Hessenberg

En géométrie, une variété de Hessenberg, étudiée pour la première fois par Filippo De Mari, Claudio Procesi et Mark A. Shayman, est une sous-variété de la variété de drapeau complète définie par une fonction de Hessenberg $h$ et une transformation linéaire $X$. L'étude des variétés de Hessenberg a d'abord été motivée par des questions d'analyse numérique en relation avec les algorithmes de calcul des valeurs propres et des espaces propres d'un opérateur linéaire X. Des travaux ultérieurs de Tonny Albert Springer, Dale Peterson et Bertram Kostant, et plus récemment Megumi Harada entre autres, ont montré des liens avec la combinatoire, la théorie des représentations et la cohomologie.

Définitions

Une fonction de Hessenberg est une applications

$h:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,2,\ldots ,n\}$

telle que

$h(i+1)\geq \max(i,h(i))$

pour tout $1\leq i<n$. Par exemple, la fonction qui envoie les nombres $(1,2,3,4,5)$ sur $(2,3,3,4,5)$ est une fonction de Hessenberg.

Pour une fonction de Hessenberg $h$ et une transformation linéaire

$X:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}$

la variété de Hessenberg ${\mathcal {H}}(X,h)$ est l'ensemble des drapeaux $F_{\bullet }$ tels que

$X\cdot F_{i}\subseteq F_{h(i)}$

pour tout i.

Exemples

Exemples de variétés Hessenberg, avec leur fonction de Hessenberg $h$ :

• La variété des drapeaux totaux avec $h(i)=n$ pour tout i ;
• La variété de Peterson, pour laquelle $h(i)=i+1$ pour $i=1,2,\dots ,n-1$ ;
• La variété de Springer, où $h(i)=i$ pour tout $i$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hessenberg variety » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Filippo De Mari, Claudio Procesi et Mark A. Shayman, « Hessenberg varieties », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 332, n^o 2,‎ 1992, p. 529-534 (DOI 10.1090/S0002-9947-1992-1043857-6, MR 1043857).
• Bertram Kostant, « Flag manifold quantum cohomology, the Toda lattice, and the representation with highest weight $\rho$ », Selecta Mathematica (N.S.), vol. 2,‎ 1996, p. 43-91.
• Julianna Tymoczko, « Linear conditions imposed on flag varieties », American Journal of Mathematics, vol. 128,‎ 2006, p. 1587–1604.
• Megumi Harada et Martha Precup, « The cohomology of abelian Hessenberg varieties and the Stanley-Stembridge conjecture », Algebr. Comb., vol. 2, n^o 6,‎ 2019, p. 1059-1108 (zbMATH 1454.14121).
• Hiraku Abe, Naoki Fujita et Haozhi Zeng, « Geometry of regular Hessenberg varieties », Transformation Groups, vol. 25, n^o 2,‎ 2020, p. 305-333 (zbMATH 1451.14148, arXiv 1712.09269).
• Megumi Harada, Tatsuya Horiguchi, Satoshi Murai, Martha Precup et Julianna Tymoczko, « A filtration on the cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties », Math. Z., vol. 298, n^os 3-4,‎ 2021, p. 1345-1382 (zbMATH 1479.14064).