Valeur absolue ultramétrique

Une valeur absolue ultramétrique est une application d'un corps K dans l'ensemble ℝ₊ des nombres réels positifs vérifiant les trois propriétés suivantes :

• $|x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}$ (axiome de séparation) ;
• $|xy|=|x||y|$ (morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ₊*) ;
• $|x+y|\leq \max(|x|,|y|)$ (inégalité ultramétrique)

quels que soient les éléments $x$ et $y$ de K.

Exemples

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale sur K associe à 0 la valeur 0, et à tout autre élément de K la valeur 1.

C'est la valeur absolue ultramétrique associée à la valuation triviale sur K.

Valeur absolue p-adique

Soit un nombre premier arbitraire $p$. On peut écrire de façon unique n'importe quel nombre rationnel $r$ sous la forme :

$r=p^{k}{\frac {a}{b}}$ où $k\in \mathbb {Z}$ et où $a$ et $b$ sont premiers entre eux et premiers avec $p$.

On définit alors l'application associant à un nombre rationnel $r$ la valeur $|r|_{p}=p^{-k}$. Par exemple,$\left|{\frac {21}{4}}\right|_{2}=4,~\left|{\frac {15}{7}}\right|_{2}=1{\text{ et }}\left|{\frac {60}{11}}\right|_{2}={\frac {1}{4}}.$

Cette application est une valeur absolue ultramétrique sur le corps $\mathbb {Q}$, associée à la valuation p-adique.

Liens avec les notions voisines

• Une telle application est un cas particulier de valeur absolue sur un corps.
• L'application d : (x, y) ↦ |y – x| est par conséquent une distance sur K, la symétrie étant due au fait que $|-x|=|x|$ pour tout élément $x$ de K.
• Cette distance est ultramétrique.
• Une application est une valeur absolue ultramétrique si et seulement si c'est une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réelles.

Propriétés

• Notons $e$ désigne l'élément neutre pour la multiplication de K.

$|e|=|-e|=1$

$|-x|=|x|$ pour tout élément $x$ de K.

Démonstration

$|e|=|e.e|=|e|.|e|$. L'équation $|e|=|e|.|e|$ d'inconnue $|e|$ n'a que deux solutions dans $\mathbb {R}$, $0$ et $1$. L'axiome de séparation garantit que $|e|\neq 0$, il vient donc $|e|=1$.

De même, $|e|=|-e.-e|=|-e|.|-e|$, donc $|-e|^{2}=1$. Comme de plus la valeur absolue ne prend que des valeurs positives, on a $|-e|=1$.

Enfin, $|-x|=|-e.x|=|-e|.|x|=1.|x|=|x|$, et donc $|-x|=|x|$.

• Pour tout couple (a, b) d'éléments du corps K,

$|a|\neq |b|\Rightarrow |a+b|=\max(|a|,|b|)$.

Démonstration

Comme $|a|\neq |b|$, l'un des deux est strictement inférieur à l'autre. Supposons sans perte de généralité que $|a|<|b|$.

D'après l'inégalité ultramétrique, $|b|=|(b+a)+(-a)|\leq \max(|b+a|,|-a|)$. Or $|-a|=|a|$ d'après une propriété précédente. On a donc $|b|\leq \max(|b+a|,|a|)$.

Comme $|a|$ est par hypothèse strictement inférieur à $|b|$, cette inégalité ne peut se réaliser que si $|b|\leq |b+a|$.

Par ailleurs, en appliquant à nouveau l'inégalité ultramétrique, $|b+a|\leq \max(|b|,|a|)=|b|$.

En assemblant ces deux résultats, on a $|b|\leq |b+a|\leq |b|$, ce qui prouve que $|a+b|=|b|=\max(|a|,|b|)$.

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