Utilisateur:Valvino/Brouillon

En mathématiques, la fonction de Dirichlet est la fonction indicatrice 1_ℚ de l'ensemble des rationnels ℚ, c'est-à-dire que 1_ℚ(x) = 1 si x est un nombre rationnel et 1_ℚ(x) = 0 si x n'est un pas un nombre rationnel (c'est-à-dire un nombre irrationnel).

Elle est nommée en l'honneur du mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet. C'est un exemple de fonction pathologique qui fournit un contre-exemples à beaucoup de situation.

Propriétés topologiques

• La fonction de Dirichlet est continue nulle part.

Démonstration

• si y est rationnel, alors f(y) = 1. Pour montrer que la fonction n'est pas continue en y, nous devons trouver un ε tel que peu importe la taille que nous choisissons pour ${\textstyle \delta }$$\delta$, il y aura des points z dans l'intervalle $]y-\delta ,y+\delta [$ tels que f ( z ) ne soit pas à l'intérieur de $]f(y)-1,f(y)+1[$. En fait, 1/2 est un tel ε : en effet, puisque les nombres irrationnels sont denses dans les nombres réels, peu importe ce que nous choisissons comme valeur pour ${\textstyle \delta }$, nous pouvons toujours trouver un z irrationnel dans $]y-\delta ,y+\delta [$ tel que f(z) = 0 est au moins éloigné de 1/2 par rapport à 1.
• si y est irrationnel, alors f(y) = 0. Encore une fois, nous pouvons prendre ε = 1/2, et cette fois, puisque les nombres rationnels sont denses dans les réels, nous pouvons choisir z pour être un nombre rationnel aussi proche de y que nécessaire. Encore une fois, f(z) = 1 est à plus de 1/2 de f(y) = 0 .

 

Ses restrictions à l'ensemble des nombres rationnels et à l'ensemble des nombres irrationnels sont constantes donc continues. La fonction de Dirichlet est donc un exemple archétypal du théorème de Blumberg.

• La fonction de Dirichlet peut être construite comme la double limite ponctuelle d'une suite de fonctions continues :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\,\pi \,x)\right)^{2j}\right)$.

Cela montre que la fonction Dirichlet est une fonction de Baire de classe 2. Il ne peut pas s'agir d'une fonction de Baire de classe 1, car une telle fonction ne peut être discontinue que sur un ensemble maigre.

Propriétés d'intégration

• La fonction de Dirichlet n'est intégrable au sens de Riemann sur aucun segment de ℝ alors qu'elle y est bornée car l'ensemble de ses points de discontinuité n'est pas négligeable (pour la mesure de Lebesgue).
• La fonction de Dirichlet fournit un contre-exemple montrant que le théorème de convergence monotone n'est pas vrai dans le cadre de l'intégrale de Riemann.

Démonstration

À partir d'une énumération de tous les nombres rationnels compris entre 0 et 1, on définit la fonction f_n (pour tout entier naturel n) comme l'indicatrice de l'ensemble des n premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions f_n (qui sont positives, Riemann-intégrables et d'intégrale nulle) converge alors simplement vers la fonction de Dirichlet, qui n'est pas Riemann-intégrable.

 

• La fonction de Dirichlet est intégrable au sens de Lebesgue sur ℝ et son intégrale sur ℝ vaut 0 car elle est nulle sauf sur l'ensemble des nombres rationnels qui est négligeable (pour la mesure de Lebesgue).

Liens externes

• Fonction de Dirichlet — MathWorld