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En théorie des représentations, le Yangien (anglais : Yangian) est un type de groupe quantique (donc une algèbre de Hopf).
Historiquement, le Yangien a d'abord été introduit en physique dans les travaux de Ludvig Fadeev de l'Université d'État de Saint-Pétersbourg en à la fin des années 1970. Sa construction est, à l'origine, issue de la méthode de diffusion inverse quantique (anglais : quantum inverse scattering method (en))[1].
En 1985, le mathématicien Vladimir Drinfeld propose une autre construction du Yangian à partir d'algèbres de Kac-Moody. C'est dans son article fondateur[2] qu'il donne son nom au Yangian, en l'honneur du physicien Chen Ning Yang.
Le Yangian a par exemple été utilisé dans l'optique de fournir de solutions rationnelles de l'équation de Yang-Baxter.
Construction
modifierLa présentation RTT
modifierLa présentation RTT est, historiquement, la première a avoir été introduite dans le cas particulier de l'algèbre de Lie .
À un groupe quantique est associé une R-matrice (c'est-à-dire une solution de l'équation de Yang-Baxter). Dans le cas de , cette R-matrice, appelée Yang R-matrice, est simple :
où est l'opérateur de twist de (
La J-présentation
modifierLa J-présentation a été introduite en 1985 par Drinfeld. Son idée a été de construire, à partir d'une algèbre de Lie , de construire une algèbre de Hopf comme une déformation de l'algèbre enveloppante de l'algèbre courante (algèbre des polynômes à coefficients dans ).
L'algèbre est définie par générateurs et relations :
- Générateurs : les éléments et des éléments notés pour ;
- Relations :
La présentation courante
modifierLa présentation courante a été introduite en 1988 par Drinfeld. L'idée est toujours de déformer l'algèbre courante, mais de manière à ce que l'idée d'espace de polynômes soit explicite dans l'expression des générateurs.
Structure d'algèbre de Hopf
modifierReprésentations
modifierThéorie du plus haut l-poids
modifierClassification des représentations irréductibles de dimension finie
modifier- Alexander Molev, Yangians and classical Lie algebras, American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », (ISBN 978-0-8218-4374-1)
- (ru) Vladimir Guerchonovitch Drinfeld https://fr.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Drinfeld, « Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation », Soviet mathematics. Doklady, vol. 32, , p. 254-258